沪科版-八年级数学下册期末复习讲义

1、八年级数学下册复习讲义第十六章二次根式知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如 而缶之6的式子叫二次根式，其中口叫被开方 数，只有当/是一个非负数时，血才有意义.【典型例题】题型一：二次根式的判定【例 1】下列各式 1) A，2)C,3) Jx2 2,4)/5)j( 3)2,6)VTa,7)Ja2 2a 1 , 其中是二次根式的是 (填序号).题型二：二次根式有意义【例2】若式子,有意义，则x的取值范围是. x 3题型三：二次根式定义的运用例 3若 y=0, b0).二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个 因式积的算术平方根。点, bb = Tab . ( a

2、 A 0, b A 0).商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方 根除以除式的算术平方根.(a0, b0).二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。(a0, b0)注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等 式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把 运算结果化成最简二次根式.【典型例题】【例11】化简(1)9 16(2),16 81(3)5 2 15【例12】x33l2计算(1)1 1(4)(2) V127(3)知识点六：二次根式计算一一二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次

3、根式（即同 类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是 先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时， 二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数.【典型例题】【例13】计算(1) 322 7-5/75 2y05 3 ；(2)10 r- -V20 勺 J4 37245 ；227534,57【例14】(2)知识点七：二次根式计算一一二次根式的混合计算与求值【知识要点】1、确定运算顺序;2、灵活运用运算定律;3、正确使用乘法公式;4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题】21

4、、2苏（幺0）3的2、方（2匹b 2.a22+4J1 3版）一4一十4一 2-十1【例15已知：鼻（2,求一口二i 一的值.知识点八：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法当a 0,b 0时，如果a b,则百/ ；如果a b ,贝U指标。2、平方法 当a 0,b 0时，如果a2 b2 ,则a b ；如果a2 b2 , 则a b。3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性 进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质： a b 0 a b； a

5、 b 0 a b8、求商比较法aa1 a b 一1 a b匕运用如下性质：当a0, b0时，则：b;b【典型例题】【例16比较3而与573的大小.【例17】比较系与*的大小.元二次方程、知识结构:解与解法一元二次方程 根的判别 韦达定理、考点精析 考点一、概念（1）定义：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样 的整式方程就是一元二次方程。 (2) 般表达式:ax2 bx c 0(a 0)难点：加何理解“未知数的最高次数是2”: 该项系数不为“0”；未知数指数为“ 2” ；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题:例1、下列方程中是关于x的一元二

6、次方程的是（）A、3 x 1 2 2x1 B、工.120 C、ax2 bx c 0 D、x2 2x x2 1 21 x x变式：当k 时，关于x的方程kx2 2x x2 3是一元二次方程。例2、方程m 2 x|m 3mx 1 0是关于x的一元二次方程，则 m的值为。考点二、方程的解1）概念：使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。忸应用：愀用根的概念求代数式的值；典型例题:例1、已知2y2 y 3的值为2,则4y2 2y 1的值为考点三、解法7）方法：I直接开方法;因式分解法；配方法；公式法 回关键点：I降次类型一i、直接开方法：x2 mm 0, x 而对于x a 2 m, ax m 2 b

7、x n 2等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：12x2 8 0； 2 25 16x2=0； 3 1 x 2 9 0;例2、若9x 1 2 16 x 22,则x的值为。类型因式分解法 ：x x1 x x2 0 x x，或x x2 TOC o 1-5 h z 方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”， 历程形式：削ax m2 bxn2, x a x b x a x c ,x2 2ax a20典型例题：例1、2x x 3 5x3的根为（）.552A x B x 3 C x1, x2 3 D x -225例 2、若 4x y 2 3 4x y 4 0,则 4x+y 的值为。例3

8、、方程x2 x 6 0的解为（)A. xi3,X22 B.xi3,X22 C.xi3, X23 D.xi2, X22例4、解方程：x2 3 1 x 2.3 4 0例5、已知2x2 3xy2y20,则二的值为x y类型三、配方法2ax bx c 0 a 0b2a,2)b 4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。典型例题:例1、试用配方法说明x2 2x 3的值恒大于0。例2、已知X、y为实数，求代数式x2 y2 2x4y 7的最小值。例3、已知x2 y2 4x 6y 13 0, x、y为实数，求xy的值例4、分解因式：4x2 12x1 0例2、在实数

