击实试验数据的数值分析方法

1、击实试验数据的数值分析方法俞文生(1江西交通工程咨询监理中心南昌330008)(2江西省交通质量监督站南昌330008)摘 要：对于公路填方路基工程，土的最大干密度P和最佳含水量气是路基施工质量控制的 两个重要因素，是路基填土压实度的主要判定指标。规范推荐通过绘制P厂曲线图的求解方 法，因曲线的任意性空间较大，容易引起人为误差。为此，本文结合数值分析原理，提出了按最小二乘原则求解击实试验数据的拟合曲线，从而为理论求解最大干密度P如和最佳含水量气 提供了依据。在实践运用中，将其移植到EXECL或相关程序中，极大提高了工作效率和减少人 为误差，具有一定的推广应用价值。关键词：道路工程；数值分析；最

2、大干密度；最佳含水量；最小二乘；曲线拟合0前言对于公路填方路基工程，土压实是最重要的工作，填方路堤的质量主要由路基土的压实度来判断的。按照 公路工程施工技术规范的规定，土的最大干密度P和最佳含水量0是路基施工质量控制的两重要因素，是 路基填土压实度的主要判定指标。按照公路土工试验规程(JTJ051)的规定，土的最大干密度P和最佳 含水量气是根据击实试验结果，手工绘制P -曲线图，按曲线的峰值点来确定P和o。从各公路项目 的试验结果调查分析来看，这种采用击实曲线求解的方法，往往因不同试验人员的经验、对数据的处理方法、 绘制比例等，导致求解的最大干密度Pdm和最佳含水量o结果差异较大。这种差异主要

3、是因为绘制P d -曲 线的任意性空间较大容易引起人为误差所致。针对上述击实试验数据处理存在的问题，本文结合数值分析原理， 提出了按最小二乘原则确定对应试验数据的拟合曲线，从而为理论求解最大干密度Pdm和最佳含水量o提供 了依据，并给示例进行计算。1数值分析原理1.1曲线拟合原理设在xOy直角坐标系中给定m +1对数据(即相应气和P的坐标)G ,y ),i = 0,1,2,.,m其中a = %0 气 . 七=b。又选定n +1个在区间a,b上连续且在点集 ,i = 0,1,.,m上线性无 关的基函数中j(x)(j =。上.，n)，其中n m。问题是要在曲线族 中寻找一曲线按照最小二乘原则去拟合

4、击实试验数据，用所得的拟合曲线去代替击实试验数据所反映的函 数关系。因数据是在试验室通过击实试验测量计算所得的最佳含水量0和最大干密度Pdm，一般在试验中 总会带有观测误差，因此不必要求曲线y (x) 一定要通过数据表示的所有点。 dm若曲线 c 即(x ) - yj j ijj i=mincj使得成立，则称曲线y * (x)为曲线族中按最小二乘原则确定对于数据的拟合曲线。1.2最小二乘法求拟合曲线所谓最小二乘法求拟合曲线y*(x)，就是按条件求出系数c*(j = 0,1,.,n)。根据离散型的最佳平 j方逼近的相关原理可知，满足条件的拟合曲线J*(x)存在且唯一，并且从法方程At Ac *

5、= At y中求解出c* = (c*,c*,. ,c*)T，就得到拟合曲线。01n拟合曲线y *( x)对数据的拟合精度，用误差平方和o来描述。b=2?y * (X 一 yli = 0另外，当m = n时，矩阵A是非奇异的方阵。此时，法方程成为Ac * =y。这表明，拟合曲线,、y 小，、满足插值条件y 、y * (x) = y c * 9 (x)y c * 9 . (x) = yj=0j=0(i = 0,1,., m)而成为插值曲线。1.3基函数和阶数的确定作曲线拟合，选择基函数是至关重要的，根据击实试验0和P的坐标点分布情况，可选择幂函数Xj ( J = 0,1, n )作基数，这时，拟合

