2.2.2 二次函数的性质图像

1、张喜林制2.2.2二次函数的性质与图象教材知识检索考点知识清单1二次函数的定义函数叫做二次函数，它的定义域为2函数yax2(a0)的图象和性质(1)函数yax2(a0)的图象是一条顶点为原点的抛物线，a0时，抛物线开口_；a0时，抛物线开口向上，函数在处取最小值y在上是增函数；min，在区间上是减函数，当a0时，抛物线开口向下，函数在处取最大值ymax，在区间_上是增函数，在_上是减函数(2)二次函数yax2bxc(a0)配方后为，顶点坐标为，对称轴方程为(3)二次函数yax2bxc(a0)的定义域为，当a0时，值域为；当a0时，单调递增区间为，单调递减区间为；当a0，向上；a0，向下对称轴方

2、程为xb,顶点坐标为2ab4acb24a(2)性质：定义域为R,);a0,(,值域：a0,4acb24acb24a4a单调性：a0,在(,bbb)上是减函数，在(,)上是增函数；a0,在(,)上是增函2a2a2a数，在(b2a,)上是减函数奇偶性：a0,b0,偶函数max,无最大值；a0,y最大值和最小值：在定义域R上：a0,ymin4acb24acb24a4a,无最小值2/17张喜林制3二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的联系n时，最小值为f(),最大值为f(m)或f(n)m、n中离b当m较4a4二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间m，n上的最值的求法对于二次函数f(x)

3、ax2bxc(a0)在某个区间m，n上的最值问题主要分为以下两种情况：(1)区间及对称轴均确定的二次函数的最值问题（简称轴定区间定）对二次函数f(x)ax2bxc(a0)在区间m，n上的最值（若顶点固定，区间也固定）有以下结论：a当bm时，f(x)在m，n上单调递增，最小值为f(m),最大值为f(n);2abb4acb2b2a2a2a远的一个对应的函数值为最大值1C当bn时，f(x)在m，n上单调递减，最小值为f(n),最大值为f(m).a0时，可仿此讨2a论二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的图象的顶点处取得可画出草图帮助分析、解决问题，体现数形结合的思想(

4、2)二次函数的区间固定、对称轴不定的最值问题（简称轴变区间定），区间固定、对称轴不定，即抛物线处在运动状态之中，但区间固定解决这类问题一方面要对对称轴与区间的相对位置进行讨论（这是解决问题的关键）另一方面可以画出草图以帮助分析问题，典例分类剖析考点1二次函数的图象的作法与特征分析3/17张喜林制例1(1)在同一坐标系中画出下列函数的图象，并指出它们的不同之处x2;y2x2,yx2.y2x2,y1122解析(1)如图2-2-2-2所示，它们的不同之处是y2x2比yx2开口要小些；11(2)画二次函数yx26x21的图象，并说明它是如何由yx2经过平移得到的22121如图2-2-2-2所示，它们的

5、不同之处是y2x2比yx2开口要小些2(2)利用配方法或公式法求得抛物线的顶点坐标为(6，3)，对称轴为x6.令x0,求得y21,即它与y轴的交点为(0，21)，此交点距顶点太远，画图时利用不上；令y0,即12x26x210,0,方程无实数解,抛物线与x轴没有交点因此，画此函数的图象时，应利用函数的对称性列表，在顶点的两侧适当地选取两对对称点，然后描点、画图即可利用二次函数的对称性列表如下：x45678y53.533.55描点、连线即得函数y11x26x21的图象，如图2-2-2-3所示把yx2的图象先向221右平移6个长度单位，再向上平移3个长度单位，就可得到yx26x21的图象，2母题迁移

6、1作出下列函数的图象并写出其值域(1)y|x22x|;(2)y2x24x3(0 x3).考点2二次函数解析式的求法4/17张喜林制a例2已知二次函数f(x)同时满足条件：f(1x)f(1x);f(x)的最大值为15；f(x)0的两根的立方和等于17求f(x)的解析式解析从所给条件f(1x)f(1x)知，f(x)的图象关于直线x1对称又f(x)的最大值为15，可设f(x)a(x1)215,其中a2时，要使f(x)1恒成立，只需f(2)1,即t3,2t3.综上得t的取值范围是13,3母题迁徙6不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则a的取值范围是()A(,2B(,2)C.(2,2D.

7、(2,2)9/17张喜林制10/17张喜林制优化分层测训第一课时学业水平测试11/17张喜林制1二次函数y4x2mx5的对称轴为x2,则当x1时，y的值为()A.7B.1C.17D.252已知函数yax2bxc的图象如图2-2-2-6所示，则b的取值范围是()2D.bA.b2B.b2C.b5523已知使函数yax22xc的值大于3的x的集合是x|0 x1,则ac的值为()A.1B.1C.5D.54函数y2x26x1在1x1上的最小值为，最大值为5二次函数yax2bxc(xR)的部分对应值如下表：X-3-2-101234y60-4-6-6-406则不等式ax2bxc0的解集为6(1)画出y|x2

8、4x|的图象；(2)解不等式|x24x|3.高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8=40分）1如图2-2-2-7所示为yax2bxc(a0)的图象，下列结论中正确的是()A.abc0B.abc0C.abc0D.2c3b2若f(x)(m1)x2(m21)x1是一个偶函数，则f(x)在(,0上是()12/17张喜林制A增函数B常数函数C减函数D可能是增函数，也可能是常数函数3函数yx2bxc在1,)上是单调增函数，则有()A.b1B.b1C.b2D.b24若二次函数f(x)ax2bxc,当f(x)f(x)(xx)时，f(xx)（）121212bbA.B.C.cD.

