专题06 转化与化归-特殊方程、方程组培优专题

1、专题06转化与化归-特殊方程、方程组阅读与思考特殊方程、方程组通常是指高次方程（组）次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是：1、因式分解；2、换元；3、平方；4、巧取倒数；5、整体叠加、叠乘等.转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二次方程，这也可以说是“九九归宗”.例题与求解【例1】已知方程组xy53x2y223的两组解是(x,y)与(x,y)，则xyxy的值是_11221221【例2】方程组xzyz23的正整数解的组数是（）（北京市竞赛题）.解题思路：通过消元，将待

2、求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值xyyz63A1组B2组C3组D4组解题思路:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手【例3】解下列方程:（1）（2）13xx213x（(x)42；“祖冲之杯”邀请赛试题）x1x1x23xx2x411；（河南省竞赛试题）2x22x83x29x12（3）(1999x)3(x1998)31；（山东省竞赛试题）（4）(x23x4)2(2x27x6)2(3x24x2)2（“祖冲之杯”邀请赛试题）.解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解y2xy16;【例4】解下列方程组:1xxy33,（1）（山东省竞赛

3、试题）y(xxxy5y)（2）x241)(3524;144,y2x33x22x,（3）x2y33y22y.（西安市竞赛试题）（全苏数学奥林匹克试题）.解题思路：观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处理【例5】若关于x的方程的解.2kxkx1x1x2xx只有一个解（相等的解也算一个）.试求k的值与方程（江苏省竞赛试题）【例6】方程2x2xy3xy20060的正整数解有多少对？（江苏省竞赛试题）解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题.能力训练1方程2(x2A级11)3(x)1的实数根是_.x2x3x2x23x422x27x62224x2，这个方程的解为x=_.

4、3实数x,y,z满足x63y,x3y2xy2z20,则x2yz的值为_.（上海市竞赛题）4设方程组bx2xa0,有实数解，则ab1_.ax2bx10,x2axb05使得x24x21x23x2x28x7成立的x的值得个数为（A4个B3个C2个D1个（武汉市选拔赛试题）（“五羊杯”竞赛试题）xyz21有实数根，那么它有（xy2,6已知方程组）A一组解B二组解C三组解D无数组解（“祖冲之杯”邀请赛试题）7设a213a，b213b且ab，则代数式11a2b2的值为（）A5B7C9D118已知实数x,y满足xyxy9,x2yxy220，则x2y2的值为（A6B17C1D6或17）9已知关于x,y的方程组

5、x2y2p,3xyp(xy)p2有整数解x,y，求满足条件的质数p.（四川省竞赛试题）xy10 xx,yy2,且x1,x2是两个不等的正数.x2ya20,xx,的两个解为yy1,b1x,a10已知方程组12（1）求a的取值范围；（2）若x2x23xx8a26a11，试求a的值.1212（南通市中考试题）xy11已知a,b是方程t2t10的两个实根，解方程组xy1y.ba（“祖冲之杯”邀请赛试题）12已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p,q，且满足关系式2这个一元二次方程.pqp15,pqpq26,试求（杭州市中考试题）xyzxyz151方程组xyz的解是_.234B级2已知7x2

6、9x137x25x137x，则x的值为_.（全国初中数学联赛试题）3已知实数x,y是方程组xyx100y1的解，则xy_.（全国初中数学联赛试题）004方程组114的解是_.xxy9,y3（“希望杯”邀请赛试题）5若二元二次方程组ykx21有唯一解，则的所有可能取值为_.x2y21,6正数x,x,x,x,x,x同时满足xxxxxxxxxxxk（学习报公开赛试题）xxxxxxxxxx234561，134562，124563，123456123xxxxxxxxxxxxxxx123564，123466，123459.则xxxxxx的值为_.123456456（上海市竞赛试题）7方程x36x2x60的

7、所有根的积是（）A3B-3C4D-6E以上全不对（美国犹他州竞赛试题）x,y为实数，且满足x11999x11,则xy（8设3y131999y11,）9已知xyz2,则的值为（）x2y2z23,A1B-1C2D-2（武汉市选拔赛试题）xyz1,111xyz1yzx1zxy112A1BC2D23x1x12xa210对于实数a，只有一个实数值x满足等式0，试求所有这样的实数a的x1x1x21和.（江苏省竞赛试题）11解方程x2x1x2x1a，其中a0，并就正数a的取值，讨论此方程解的情况.（陕西省竞赛试题）12已知a,b,c三数满足方程组ab8,abc282c48,试求方程bx2cxa0的根.（全国初