数学系常微分方程期末试卷B及答案

1、-. z. 数计学院 系 级 班 * _ * _ 任课教师 审题人 密封线试卷B 试卷份数 考试 本科 考试科目 常 微 分 方 程 题 号一二三四五六七总 分分 数阅卷人试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷； 2、考试所用时间：120分钟。 3、使用班级数计学院 数11级一、填空题每题3分，此题共15分 1方程的常数解是。 2方程的根本解组是。 3方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是。 4线性齐次微分方程组的解组为根本解组的条件是它们的朗斯基行列式。 5方程的任一非零解与轴相交。二、单项选择题每题3分，此题共15分6方程过点(0, 0)有 (A) 无数个解(B) 只有一个解 (C)

2、只有两个解(D) 只有三个解7. 方程 奇解A有一个 B有两个 C无 D有无数个 8有界是方程初值解唯一的 条件A必要 B必要非充分 C充分 D充分必要 第 1 页共 5页密封线 年 月 日 9、 微分方程的通解 A、 B、 C、 D、10阶线性非齐次微分方程的所有解 A构成一个线性空间 B构成一个维线性空间 C构成一个维线性空间 D不能构成一个线性空间三、简答题每题6分，此题共30分11. 解方程12. 解方程第2页共 5 页密封线 年 月 日13. 解方程14. 解方程15试讨论方程组的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。第 3 页共 5 页 年 月 日密封线四、计算题每题10分，此

3、题共20分16求方程的通解17解方程组：第4页共 5 页密封线 年 月 日五、综合能力与创新能力测试题每题10分，此题共20分18设和是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点19微分方程有积分因子,试求所有可能的函数.12-13-2学期期末考试常微分方程B参考答案及评分标准数计学院 制卷审核一、填空题每题3分，此题共15分 1 23平面4充分必要 5不能二、单项选择题每题3分，此题共15分6A 7C 8C 9D 10D三、简答题每题6分，此题共30分11解 别离变量得 3分等式两端积分得通积分 6分12解 令，则，代入原方程，得， 2分 当时，别离变量，再积分，得 4

4、分 5分即通积分为： 6分13解 方程两端同乘以，得 2分 令 ，则，代入上式，得 3分通解为原方程通解为 6分14解： 因为，所以原方程是全微分方程 2分 取，原方程的通积分为 4分 即 6分15解： 因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件 ，故奇点为原点0，0 2分又由det(A-E)=得 4分所以，方程组的奇点0，0可分为以下类型：a，c为实数 6分四、计算题每题10分，此题共20分16解：对应齐次方程的特征方程为 1分特征根为： 特征根为， 2分齐次方程的通解为 4分 因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 6分代入原方程，比拟系数确定出，原方程的通解为 10分17解：其系数矩阵为：， 2分特征多项式为：，其特征根为：， 4分当时，由方程组，可解得特征向量为： 6分由， 8分可知方程组的根本解组为：. 10分五、综合能力与创新能力测试题每题10分，此题共20分18证明 由于和是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式 * 5分 假设它们有共同零点，则存在一个点，使得= 于是这与*式矛盾 1019解