九年级数学竞赛强化模拟试卷八及详细答案

1、九年级数学竞赛强化模拟试卷八一、选择题（共8小题，每题只有一个正确选项，每小题5分，共40分）1（5分）方程实数根的情况是（）A仅有三个不同实根C仅有一个不同实根B仅有两个不同实根D无实根2（5分）将矩形纸片ABCD对折，得折痕MN，再把点B叠在折痕MN上，得折痕AE，若AB=的长为（），则折痕AEAB2CD23（5分）在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分别为、，则BAC的度数为（）A60B75C60或45D15或754（5分）如图，一个半径为3的圆O1的圆心经过一个半径为3的圆O2，则图中阴影部分的面积为（）AB9CD5（5分）已知A，B是两个锐角，且满足为（），则实数t所有可能值的和AB

2、C1D6（5分）满足（n2n1）n+2=1的整数n有几个（）A4个B3个C2个D1个（75分）如图，双曲线y=（x0）与矩形OABC的边BC，BA分别交于点E，F，且AF=BF，连接EFeqoac(,，则)OEF的面积为（）A1.5B2C2.5D38（5分）若实数a，b满足Aa2Ba4，则a的取值范围是（）Ca2或a4D2a4二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）9（4分）若关于x的方程（x2）（x24x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是_10（4分）已知：sincos=，则sincos=_（090）11（4分）双曲线y=（x0）与直线y=

3、x在坐标系中的图象如图所示，点A、B在直线上AC、BD分别平行y轴，交曲线于C、D两点，若BD=2AC则4OC2OD2的值为_12（4分）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C已知，CAO=30，则c=_13（4分）如图，AB是O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是_cm14（4分）函数y=x+（x0）的最小值为_三、解答题（本大题共5小题，共56分，解答应写出必要的过程或演算步骤）15（10分）已知ABC中，AD是BC边上的高，C=32，若AD2=

4、BDCD，求ABC的度数16（10分）如图，身高1.5米的小亮AB在路灯CD下的影长为1米，当小亮向远离路灯的方向走出1米后，影长变成了2米求路灯CD的高（1710分）如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足BAM=DAN，BCM=DCN求证：（1）M为BD的中点；（2）18（12分）已知在ABC中，ACB=90，AC=BC=4，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度（090），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三

5、角板与ABC的重叠部分（如图所示）那么，在上述旋转过程中：（1）线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？证明你发现的结论；（2）连接HK，设BH=x当CHK的面积为时，求出x的值试问OHK的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x的值，若不存在，请说明理由19（14分）已知二次函数y=x2+bxc的图象经过两点P（1，a），Q（2，10a）（1）如果a，b，c都是整数，且cb8a，求a，b，c的值（2）设二次函数y=x2+bxc的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C如果关于x的方程x2+bxc=0的两个根都是整数，求ABC的面积参考答案与试题解析一、选择题（共8

6、小题，每题只有一个正确选项，每小题5分，共40分）1（5分）方程实数根的情况是（）A仅有三个不同实根C仅有一个不同实根B仅有两个不同实根D无实根考点：二次函数的图象；反比例函数的图象专题：计算题分析：原方程有意义，则x0，把方程去分母、整理可得，x32x2+2x1=0，分解因式得（x1）（x2x+1）=0，讨论其根的情况，即可解答解答：解：原方程整理得，x32x2+2x1=0，（x1）（x2x+1）=0，方程x2x+1=0eqoac(,，其)0，无解，x2x+10，x1=0，即x=1故选C点评：本题考查了二次函数、反比例函数的性质，主要应用了一元二次方程的根与判别式的关系2（5分）将矩形纸片A

7、BCD对折，得折痕MN，再把点B叠在折痕MN上，得折痕AE，若AB=的长为（），则折痕AEAB2CD2考点：翻折变换（折叠问题）分析：首先由矩形纸片ABCD对折，得折痕MN，推出BMN=AMN=90，CNM=DNM=90，M为AB的中点，然后根据矩形的性质推出BAD=B=C=D=90，即可推出ADMNBC，H点为AE的中点，根据翻折变换的性质，结合题意推出AB=AB=，BAE=BAE，B=EBA=90，那么在eqoac(,Rt)AEB中，AH=EH=BH，得出EAB=HBA，根据平行线的性质推出DAB=HBA，通过等量代换可推出BAE=EAB=BAD=30，最后根据特殊角的三角函数值即可推出A

