例说离散型函数的最值问题

1、22例说离散型函数的最值问题河南省人大附中郑州分校刘凡邮编(452370)(本文发表在2008.5，6中学生理科应试哈师大P22.)离散型函数在中学数学中通常是指自变量为正整数的函数，如数列、二项式、概率及随机变量的期望和方差等。本文仅就此类函数中的最值问题予以分类说明。数列的最值问题TOC o 1-5 h z例：若数列a的通项式为a，5(2)2”24(2)”i,(neN*).a的最大项为第X向，最小项nn55n为第y项，则xy，.解析：因为a，5(-)2”24(-)n1,令u，(2)”1,(”GN*),则u，.,a，5u24u.则由”555525”U的取值情况可知“,1时，a取得最大值，即为

2、数列的第一项。故x，1；当u，2(由二次”5函数的性质)时，a取得最小值，即为第二项，故y，2xy，3.”点评：本题在求解数列项的最大、最小值问题时，是通过换元法把原函数化成二次函数的形式，利用二次函数的图像及性质求解。切记必须注意“自变量”“的取值范围。例：已知数列a中，a，,(”gN*),则数列a的最大项为”2156”解析：由a，-，,而当”gN*时，”1562，”156，2、药当且仅当”2156156”,宜,即”2，156,当”gN*时，”，12或13,数列a的项取到最大值。”点评：利用关系式的结构特征巧妙变形、转化为均值不等式的结构形式求最大值或项(或最小值或项)是一种常见的方法。但须

3、注意均值不等式的应用条件及n取正整数的性质。例：已知数列a中，a,”八79,(”Gn*)，则在数列a的前50项中最小项和最大TOC o 1-5 h z”780”项分别为.解析：因为a，心戛，1沁亠，18时，迷0-夕o.数列a是递减数”八80”八80”*80”列，此时a最小；当9”0,数列a仍是递减数列，此时，a最大。8”-J80”9点评：适当化简、转化把原函数的关系式变形为可以利用函数的单调性来求解也是一种很重要的方法。应用单调性求解数列项的最大值时，应注意有时必须分类讨论，依据自然数n的取值范围，确定其单调区间，再依据其在对应区间的单调性求出最大、最小值。例：等差数列a的首项a0,前n项和为

4、S，当lm时，S0,当lm时，S，S,故d1时，2222g/(x).-0g.(x)在1,+8)上是减函数，故V，6-(n+3)(丄)-1当n1时是增函数，所以数列n2C的前n项和v不存在最大值。nn点评：构造函数，利用导数来研究函数的单调性，进而讨论求得数列前n项和的最大(最小)值，也是一种很重要的探求数列最值的方法。注:求数列最值问题时，除了以上方法之外，如果数列是等差数列求前n项和时，只需用邻项变号来讨论：Q当a0,d0且a0的项数m使前m项和s有最大值；Q当a0时，满足a0的项数怎使得S取得最小值。1mm+1m概率统计中的最值问题例：现有12道选择题，每题有4个答案，其中只有一个答案是正

5、确的。如果任意勾选，问选对几题的概率最大？解析：很显然，每道题勾对的概率都为丄勾错的概率都是3于是原问题可以归结成1244次独立重复试验，那么勾对k(1kTk-1TCk-1()k-1()13-k1244133Ck-1112123CkCk+112124k99k13又keN*，k，3.即勾对3道题的概率最大。44点评：一般地，解决此类问题时常可以采用假设第k项(次)为最大(最小)，那么就2有,f(k)f(k-1)或,f(k)f(k-】)恒成立，由此不等组解出k的范围，进而结合k的正整丿(k)f(k+1)If(k)f(k+1)数性质求出k的取值，就可以求出相应的最大值(项)例：某学校一共有编号分别为

6、1，2，3，20的20个水龙头，调查表明在课间休息的某时刻每个水龙头被打开的概率为丄.设随机变量表示该时刻同时被打开的水龙头个3数。记P=k)=a,试求数列a的最大项。kn解析：显然g(20,1),于是a=P(g=k)=Ck(丄)k(2ak.从而：3k2033ak+Tak12Ck+1()k+1()19k203312Ck()k()20k20331(20-k)-31,二0k6.二当0ka;当k二6时，a=a;k+1kk+1k(k+1)一32当6k19时，aa.即aaaaa.所有数列a的最大项为TOC o 1-5 h zk+1k01267820n1212920 x214a=a=C6()6()14=.

7、672033319点评：利用比较思想建立不等式，解出变量k的取值范围，从而可以利用其划分出函数的单调区间，进而结合单调性确定出最大、最小值(或项)或者直接利用比较的手段探求出有关的最值也是一种常用求解此类问的方法。二项式有关最值问题例：求(、-匚)10的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。2“x解析：由条件知展开式中的第r项是T=Cr(-1)r2-rX罗,系数的绝对值是C2-r,若它TOC o 1-5 h zr+11010r+11最大，则有JC02-rCT2-ICr2-rCr-12-(r-1)1010_于是可化简得10-r2,.8r11由于reN”r=3.故可11-r332r以得到系

8、数的绝对值最大的项是第四项，即-C3.2-3X2=-15X2.系数最大的项应该在各项数10为奇数的项之内，即r取偶数时：0，2，4，6，8各项系数分别为c020,c22-2,c-82-8,即101010为1,竺,凶5凹二5.因此系数最大的项是第2项，即为105x3.48322268例：在(1+X+px2)10的展开式中，试求使X4系数为最小时p的值。解析：由(1+X+pX2)10=1+X(1+pX)10=1+C1X(1+pX)+C2X2(1+pX)2+C10X10(1+pX)10,101010由展开式可以求得X4项的系数为：C2C2p2+C3C2p+C4=42p2+360p+210=42(p+4)2210.a10210310当且仅当p=-4时，x4的系数为最小。点评：利用题设条件，把问题转化成关于某个字母的函数，利用函数性质(本题为二次函数)求解有关二项式的最值问题，也是一种常用的方法。注：除了上述情形以外，我们在求二项式中的二项式系数的最值时，可以直接在(ab)n的展开式中进行讨论：当n为偶数时，只有中间的一项即第n+1项的二项式系数为最大；2当n为奇数