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文档简介

1、第3章：代数方程模型第一次： 个人住房抵押贷款和其他金融问题及非线性方程近似解宋海洲七：非线性方程近似解：0：引言： （1）5次以以上代数方程无公式解。 含sin（x）ln（x）的超越方程也无公式解。 （n=2）次代数方程、超越方程通称非线性方程。 （2）用MATLAB等软件的图形功能能帮助我们判断方程有没有根，并且确定根的近似位置。 （3）目的：找较为精确的近似解。1：求解非线性方程近似解方法1：二分法 （1）原理：如果ab；且f（a）f（b） 0 则f（x）在（a，b）内至少有一零点。 （2）步骤：取（a，b）的中点 （3）优缺点： 根，但收敛速度慢。2：迭代法： （1）：原理：将方程f（

2、x）=0改写成x=（x）； 取初值x0； 取迭代公式x k+1= （x k），k=0，1，2， 得到x0，x1，x n，。 If x nx*，则x* = （x*）即x*即是解。 （2）问题： x nx*的快慢？ （3）例：三种迭代格式： 2 2 x= 1（x）=14x ，迭代公式x k+1 =14x k； x= 2（x）= 14/（x+1）， 迭代公式x k+1 = 14/（x k+1）； 2 x= 3（x）= x（x +x14）/（2x+1）， 2 迭代公式x k+1 = x k（x k +x k14）/（2x k+1）。（6）收敛性及速度： if y=（x）在ax b内连续，且ay b，如

3、存在L1使得|（x）| L，则x=（x）在ax b有唯一解x*，且 对于x0（a，b），迭代公式x k+1 =（x k）（k=0，1，2，）产生的序列x k 收敛于x*。 k |x k+1 x * |L|x kx * |， |x xx * | L （x 1x 0 ）/（1L）。7：收敛的阶： p 记e k =|x xx *| ，if Lim e k+1/ e k =c0（其中p为一正数）称序列x k p阶收敛。p越大收敛越快。 例 x=2（x）是一阶的。 x=3（x）是二阶的。 如何选择（x）的迭代格式，对于收敛速度至关重要。 ：阶的判定： （p-1） （p） if （x*） = = （x*） =0， （x*）0则x k p阶收敛。3：牛顿法： （1）切线法： 迭代公式x k+1 = x kf（x k）/f （x k） ； 收敛速度是二阶的； x=3（x）就是切线法。 （2）割线法： （f（x k ）f（x k-1 ）/（x k x k-1 ）代替f （x k ） 得迭代公式： x k+1 = x kf（x k）（x k x k-1 ） / （f（x k ）f（x k-

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