8、E的长度解答：解：如图，设MN和AE交于点H，四边形ABCD是矩形，BAD=B=C=D=90，矩形纸片ABCD对折，得折痕MN，BMN=AMN=90，CNM=DNM=90，M为AB的中点，ADMNBC，H点为AE的中点，点B叠在折痕MN上，得折痕AE，AB=，AB=AB=，BAE=BAE，B=EBA=90，在eqoac(,Rt)AEB中，AH=EH=BH，EAB=HBA，ADMNBC，DAB=HBA，BAE=EAB=BAD=30，在eqoac(,Rt)BAE中，AB=，BAE=30，AE=2故选择B点评：本题运用的知识点较多，主要考查翻折变换的性质，平行线的判定及性质，直角三角形的斜边上的中线

9、的性质，矩形的性质，中点的性质，特殊角的三角函数值等知识点的综合运用，关键在于熟练运用相关的性质定理推出AH=EH=BH，BAE=EAB=BAD=30，运用特殊角的三角函数值认真的进行求解即可3（5分）在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分别为、，则BAC的度数为（）A60B75C60或45D15或75考点：垂径定理；解直角三角形专题：分类讨论分析：先根据题意画出图形，分别作AC、AB的垂线，连接OA，再根据锐角三角函数的定义求出AOD及AOE的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论解答：解：如图1，两弦在圆心的异侧时，过O作ODAB于点D，OEAC于点E，连接OA，AB=，AC=，AD=，A

10、E=，根据直角三角形中三角函数的值可知：sinAOD=，AOD=45，sinAOE=，AOE=60，OAD=90AOD=45，OAC=90AOE=30BAC=OAD+OAC=45+30=75；如图2，当两弦在圆心的同侧时同可知AOD=45，AOE=60，AOE=60，OAC=90AOE=9060=30，OAB=90AOD=9045=45BAC=OABOAC=4530=15故选D点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解4（5分）如图，一个半径为3的圆O1的圆心经过一个半径为3的圆O2，则图中阴影部分的面积为（）A

11、B9CD考点：扇形面积的计算；勾股定理；相交两圆的性质专题：计算题分析：连接O1O2，O1A，O1B，O2A，O2B，由勾股定理的逆定理得O2CA=AO2B=90，则点A、O1、B在同一条直线上，则AB是圆O1的直径，从而得出阴影部分的面积S阴影=S1S弓形AO1B=S1（S扇形AO2Beqoac(,S)AO2B）解答：解：连接O1O2，O1A，O1B，O2A，O2B，CO2=CA=3，O2A=，CO22+CA2=O2A2，O2CA=90，同理O2CB=90，点A、C、B在同一条直线上，并且AO2B=90，AB是圆O1的直径，S阴影=S1S弓形AO1B=S1（S扇形AO2Beqoac(,S)A

12、O2B）=9故选B点评：本题考查了扇形面积的计算、勾股定理和相交两圆的性质5（5分）已知A，B是两个锐角，且满足为（），则实数t所有可能值的和ABC1D考点：根与系数的关系；同角三角函数的关系专题：计算题分析：根据公式sin2+cos2=1列出关于未知数t的一元二次方程，然后根据根与系数的关系解答解答：解：根据已知，得，即2=，3t2+5t8=0，解得t1=1，t2=，又0，即t0，t2=不符合题意舍去，t所有可能值的和为1故选C点评：本题主要考查了同角三角函数的关系及根与系数的关系解答此题的关键是熟练掌握同角三角函数的关系：sin2+cos2=16（5分）满足（n2n1）n+2=1的整数n有

13、几个（）A4个B3个C2个D1个考点：一元二次方程的解；零指数幂专题：计算题分析：因为1的任何次幂为1，1的偶次幂为1，非0数的0次幂为1，所以应分三种情况讨论n的值解答：解：（1）n2n1=1，解得：n=2或n=1；（2），解得：n=0；（3），解得：n=2故选A点评：本题比较复杂，解答此题时要注意1的任何次幂为1，1的偶次幂为1，非0数的0次幂为1，三种情况，不要漏解（75分）如图，双曲线y=（x0）与矩形OABC的边BC，BA分别交于点E，F，且AF=BF，连接EFeqoac(,，则)OEF的面积为（）A1.5B2C2.5D3考点：反比例函数综合题专题：压轴题分析：设B（a，b），根据题

