中考数学中考最后压轴题训练折叠旋转问题

1、1. （13江苏徐州卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCW,边AB = 2 ,边AD = 1 ,且AB AD分另U在x轴、y轴的正半轴上，点 A与坐标原点重合.将矩形折叠，使点A落在边DC上，设点A，是点A落在边DC上的对应点.（1）当矩形ABCD&直线y=x+b折叠时（如图1）,y|DO（图1）求点A，的坐标和b的值;（2）当矩形ABCD&直线y=kx+b折叠时,2 求点A，的坐标（用k表示）；求出k和b之间的关系式;如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图2、3、4所示的三种情形,请你分别写出每种情形时 k的取值范围.（将答案直接填在每种情形下的横线上）OE = b, OF = 2b

2、,设点A的坐标为（a, 1） 因为 /DOA+/AOF =90，ZOFE +/AOF =90工 所以 /DOA=/OFE ,所以 DOAAOFE所以DADO,即且=工，所以OE OF b 2b所以点A的坐标为（1,1)2连结 AE ,贝U AE =OE=b .在RA DEA，中，根据勾股定理有 A2=AD2+DE 即 b2=(1)2+(1.b)2,解得 b=5.28(2)如图答6,设直线y = kx+b与ODfe于点E, 则OE = b, OF =_b ,设点 A，的坐标为(a, 1) . k因为 /DOA+/AOF =90, ZOFE 十/AOF =90 所以 /DOA，=/OFE,所以 D

3、OAAOFE与OB交于点F,连结A，O ,所以DA DOOE OF，即a4,所以a_.k所以AL点的坐标为(-k, 1).AE=b .连结 AE ,在 RtA DEA，中，DA，= -k , DE =1 b 因为 AE2 =AD2 +DE2 ,2所以 b2 =(*)2+(1-b)2.所以 b=k一12在图答6和图答7中求解参照给分.(3)图 13-2 中：-2k-1;图 13 3 中：-1 k -2+V3；图 13 4 中：-2+73wkE0yyi均是一道有美折叠的问霜:中贯穿了方程思想和数形结合的思想,请注意体会。J2. E（13C西钦州卷）如图，在阡(A)F B x OE为AB上一点，把A

4、CBE沿CE（图答的坐标分别为（5,0）和（3,0）.(1)求点C的坐标;(A)FE面直氟坐标系中，矩形OABC 比(A)BxD、点目似形等知人折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，点八(2)求DE所在直线的解析式;(3)设过点C的抛物线y =2x2+V3bx + c（b 0）与直线BC的另一个交点为M ,坐标；若不存在，请说明理由.ymB在该抛物线上是否存在点 G ,使得4CMG为等边三角形.若存在，求出点 G的解(1)根据题意，得 CD=CB = OA = 5, OD = 3,丁 / COD =90，: OC =JCD2 OD2 = .点C的坐标是(0,4);：AB=OC=4,设 AE=x

5、,贝U DE =BE =4-x,AD =OA-OD =5-3 = 2,在 RtDEA 中，DE2 =AD2 +AE2 .(4 -x)2 =22 +x2.解之，得x = 3 ,2即点E的坐标是匕,31.I 2 J设DE所在直线的解析式为y = kx + b,3k=7解之，得 4b = -9.4.DE所在直线的解析式为y = -x-944(3) ;点 C(0,4)在抛物线 y=2x2 +152 -32 = 4 .即抛物线为y = 2x2+V3bx+4.假设在抛物线y =2x2 +6bx + 4上存在点G ,使得4CMG为等边三角形,根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点G一定在该抛物线的顶点上

6、.设点G的坐标为（m, n）,3bm 二2 23b 4 2 4 -( 3b)232 -3b2,n =,即点G的坐标为展3 32 一3b设对称轴x=-1b与直线CB交于点F,与x轴交于点H.则点F的坐标为：b 0 ,点G在y轴的右侧,CF=m34FH =4, FG =42232-3b2 3b2?CM =CG =2CF,3b，在 RtACGF 中,222CG2 ;CF2 +FG2,:叵j=匚叵|2( J 一1丁 J 18 J2 2?解之，得 b = 2.(；b 0).232 -3b25n 二二一、3，点G的坐标为,使得4CMG为等边三角,在抛物线y =2x2+A/3bx + 4(b0)上存在点GI

7、2 2；形.点评这是一道以折叠为背景的综合型压轴题，综合性较强，这类试题在各地 中考题中出现的频率不小，本题中第 1、2小题只需根据折叠的基本性质结合函数知识即可得解，第3小题是探究型问题，是一道检测学生能力的好题。为3 （13湖北咸宁卷）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，原点，点A在x轴的正半轴上，点 C在y轴的正半轴上，OA = 5, OC = 3 .(1)在AB边上取一点D,将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处,求点D , E的坐标；(2)若过点D, E的抛物线与x轴相交于点F(5,0),求抛物线的解析式和对称轴方程；(3)若(2)中的抛物线与y轴交于点H ,在

8、抛物线上是否存在点P,使4PFH的内心在坐标轴 上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. (4)若(2)中的抛物线与y轴相交于点H，点Q在线段OD上移动，作直线HQ , 当点Q移动到什么位置时，O, D两点到直线HQ的距离之和最大？请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式.BE-x4. .(14 台州市)24 .如图，四边形OABC是一张 放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA 的点D处.已知折叠CE=575,且tan/EDA =3.4(1)判断AOCD与4ADE是否相似？请说明理(第24 由；(2)求直线CE与x轴交点P的坐标;

