思维特训(六)二次根式相关规律探究题

1、第 页第2页思维特训(六)二次根式相关规律探究题方法点津规律探究题指的是在特定的背景、情景或某些条件下(可以是有规律的数或式、有特定的生活情景或有某种特征的图形、图案或图表)，观察、分析、综合归纳出有关数学对象所具有的某种规律或不变性的结论，一般的解题思路是通过观察，寻找规律，猜想出相关的结论，进而加以验证或解决问题.典题精练类型一二次根式的表示1.观察下列等式：1X3+1 =石=2; 42X4+1 =m=3; 3X5+1 =y16 = 4 ;小X 6 + 1 = 25= 5;；第n个等式可表示为()A.，n(n+1)+ 1 = /n2= nB.n(n-1)+ 1 =(n- 1) = n- 1

2、C、n(n + 2)+ 1 = /(n+ 1) = n+ 1D.，n(n+3)+ 1 = /2= (m+m/2)2(其中 a, b, m, n 均为整数)，则 a+ b72= m2+ 2n2+ 2mnV2.，a=m2+2n2, b= 2mn.这样小明就找到了一种把类似a+ b42的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a, b, m, n均为正整数时，若a +b，3= (m+m/3)2,用含m, n的式子分别表示 a, b,贝U a=, b=;(2)利用你所探索的结论，找一组正整数 a, b, m, n填空： +V3 = (+)2；(3)若a+4 q3=(m+nV

3、3)2,且a, m, n均为正整数，求a的值.类型三二次根式的实际应用.细心观察图6-TX -2,认真分析各式，然后解答问题.OA22 = h/1)2+1 = 2, s = ；OA32 = 12+(W)2=3,应=；OA42 = 12+(5)2= 4, S3 =乎；(1)请用含n(n为正整数)的等式表示上述变化规律：OAn2 =, Sn=;(2)若一个三角形的面积是2皿，计算说明它是第几个三角形；(3)求 Si2 + S22+S32+ S92 的值.图 6-TX-2.已知小正方形 ABCD的边长为V2,把它的各边延长一倍得到新正方形AiBiCiDi(如图6TX 3)；把正方形 AiBiCiDi

4、的各边长延长一倍得到正方形 A2B2c2D2(如图) 依次作下去得到相应的正方形 AnBnCnDn.图 6-TX-3(i)RtACiDiC的面积是 ，正方形AiBiCiDi的面积是 ，边长是(2)RtAC2D2Ci的面积是，正方形A2B2C2D2的面积是 ，边长是(3)探究正方形AnBnCnDn的面积和边长与序数 n的关系.详解详析i. C2.733 解析原数据可变形为 0,初,乖,V9, 阮,屈，通过观察可知被开 方数都是3的整数倍，并且倍数是这个数的序号数减i,所以第i2个数据为寸3Xii = 733.3. 6 解析从图示可知，(4, 2)所表示的数是46.因为前20排共有i + 2+3

5、+ 4+ + 20 = 2i0(个)数，所以(2i, 2)表示的是第2i0+2=2i2(个)数.因为这些数按照i , V2, V3, 46的顺序循环出现，2i2 + 4=53,所以(2i, 2)表示的数是M6,所以(4, 2)与(2i, 2)表示的第 页第 页两数之积是逆x逆=6.4.2019 解析因为“ ii.li1 + ?+22= i +彳一5，1+22+32=i i1十万一与，1十9也i+i-i 3 4i , i - i所 +20I82+20I92= + 20I8i20I9所以S20I9 = i + 7- q + i + 7 - 7 +i 22 3i ii+3-4 +i i i+20i7

6、-20i8i _ i i+ 20i8-20i9= 20i9+ i i20i9=20i9+20i820i920i8包=竺二亚=i =2020 20i820i820i9 20i9.先观察题设给出的Si, S2, S3 的值，进而猜想、探索 S20I9的值，然后代入结果中化简计算即可.5.解：猜想：/5-26=5 AJ26.25X55= 5 V 26.nn7（n为正整数）.6.导学号：34972I06解：(I)因为 a+b/3= (m+rn/3)2,所以 a+bV3= m2+3n2 +2mn/3,所以 a=m2+3吊，b= 2mn.故答案为m2+3n2, 2mn.(2)设 m= i, n= i,所以 a=m2+3n2 = 4, b=2mn = 2.故答案为4, 2, i,。3.(答案不唯一)由题意，得 a=m2 + 3n2, 4=2mn,因为m, n均为正整数，所以m=2, n=1或m=1, n=2,所以 a=22+3X 12=7 或 a= 12+3X 22= 13.综上所述，a的值为7或13.解：(1)因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：OA1 =4,OA2=ROA3= 3(3,，OAn=g,所以 OAn2=n, Sn = 2 5=坐.(2)当Sn=2乖时,有2乖=乎,解得n= 32.即说