14、意得F，由点F在双曲线上，得a=2，即ab=4，E、B两点纵坐标相等，且E点在双曲线上，则E（，b），再根据eqoac(,S)OEF=S梯形OFBCeqoac(,S)OECeqoac(,S)FBE求解解答：解：如图，设点B的坐标为（a，b），则点F的坐标为点F在双曲线上，a=2，解得ab=4，又点E在双曲线上，且纵坐标为b，所以点E的坐标为（，b），则eqoac(,S)OEF=S梯形OFBCeqoac(,S)OECeqoac(,S)FBE，=（+b）ab（a）=（ab+12）=故选：A点评：本题考查了反比例函数图象上点的性质，直角坐标系中三角形面积的表示方法注意双曲线上点的横坐标与纵坐标的积为

15、常数8（5分）若实数a，b满足Aa2考点：根的判别式Ba4，则a的取值范围是（）Ca2或a4D2a4分析：解答：把解：把看作是关于b的一元二次方程，由0，得关于a的不等式，解不等式即可看作是关于b的一元二次方程，因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式0，即a24（a+2）0，a22a80，（a4）（a+2）0，解得a2或a4故选C点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）根的判别式当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根同时考查了一元二次不等式的解法二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）9（4分）若关于x

16、的方程（x2）（x24x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是3m4考点：根与系数的关系；三角形三边关系专题：计算题分析：根据原方程可知x2=0，和x24x+m=0，因为关于x的方程（x2）（x24x+m）=0有三个根，所以x24x+m=0的根的判别式eqoac(,)0，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围解答：解：关于x的方程（x2）（x24x+m）=0有三个根，x2=0，解得x1=2；x24x+m=0，=164m0，即m4，x2=2+x3=2，又这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，且最长边为x2，x1+x3x2；解得3m4，m的取值

17、范围是3m4故答案为：3m4点评：本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及三角形的三边关系解答此题时，需注意，三角形任意两边和大于第三边）10（4分）已知：sincos=，则sincos=（090考点：同角三角函数的关系分析：解答：对sincos=两边平方，然后根据sin2+cos2=1即可求解解：sincos=，（sincos）2=，sin22sincos+cos2=sin2+cos2=1，2sincos=1=sincos=点评：本题主要考查了同角的三角函数的关系，正确理解sin2+cos2=1是关键11（4分）双曲线y=（x0）与直线y=x在坐标系中的图象如图所示，点A、B在直线上AC、

18、BD分别平行y轴，交曲线于C、D两点，若BD=2AC则4OC2OD2的值为6考点：反比例函数综合题分析：解答：根据A，B两点在直线y=x上，分别设A，B两点的坐标为（a，a），（b，b），得到点C的坐标为（a，），点D的坐标为（b，），线段AC=a，线段BD=b，根据BD=2AC，有b=2（a），然后利用勾股定理进行计算求出4OC2OD2的值解：设A（a，a），B（b，b），则C（a，），D（b，），AC=a，BD=b，BD=2AC，b=2（a），4OC2OD2=4（a2+）（b2+）=4=4+2+84+22=6故答案为：6点评：本题考查的是反比例函数综合题，根据直线与反比例函数的解析式，设出

19、点A，B的坐标后可以得到点C，D的坐标，运用勾股定理进行计算求出代数式的值12（4分）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C已知，CAO=30，则c=考点：二次函数综合题分析：首先利用根与系数的关系求得A，B两点横坐标之间的关系，再进一步结合已知，利用直角三角形的边角关系，把两点横坐标用c表示，由此联立方程解决问题解答：解：如图，由题意知，点C的坐标为（0，c），OC=c设A，B两点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），则x1，x2是方程x2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系得x1+x2=b，x1x2=c，又CAO=30，则；于是，由x1x2=9

20、c2=c，得故答案为：点评：本题主要考查二次函数图象与坐标轴交点坐标特点、根与系数的关系以及直角三角形的边角关系解答问题13（4分）如图，AB是O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是cm考点：轴对称-最短路线问题；圆心角、弧、弦的关系专题：计算题分析：作N关于AB的对称点N，连接MN交AB于点P，则点P即为所求的点，再根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点可求出MON的值，再由勾股定理即可求出MN的长解答：解：作N关于AB的对称点N，连接MN交AB于点P，则点P即为所求的

21、点，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，MOB=60，BON=30，MON=90，AB=10cm，OM=ON=5cm，MN=故答案为：5=5cm，即MP+NP的最小值是cm点评：本题考查的是最短路线问题及圆心角、弧、弦的关系，根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，求出MON=90是解答此题的关键14（4分）函数y=x+（x0）的最小值为2考点：函数最值问题专题：计算题分析：注意到两项的积为定值，且为正数，故考虑利用基本不等式即可解决解答：解：y=x+2=2，当且仅当x=，即x=1时，取等号故函数y=x+（x0）的最小值为2故答案为：2点评：此题考查了函

