《因式分解》各地自主招生试题精选

1、第 页(共15页)第 页（共15页）因式分解各地自主招生试题精选一.选择题(共10小题) TOC o 1-5 h z 1,已知 M=62007+72009, N=62009+72007,那么 M , N 的大小关系是()A. MN B. M=N C. MN D.无法确定2.已知 2x2-3xy+y2=0 (xy4),则三R的值是()y 1A，2 CWD-2吗3,若 m2=n+2, n2=m+2, (m加)，贝U m32mn+n3 的值为()A. 1 B. 0 C. - 1 D. - 24.已知 a2 (b+c) =b2 (a+c) =2015,且 a, b, c互不相等，贝U c2 (a+b)

2、 - 2014 的值为()A. 0 B. 1 C. 2015 D. - 20155.已知三个整数a, b, c的和为奇数，那么a2+b2 - c2+2abc ()A. 一定是非零偶数B.等于零C. 一定为奇数D.可能是奇数，也可能是偶数6.已知 a为实数，且 a3+a2 a+2=0,贝U (a+1) 8+ (a+1) 9+ (a+1) 10 的值是()A. - 3 B. 3 C. - 1 D. 17,若 3x2-x=1,贝 U 9x4+12x3-2x2- 7x+2008=()A. 2011 B, 2010 C. 2009 D. 2008.若 x3+x2+x+1=0,贝U x.27+x-26+x

3、1+1+x+x26+x27 的值是()A. 1 B. 0 C. - 1 D. 2.已知 AABC 的三条长 a、b、c 满足 b+c=8, bc=a2 - 12a+52,则 AABC 的形 状一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直加三多形D.无法确定.已知 +B +：-3,贝 U(a-b)2+(b-c)2+(a-b)(b-c)的值为a+b+c( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二.填空题(共8小题).已知 a=998, b=997, c=996,贝Ua2ab ac+bc=.在有理数范围内分解因式：(x-3) (x-1) (x+2) (x+4) +24=.已知曰舟L b二看2.

4、 c=-nH-5,贝U a2+2ab+b22ac+c22bc 的值=.若 x+y=1,贝U x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于.日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用 因式分解”法产生的密码， 方便记忆.原理是：如对于多项式x4-y4,因式分解的结果(x-y)(x+y)(x2+y2), 若取 x=9, y=9 时，则各个因式的值是：(x-y) =0, (x+y) =18, (x2+y2) =162, 于是就可以把“01816等为其中一个六位数的密码.对于多项式 4x4y -5x2y- 9y,取x=5, y=5时，用上述方法产生的所有密码中最小的一个是 .已

5、知多项式 2x2+3xy2y2 x+8y 6 可以分解为(x+2y+m) (2x-y+n)的一形式，那么与比的值是.n -1.已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17 , x2y+xy2=66 ,则 x4+x3y+x2y2+xy3+y4=.已知正实数x、v、z满足*以芷+了卫=15 ,则x+y+z+xyz=.Lz+y+zx=35三.解答题(共8小题).分解因式：2x2 - 7x+3(x2+2x) 2-7 (x2+2x) - 8x2+2x 15 ax 5a.20.分解因式：3x2+5xy2y2+x+9y 4.21 .若x3+5x2+7x+a有一因式x+1 ,求a的值，并将原式因式分解.已知(

6、c- a) 2-4 (a-b) (b-c) =0,求证：2b=a+c. 一个自然数(即非负整数)若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然 数为 好数” .例如，16=52- 32就是一个 好数”.(1) 2014是不是好数”？说明理由.(2)从小到大排列，第2014个好数”是哪个自然数？f x-Fy+z=O.已知x、v、z是整数，且xyN B. M=N C. M62007 0,. MN,故选A.【点评】本题考查了提公因式法、分组分解法分解因式，比较两个数的大小，求 差法是常用的方法之一.2.（2013?兆源县校级自主招生）已知2x2 - 3xy+y2=0（xy为），贝户且 的值是（）y 工【

7、分析】对等式两边同时除以x2,得（工_3上+2=0,解方程可得=1或2,即=二1或春，即得耳+=2或2.y 2 y x 2【解答】解：根据题意，2x2- 3xy+y2=0,且xy为，故有（）-32+2F ， x x即（工-1）（岂-2）30， x x即得义二1或2,故工=1或上，hy 2所以-+-=2 或 2-.y I 2故选A.【点评】本题主要考查的是利用因式分解法求解方程，要求学生能够熟练掌握这种解题方法.第 页(共15页)第 页(共15页)A. 1 B. 0C. - 1 D. - 2【分析】对原式分析可将原式变形为(n+2) m-2mn+n (m+2),对其化简即可 得出结果【解答】解：

8、根据题意，原式=(n+2) m 2mn+n (m+2) =mn+2m 2mn+mn+2n=2 ( m+n) ，又 m2=n+2, n2=m+2,故有 m2- n2=n - m,得 m+n= - 1,故原式=2 (m+n) =- 2.故选 D 【点评】 本题主要考查的是学生对因式分解的运用及对已知条件的灵活处理， 要 求学生熟练掌握并应用( 2015?武汉校级自主招生)已知a2( b+c) =b2( a+c) =2015，且a， b， c 互不相等，贝U c2 (a+b) -2014的值为()A. 0 B. 1 C. 2015 D. - 2015【分析】由a2(b+c)=b2(a+c)=2015