9、范围内分解因式:(1)x22V2x3；(2)4x28x 1 .2x24xy5y2说明：对于二次三项式ax2 bx c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2 bx c=0,求两根，再写成ax2 bx c = a(x xi)(x x2).分解结果是否把二次项系数乘 进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、“降次思想”的应用求代数式的值；解二元二次方程组典型例题:32例1、已知x2 3x 2 0,求代数式;的值例2、如果x2 x 1 0,那么代数式x3 2x2 7的值说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种： 先消元，再降次;先降次，再消元。但都

10、体现了一种共同的数学思想一一化归思想, 即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式b2 4ac根的判别式的作用定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例1、若关于x的方程x2 2乐x 1。有两个不相等的实数根，则k的取 值范围是。例2、关于X的方程m 1 x2 2mx m。有实数根，则 m的取值范围是()A. m 0且m 1 B. m 0 C. m 1 D. m 1例3、已知关于x的方程x2 k 2x 2k 0(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰 ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求ABC勺周长例4、已知二次三项式9x2 (m 6)x m

11、 2是一个完全平方式，试求m的值. 、-2-2例5、m为何值时，方程组x 2y 6,有两个不同的实数解有两个相同 mx y 3.的实数解考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例1、关于X的方程m 1 x2 2mx 3 0有两个实数根，则m为，只有一个根，则 m为。例2、不解方程，判断关于X的方程x2 2x k k2 3根的情况例3、如果关于X的方程x2 kx 2 0及方程x2 x 2k 0均有实数根， 问这两方程是否有相同的根若有，请求出这相同的根及 k的值；若没有，请说明 理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题考点七、根与系数

12、的关系H前提：才寸于ax2 bx c 0而言，当满足a 0、0时,才能用韦达定理。主要内容：Xi X2bc一 , Xi X2 aa应用：整体代入求值典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 2x2 8x 7 0的两根，则这个直角三角形的斜边是()A. .3D.、,6例2、已知关于X的方程k2x2 2k 1x 1 0有两个不相等的实数根Xi,X2,(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时，小明因看错常数项，而得到解为 8和2,小红因看错了一

13、次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗其正确解应该是多少例 4、已知 a b, a2 2a 1 0, b2 2b 1 0,求a b 变式：若a2 2a 1 0, b2 2b 1 0,则a b的值为。 b a例5、已知，是方程x2 x 1 0的两个根，那么4 3.针对练习：1、解方程组x2 y 23,x2 y2 5 (2).已知 a2 7a 4, b2 7b 4(a b),求 | |的值。3、已知x1,x2是方程x2 x 9 0的两实数根，求x7x22 3x2 66的值.勾股定理知识要点1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为 a, b,匹斜边长为c,那么a2+b2=

14、c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.热诋一F勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的应用：在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前 提条件2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a, b, c有下面关系: a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。勾股逆定理的应用：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，在运用这一定理时应注意:.勾股数：满足a2+b2 = c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a, b,c 为勾股数，那么 ka ， kb， kc 同样也是勾股数组. ）常见勾股数： 3， 4， 5； 6 ， 8， 10；

15、5， 12， 13； 9 ， 12， 15. 判断直角三角形： 如果三角形的三边长a、 b、 c 满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。 （ 经典直角三角形： 勾三、股四、弦五）其他方法： （ 1 ） 有一个角为 90 的三角形是直角三角形； （ 2） 有两 个角互余的三角形是直角三角形 .用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（ 1 ）确定 最大边（不妨设为 c ） ；（2）若c2 = a2+b2,则 AB磊以/C为直角的三角形；若a2+b2c2,则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）. 注意： （ 1 ） 直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半.（ 2）在直角三角形中

16、，如果一个锐角等于 30 ，那么 它所对的直角 边等于斜边的一半 .（ 3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半 ，那么这条直角边所对的角等于30 .勾股定理的验证勾股定理及其逆定理的实际应用】 1、某经济开发区有一块四边形空地 ABCD如图所示，现计划在该空地上种上草皮，经测量 / B= 90 , AB= 300 m, AD= 1300 rn CD= 1200mi BG= 400 m,请计算种植草皮的面积是多少2、如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A, B是方格纸 的两个格点（即正方形的顶点），在这个6X6的方格纸中，找出格点 C,使 ABC为面积是1个平方单位的直角三角形

17、，满足条件的点的 个数是.3、如图, 在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，一正放置的四个正方形的面积为S、&、$、S4,则S+S4、如图是一个圆柱体，它的高为 40 cm,底面周长为60 cm.在圆柱 的下底面A点处有一只蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处 的苍蝇，需要爬行的最短距离是 cm.5、如图是一块长、宽、高分别是 4 cm 2 cm和1 cm的长方体木块, 一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点 A处，沿着长方体的表面到长方 体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是cm.6、如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽米,请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道7、定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形