6、曲线是n次多项式曲线y * (x) = y c * x jjj = 0对于多项式，阶数n的取值是关键，取得太低，拟合就粗糙；阶数n取得太高，拟合过头，相应的法方 程往往是病态的，且n越大病态越严重。根据击实试验数据一般都是5组数据的实际情况，在下面结合算例， 分别对阶数n取2,3,4的三种情况按误差平方和O来进行选定。2算例本算例采用公路土工试验规程(JTJ051-93)中击实试验表16.0.5的试验数据，具体如下表1： (%)8.110.213.015.819.0P (g/cm31.671.711.801.831.762.1不同阶数多项式的求解取n=2时的情况 当n=2时，拟合曲线为P=c+

7、 c s + c s 2d012则：-18.165 .61 _110 .2104 .04A =113 .0169 .00115 .8249 . 64119 .0361法方程AtAc* = ATy的解为c =1.08675，c =0.09573，c =-0.00315所求二次多项式为12Pd =1.08675 + 0.09573 0.003153 2误差平方和O =0.001224 2取n=3时的情况当n=3时，拟合曲线为P =c+ c s + c s 2+ +c S 3d012318.165 .61531.441 -则：110 .2104 .041061.208A =113 .0169 .00

8、3197.000115 .8249 .643944.312119 .0361 .006859.000法方程At Ac * = A的解为c =2.05971, c =-0.14171,c =0.01517c =-0.00045所求三次多项式为3Pd =2.05971-0.141713 +0.015173 2-0.000453 3 误差平方和。=0.0000943（3）取n=4时的情况当n=4,即m=n，此时，拟合曲线就成为了插值曲线。所求得的四次多项式为P =3.67316-0.6739+0.078532-0.003303+0.000034误差平方和。=0d42.2多项式阶数的选定根据上述求解的

9、不同阶数的多项，绘制出相应的拟合曲线图如下图1。图1不同阶次多项式的拟合曲线图从上图1可以看出，当n=2时，所拟合的曲线误差较大，误差平方和。2=0.001224,不宜采用；当n=4时， 所拟合的曲线变成了插值曲线，O 4=0，但取四次多项作拟合曲线时，计算工作量很大，求解P如和。值相当 麻烦，且对实际运用没有太大的意义；当n=3时，所拟合的曲线误差很小，O 3=0.000094，足够能满足击实试验的精度需求，且从下面的分析可知，方便解P加和。值，故拟定三次多项式作拟合曲线。2.3 Pdm和气的求解m从所求的三次多项式和试验曲线图可知，拟合曲线在】min,max区间存在着最大值，并可根据函数极

10、值 原理求解出拟合曲线的最大值。令P = 0,即P = c + 2c + 3c s2 = 0，则：dd 1232 c p（2 c ） 2 一 4 x 3 c x c1,2 - 2 x 3 c3求出,也后，判断其是否都在】smin，max 区间，从图1和函数的极值原理可知，试验数据正常情况 下，至少有一个（一般也只有一个）3满足要求:若只有一个满足，则该值即为最佳含水量气，即可代入式 中求出最大干密度Pdm ；若二个都满足，则可代入式，求出相应的PdP，则最大干密度 P= max（P , P ），最大干密度P 对应的含水量即为最佳含水量。一般， 都在,dmd 1 d 2dm012min max区

11、间内的概率很小。按上述方法，求解出不同阶次多项式拟合曲线的最大干密度Pdm和最佳含水量s0如下表2。m（下转第16页）表2阶数n234/ (%)15.215.915.6P d (g/cm31.811.831.83从上表可以看出，采用三次多项式拟合曲线求解出的最大干密度Pdm和最佳含水量s0与试验规程中作图 求解的结果基本一致。通过数值分析求解击实试验数据的拟合曲线，为理论求解最大干密度Pdm和最佳含水量s0提供了依据。 根据试验数据采用理论求解最大干密度Pdm和最佳含水量s0改变了作图求解的任意性，减少了人为误差，并 通过对误差平方和的分析可知，采用三次多项式曲线足够能满足试验精度的要求。在实践运用中，我们可将其 求解过程移植到EXECL或相关程序中，输入击实试验的基础数据后，自动计算出最大干密度Pdm和最佳含水量0，并可绘制出相应的