9、 得 a2(b+c)- b2(a+c)=0,左边因式分解可得(a-b) (ab+ac+b。=0,从而有 ab+ac+bc=O,结合 b2 (a+c) =2015知- abc=2015,将原式变形可得c2 (a+b) -2014=-abc- 2014,代入即可得答案.【解答】解：= a2 (b+c) =b2 (a+c) =2015,a2 (b+c) - b2 (a+c) =0, a2b+a2c- ab2 b2c=0, ab (a- b) +c (a+b) (a- b) =0, (a- b) (ab+ac+bc) =0,a, b, c互不相等，即a- b为，ab+ac+bc=O,又b2 (a+c)

10、 =2015,即 b (ab+bc) =2015,b? ( - ac) =2015,即-abc=2015, 则 c2 (a+b) - 2014=c (ac+bc) - 2014 =c? ( - ab) - 2014=-abc- 2014 =2015-2014=1 故选：B【点评】本题主要考查因式分解的应用，由a2 (b+c) - b2 (a+c) =0因式分解得(a- b) (ab+ac+bc) =0,从而得到-abc=2015是解决此题的关键，将已知条 件经过变形使其与待求代数式联系到一起是解题的思路(2008城都校级自主招生)已知三个整数 a, b, c的和为奇数，那么a2+b2- c2+

11、2abc()A 一定是非零偶数B 等于零C. 一定为奇数D.可能是奇数，也可能是偶数【分析】先把代数式分解因式，再根据已知进行讨论得出正确选项【解答】解：a2+b2 c2+2abc= (a+b+c) (a+bc) +2abc- 2ab= (a+b+c) (a+bc) +2 (abc- ab),已知 a+b+c 为奇数，而改变加减运算符号，不改变奇偶性，；a+b-c也为奇数,贝U ( a+b+c) (a+b- c)也为奇数，2 (abc- ab)是偶数，. 孑+b2-c2+2abc= (a+b+c) (a+b- c) +2 (abc- ab) 一定是奇数，故选： C【点评】本题考查了因式分解的应

12、用，把式子分解因式是解题关键(2012?丰埠自主招生)已知a为实数，且a3+a2-a+2=0,贝U (a+1) 8+ (a+1)9+( a+1) . ( 2010?长 沙校级自主招生)若 x3+x2+x+1=0 ,则 x 27+x 26+x 1+1+x+i+x26+x27 的值是() A. 1 B. 0 C. - 1 D. 2【分析】对所给的条件x3+x2+x+1=0进行化简，可得x= - 1,把求得的x=-1代 入所求式子计算即可得到答案【解答】解：由 x3+x2+x+1=0,得 x2 (x+1) + (x+1) =0,(x+1) (x2+1) =0,而 x2+1 为， 的值是( )A. -

13、 3 B. 3 C. - 1 D. 1【分析】首先对s3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为(a+2) (a2-a+1) =0,因 而可得a+2=0或a2 - a+1=0,分别针对这两个式子根据 a是实数来讨论a的取 值进而求出( a+1) 2008+( a+1) 2009+( a+1) 2010 的值【解答】解：: a+a2- a+2=0,(a+1) + (a?-a+1) =0,(a+1) (M-a+1) + (a2- a+1) =0,(a+1+1) (a2- a+1) =0(a+2) (a2 - a+1) =0a+2=0或 a2 - a+1=0当 a+2=0 时，即 a+1 = -1,贝

14、 U (a+1) 2008+ (a+1) 2009+ (a+1) 2010=1 - 1+1=1.当a2 - a+1=0,因为a是实数，而=1-4=-36=109, x2y2=36x4+y4=1092 36 2=11809x4+x3y+x2y2+xy3+y4=11809+6X09+36=12499.故答案为：12499【点评】本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意因式分解的灵活应用.y+H 门= 15 ,则 升工+七工二35x+y+z+xyz= 36 .【分析】由ab+a+b+1= (a+1) (b+1)想到从分解因式入手，把每一个方程进行 因式分解，分别求出x、v、z的值，代入x+y+z

15、+xyz计算后可得答案.【解答】解：= x+y+xy=8 ,x+y+xy+1=8+1 ,(x+1) (y+1) =9,同理可得：(y+1) (z+1) =16,(x+1) (z+1) =36,解得 x=y=1, z=7.77x+y+z+xyz=+1+7MX7=36.故填36.【点评】本题考查了因式分解的应用；由ab+a+b+1= (a+1) (b+1)想到从分解因式入手，对每个方程进行变形是正确解答本题的关键.三.解答题(共8小题)(2016?偻阳校级自主招生)分解因式：2x2- 7x+3(x2+2x) 2-7 (x2+2x) - 8x2+2x - 15 - ax - 5a.【分析】(1)利用