22、数的最值问题，解答本题的关键是掌握不等式的基本性质，及a+b2，难度一般三、解答题（本大题共5小题，共56分，解答应写出必要的过程或演算步骤）15（10分）已知ABC中，AD是BC边上的高，C=32，若AD2=BDCD，求ABC的度数考点：相似三角形的判定与性质专题：分类讨论分析：根据已知可得到BDAADC，注意C可以是锐角也可是钝角，故应该分情况进行分析，从而确定BCA度数解答：解：分两种情况：（1）当B、C分别位于点D的两侧时（如图1），AD2=BDDC，AD是BC边上的高得，ABDCAD，B=DAC=90C=9032=58；（2）当B、C分别位于点D的同侧时（如图2），AD2=BDDC，

23、AD是BC边上的高得，ABDCAD，BAD=C=32，ABC=BAD+ADB=32+90=122点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解16（10分）如图，身高1.5米的小亮AB在路灯CD下的影长为1米，当小亮向远离路灯的方向走出1米后，影长变成了2米求路灯CD的高考点：相似三角形的应用专题：计算题分析：运用已知条件得出ABCD，ABCD，进而得出相应比例式，得出关于BD，CD的方程，进而求出CD解答：解：根据题意可得：ABCD，ABCD，AB=1.5米，BB=1米，BE=2米，由得：2CD1.5BD=4.5，由得：CD1.5BD=1.5，得：CD=3米，答

24、：路灯CD的高为3米点评：此题主要考查了相似三角形的性质，利用对应变成比例得出比例式，进而求出方程的解是解决问题的关键（1710分）如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足BAM=DAN，BCM=DCN求证：（1）M为BD的中点；（2）考点：圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质专题：证明题分析：（1）要证M为BD的中点，即证BM=DM，由BAM=DAN，BCM=DCN，及圆周角的性质易证明BAMCBMeqoac(,，)DAMCDM得出比例的乘积形式，可证明BM=DM；（2）欲证，可以通过平行线的性质证明，需要延

25、长AM交圆于点P，连接CP，证明PCBD，得出比例式，相应解决MP=CM的问题即可解答：证明：（1）根据同弧所对的圆周角相等，得DAN=DBC，DCN=DBA又DAN=BAM，BCM=DCN，BAM=MBC，ABM=BCMBAMCBM，即BM2=AMCM又DCM=DCN+NCM=BCM+NCM=ACB=ADB，DAM=MAC+DAN=MAC+BAM=BAC=CDM，DAMCDM，则，即DM2=AMCM由式、得BM=DM，即M为BD的中点（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CPBCP=PAB=DAC=DBCPCBD，又MCB=DCA=ABD，DBC=PCB，ABC=MCP而ABC=APC，则AP

26、C=MCP，有MP=CM由式、得点评：本题考查了相似三角形的性质，圆周角的性质，是一道较难的题目18（12分）已知在ABC中，ACB=90，AC=BC=4，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度（090），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三角板与ABC的重叠部分（如图所示）那么，在上述旋转过程中：（1）线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？证明你发现的结论；（2）连接HK，设BH=x当CHK的面积为时，求出x的值试问OHK的面

27、积是否存在最小值，若存在，求出此时x的值，若不存在，请说明理由考点：旋转的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质专题：代数几何综合题分析：（1）连接OC，可以证得：COKBOH，根据S四边形CHOK=SCOKeqoac(,+S)COHeqoac(,=S)BOHeqoac(,+S)COHeqoac(,=S)COB=eqoac(,S)ABC即可证得：四边形CHOK的面积始终保持不变；（2）BC=4，CH=4x，三角形的面积公式可以得到：CHCK=，即（4x）x=3，从而求得x的值；eqoac(,设)OKH的面积为S，根据三角形的面积公式，即可得到关于x的函数关系式，然后根据函数的性质即可求解解答：解：（1）在旋转过程中，BH=CK，四边形CHOK的面积始终保持不变，其值为ABC面积的一半理由如下：连接OC，ABC为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，COABOCK=B=45CO=OB，又COK与BOH均为旋转角，COK=BOH=COKBOHCBH=CK，S四边形HOKeqoac(,=S)COKeqoac(,+S)COHeqoac(,=S)BOHeqoac(,+S)COHeqoac(,=S)COB=eqoac(,S)ABC=4（2）由（1）知CK=BH=x，BC=4，