新教材人教版高中数学必修第一册 4.1.1 n次方根与分数指数幂 教学课件

1、第4章 指数函数与对数函数4.1.1 n次方根与分数指数幂01什么是n次方根？02n次方根的性质03什么是根式？04什么是分数指数幂？05分数指数幂的性质？什么是n次方根？1什么是n次方根？1【温故】我们知道，如果 ，那么 叫做 的平方根.例如，2就是4的 平方根. 如果 ，那么 叫做 的立方根.如2就是8的立方根. 类似地，由于(2)4=16，我们把2叫做16的4次方根. 一般地，如果 ，其中， n1，且nN* 正数有两个平方根，一个算术平方根；0有一个平方根，一个算术平方根；负数没有平方根.那么 叫做 的n次方根，n次方根的性质2n次方根的性质2【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正

2、数，负数的n次方根是一个负数. 这时，a的n次方根用符号 表示.例如 【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方 根用 表示，负的n次方根用 表示.两者也可以合并成 . 例如【3】 负数没有偶次方根.【4】 0的任何次方根都是0.记作： 因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意实数的偶次方是非负数.什么是根式？3什么是根式？3【定义】式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.根指数被开方数根据n次方根的定义，可得： ，比如：【1】 一般读作“n次根号a”【2】 当a0且n为偶数时， 在实数范围 内没有意义.【3】 当 有意义时， 是一个实

3、数，且 它的n次方等于a.什么是根式？3【探究】 表示 的n次方根， 一定成立吗？【结论】当n为奇数时，当n为偶数时， 是实数 的n次方根，恒有意义，不受 的正负限制.但是受n的奇偶限制.本质算法是先乘方，再开方.结果不一定等于 ，当n为奇数时， ；当n为偶数时， 是实数 的n次方，在 有意义的前提下，实数 的取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结果恒等于 .什么是根式？3(1) (2) (3) (4)【1】求下列各式的值.【解】(1) (2)(3) (4)什么是分数指数幂？4什么是分数指数幂？4【探究】根据n次方根的定义和运算，我们知道 ，也就是说，当根式的被开方数(看 成幂的形式)

4、能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式.【思考】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为 分数指数幂的形式呢？【设想】把根式表示为分数指数幂的形式时，例如把 写成下列形式： 我们希望整数指数幂的运算性质，如： ，对分数指数幂同样适用.什么是分数指数幂？4【定义】由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是： 于是，在条件 下，根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿. 我们规定， 例如， 我们再规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.什么是分数指数幂？4 不可以.显然 不是半个 相乘，它的实质是根式的另一种写法，如 .在这样的规定下，根式与分数指数幂就是表示相同意义的量，只是形式不同【问题1】 可以理解为 个 相乘吗？【问题2】分数指数能约分吗？ 不能随意约分.因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如约分后变成了 ，而 在实数范围内无意义.分数指数幂的运算性质5分数指数幂的运算性质5 时运算法则不一定成立.研究的一般性要求： ，此时法则一定成立.分数指数幂的运算性质5(1) (2)【1】求下列各式的值.【解】(1)(2)分数指数幂的运算性质