9、2aa4acb24a5函数y(x4)2在某区间上是减函数，则这个区间可以是（）A.(4B4,)C.4,)D.(,46（2010年安徽高考题）设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()x24x6,x0,7（2009年天津高考题）设函数f(x)则不等式f(x)f(1)的解集是()x6,x0,A.(3,1)(3,)B(3,1)(2,)C.(1,1)(3,)D(,3)(1,3)8若二次函数f(x).ax2bxc满足f(1)f(4),那么()Af(2)f(3)Bf(3)f(2)Cf(3)f(2)Df(3)与f(2)的大小关系不定二、填空题（5分4=20分）9二次函数f(x)满足(11x)(

10、x),且在x轴上的截距为-1，在y轴上的截距为4，则此函数的解析22式为10已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1,),则a的值为11.若函数ykx26xk8总有意义，则k的取值范围是12.设b0，二次函数yax2bxa21的图象（如图2-2-2-9)为下列之一：13/17,a其中正确的是a的值为a1,a1,a张喜林制151522三、解答题（10分4=40分）13设二次函数f(x)满足f(x2)f(2x),且在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为22,求f(x)的解析式14.对任意实数x，一元二次不等式(2m1)x2(m1)x(m4)0恒成立，求实数m的取值范围15.要在长为

11、800m、宽为600m的一块长方形地面上进行绿化，要求四周种花卉（花卉带的宽度相等）中间阴影部分种草皮（如图2-2-2-10）要求草皮的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的范围16.已知二次函数yf(x)的图象以原点为顶点且过点(1，1)，反比例函数yf(x)的图象与直线yx12的两个交点间距离为8，f(x)f(x)f(x)12(1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a3时，关于x的方程f(x)f(a)有三个实数解第二课时学业水平测试1函数yx2x1在-1，1上的最小值和最大值分别是()14/17张喜林制311A.1,3B.,3C.,3D.,34242函数f(x)11x(1x)的最大值为

12、()4534A.B.C.D.54433函数yx22x2在3，5）上的最值情况是()A有最小值5，有最大值B有最小值5，无最大值C无最小值，有最大值17D无最小值，有最大值504函数yx22ax1a(a0)在区间0，1上有最大值2，则a=5函数yxx2的最小值为，最大值为6函数f(x)13x2x的定义域和值域都是1，6(61)，求b的值22高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分8=40分）1函数f(x)x2mx4(m0)在(,0上的最小值是()A.4B.4C与m的取值有关D不存在2二次函数yf(x)满足f(3x)f(3x),且f(x)0有两个实根x,x,则xx等于(

13、)1212A.0B.3C.6D不能确定3抛物线yax2bxc和yaxb在同一坐标系中（如图2-2-2-11)的示意图正确的是()4已知二次函数f(x)x2xa(a0),若f(m)0,则f(m1)的值是()A正数B负数C零D符号与口有关x2,x1,5（2007年浙江高考题）设f(x)x,x1,g(x)是二次函数，若f（g(x)）的值域是0,),则g(x)的值域是()A.(,11,)B(,10,)C0,)D.1,)15/1782010年天津高考题）设函数g(x)x22(xR),f(x)则f(x)的值域是g(x)x,xg(x)A.,0(1,)B0,)C,)D.,0(2,)张喜林制x24x,x0,6(

14、2009年天津高考题)已知函数f(x)若f(2a2)f(a),则实数a的取值范围是4xx2,x0,()A(,1)(2,)B(1,2)C(2,1)D(,2)(1,)7函数yx22ax(0 x1)的最大值是a2,则实数a的取值范围是()A.0a1B.0a2C.2a0D.1a0g(x)x4,xg(x),()999444二、填空题（5分x4=20分）9函数y1(2x2)的值域为x22x210.函数f(x)x22ax1在区间-1，2上的最大值为4，则a11.（2008年湖北高考题）已知函数f(x)x22xa,f(bx)9x26x2.其中xR,a,b为常数，则方程f(axb)0的解集为12（2008年上海高考题）若函数f(x)(xa)(bx2a)（常数abR)是偶函数，且它的值域为h(,4,则该函数的解析式f(x)=三、解答题（10分4=40分）13求函数yx22x3在区间0，a上的最值x2的最大值不大于,又当x,时，f(x),求a的值14.已知函数f(x)ax311112642815.已知对一切实数x,yx24ax2a6的值均为非负数，