16、十字相乘法分解因式即可；(2)把x2+2x看做一个整体，利用十字相乘法分解即可；(3)先利用分组分解法分解，再提公因式即可.【解答】解：(1) 2x2 - 7x+3= (2x-1) (x-3);(x2+2x) 2-7 (x2+2x) -8= (x2+2x-8) (x2+2x+1) = (x+4) (x - 2) (x+1)2?x2+2x-15- ax - 5a= (x+5) (x-3) - a (x+5= (x+5) (x-3-a).【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握分组分解法、公式法因式分解是 解题的关键.20.分解因式：3x2+5xy 2y2 +x+9y 4.【分析】首先将前三项利

17、用十字相乘法分解因式，进而拆项，提取公因式得出即【解答】解：3x2+5xy 2y2 +x+9y 4=(3x y) (x+2y) +x+9y - 4=(3x y) (x+2y) (3x y) +4x+8y - 4=(3x-y) (x+2y-1) +4 (x+2y-1)=(3x-y+4) (x+2y-1).【点评】此题主要考查了因式分解，熟练利用十字相乘法以及拆项法因式分解是 解题关键.21 .若x3+5x2+7x+a有一因式x+1 ,求a的值，并将原式因式分解.【分析】根据x3+5x2+7x+a有一因式x+1于是把原多项式写成(x+1) (x2+mx+n) 的形式，然后再求出m, n和a的值.【

18、解答】解：设 x3+5x2+7x+a= (x+1) (x2+mx+n),(x+1) (x2+mx+n) =x3+ (m+1) x2+ (m+n) x+n, lfnH-l=5即，nH-n=7 ,a=n解得 m=4, n=3, a=3,x3+5x2+7x+3= (x+1) (x2+4x+3) = (x+1) (x+3) (x+1) = (x+1) 2 (x+3).【点评】本题主要考查了因式分解的知识点， 解答本题的关键是把原多项式写出(x+1) (x2+ax+b)的形式,此题难度不大.22.已知(c a) 2-4 (a b) (bc) =0,求证：2b=a+c.【分析】本题需先利用完全平方公式对(

19、c- a) 2-4 (a-b) (b-c) =0进行整 理，最后解得(c+a- 2b) 2=0,即可证出结果.【解答】解：.( c- a) 2 4 (a-b) (b-c) =0,c2 - 2ac+a2+4ac- 4ab+4b2 - 4bc=0,即 (c+a) 2- 4b (a+c) +4b2=0(c+a- 2b) 2=0二 2b=a+c【点评】本题主要考查完全平方公式的应用，熟记公式是解题的关键.一个自然数(即非负整数)若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然 数为 好数” .例如，16=52- 32就是一个 好数”.2014是不是好数”？说明理由.(2)从小到大排列，第2014个好数”是哪

20、个自然数？【分析】(1)根据题意得出是好数，要么是奇数要么能被4整除，进而得出答案；(2)首先得出从小到大的 好数”为：0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13,， 进而求出第2014个好数”.【解答】解：(1) 2014不是 好数”.如果2014是 好数”，不妨设2014=m2- n2(m, n为自然数)，贝U (m+n) (mn) =2X1007,而 m+n, m n 的奇、偶性相同，即(m+n) (m n),要么是奇数要么能被4整除.所以2014不是好数”.(2)设k为自然数，由(1)类似可得如4k+2的自然数都不是 好数”，(k+1) 2 (k1) 2=4k

21、, (k+1) 2k2=2k+1,故4k, 2k+1的自然数都是 好数”，所以从小到大的好数”为：0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13,所以第n个好数”为：n-1+申，所以第2014个好数”为2684.【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据题意正确判断好数是解题关键.(2001?安徽自主招生)已知 x、y、z是整数，且 xyz,求满足&+yi z=0个 国 吸的x、y、z的值.3 + yJ+z3-18【分析】根据已知将是变形为 z=- (x+y),代入式，再利用立方公式求出-3xy (x+y) =-18,进而求出xyz= - 6,再利用x、y、z是整数，且x

22、yz, 求出即可.If【解答】解：q q q由得，z=- (x+y),将它代入方程，得 x3+y3- (x+y) 3=- 18,-3xy (x+y) =-18.将x+y= - z代入上式，得第i4页(共i5页)第i4页(共i5页)xyz= 6.又,x+y+z=0, x、y、z 是整数，且 xyz,x= 3, y=1, z=2,即：“尸1 .t z=2【点评】此题主要考查了立方公式的综合应用，根据已知得出 xyz=-6,进而得 出x, y, z的值是解决问题的关键.(20097?海县校级自主招生)宁海中学高一段组织了围棋比赛，共有 10名 选手进入了决赛，决赛阶段实行单循环赛(即每两名参赛选手都要赛一局， 且每 局比赛都决出胜负)，若一号选手胜ai局，输bi局；二号选手胜a2局，输b2局， 十号选手胜ai0局，输bi0局.试比较ai2+a22+ai02与bi2+b22+bi02的大小， 并叙述理由.【分析】依题意可知，ai+bi=9, a2+b2=9, a3+b3=9，故：bi=9 - ai, b2=9 - a2, b3=9-a3，用作差法列式，比较大小，运用乘法公式对