9、(3)是否存在过点D的直线l ,使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线 l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在， 请直接写出其解析式并画出 相应的直线；如果不存在，请说明理由.解：(1) AOCD 与 4ADE 相似.理由如下： 由折叠知，ZCDE =/B=90 , /1+/2=90 , Z1 +/3=90:二/2=/3.又 :/COD =NDAE =90 ,.OCDs/X ade .AE 3 tanZEDA A = - , .设 AE = 3t, AD 4贝U AD =4t .由勾股定理得DE=5t.OC =AB =AE +EB = AE +DE =3t +5t =8t .由(

10、1) OCDs/XADE,得 OC=CD AD DE,8t CD-, )4t 5tCD =10t .在 ADCE 中，CD2 +DE2 =CE2,.(10t)2 +(5t)2 =(5而)2,解得 t=1.OC=8, AE=3,点 C 的坐标为(0,8),点E的坐标为(10,3), 设直线CE的解析式为y=kx+b,10k八3,解得k =9 b = 8,b=8,1：y = - x+8,则点P的坐标为（16,0）.2（3）满足条件的直线l有2条：y = -2x + 12, y =2x -12 .如图2:准确画出两条直线.5.（14 宁德市）26.已知：矩形纸片 ABCD中，AB=26厘米，BC =

11、 18.5厘米,点E在AD上，且AE=6厘米，点P是AB边上一动点.按如下操作: 步骤一，折叠纸片，使点 P与点E重合，展开纸片得折痕 MN （如图1所示）；步骤二，过点P作PTLAB,交MN所在的直线于点Q,连接QE （如图2所示）（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ QE （填“U、 =号）；（2）如图3所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：当点P在A点时，PT与MN交于点Qi, Qi点的坐标是（, ）;当PA=6厘米时，PT与MN交于点Q2, Q2点的坐标是（, ）；当PA =12厘米时，在图3中画出MN, PT （不要求写画法），并求出MN与PT 的交点

12、Q3的坐标；（3）点P在运动过程，PT与MN形成一系列的交点Q1, Q2, Q3,观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式.C * 解：（1）FQ=QE.,角A方法e设mn与bp交A点点.Pb在 RtAAPE%】 PE =JAE2 +AP2 =6拆 21b y 18 二12 一60（耳121824BPF =1PE =3而.2/Q3PF +/EPA =90 , /AEP+/EPA=90/Q3PF =/AEP .图3又NEAP =NQ3FP =90. .Q3PFPEA .Q3P PF PE EA9(1215).方法二：过点E作EG_LQP,垂足为G,则四边形APGE是矩

13、形.：GP=6, EG =12.设 Q3G =x ,贝1j Q3E =Q3P =x +6 .在 RHQsEG 中， EQ2 =EG2 +QG2 ._ 2_22(x +6) =12 +x .Q3P =125.9(12,15).(3)这些点形成的图象是一段抛物线.函数关系式：y =x2 +3(0 x 26).126. (14日照市)24.如图，直线EF将矩形纸片ABC6成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E,与AD交于点F(E, F不与顶点重合)，设AB=a,AD=b,BE=x(I)求证：AF=EC(n)用剪刀将纸片沿直线 EF剪开后，再将纸片 ABE船AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECD

14、F勺下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作 EE B C.(1)求出直线EE分别经过原矩形的顶BE,直线BE与A和顶点D时，所对应的x : b的值;(2)在直线EE经过原矩形的一个顶点的情形下，连接EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当 a与 b满足什么关系时，它们垂直?解：(I )证明：AB=a AD=b BE=x , S梯形 abe= S 梯形 cdfe11，-a(x+AF)= 1a(EC+b-AF),22.2AF=EG(b-x).又 EO b-x, .2AF=2EC 即 AF=EC图(一)(n) (1)当直线eE经过原矩形的顶点

15、D时，如(一)，V EC/ E B,.EC _ DC.E B DB由 EC= b-x, E B=EB=x, DB =DGCB =2a,阳 b -x a 倚=一,x 2ax ： b=2 3 ；当直线E E经过原矩形的顶点 A时，如图(二)在梯形AE B D中，EC/ E B,点C是DB的中点，.CE=1(ADf E B), 2即 b-x= 1 (b+x), 2 K 1一 x . b=3 ,（2）如图（一），当直线EE 经过原矩形的顶点 D时，BE / EF.证明：连接BF.V FD/ BE FD=BE,四边形FBE嗝平行四边形，.FB/ DE FB=DE又 EC/ E B,点C是DB的中点，.D

16、E=EE，. FB/ EE , FB= EE,四边形BE EF是平行四边形. BE / EF.如图（二），当直线EE 经过原矩形的顶点 A时，显然BE与EF不平行，设直线EF与BE交于点G过点E彳E ML BC于M 则E附a. . x : b=l, 3EM=-B（=-b. 33若BE 与EF垂直，则有/GB+/BEG90 ,图又 / BEG/ FEC= / MEE ,/MEE +/ MEZGBiZME E.在 RtABME 中 , tan / E BM= tan ZGBEEM = -a-.BM 2 b 3. EM nb在 RtEME 中,tan/ME E = EM = 3EM a3b2b a3

17、又0, b0,.当a =4！时，BE与EF垂直. b 3(14荆门市)28.如图1,在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC已知qo , 0) , A(4 , 0), qo , 3),点P是OA边上的动点(与点Q A不重合).现将4PAB沿PB翻折，得到 PDB再在OC边上选取适当的点 E,将 POE沿PE翻折，得到 PFE并使直线PD PF重合.(1)设P(x, 0), E(0 , y),求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上，求过点P、R E的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q使 PEQ是以PE为直角边的直角三角形

18、？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.图1图2解：(1)由已知PB平分/APD, PE平分/OPR 且 PD、PF重合ZBPE：90 . ./ OPE- /APB：90 .又/ AP拼 / ABP=90 , . . / OPE/PBARtAPOE RtABP/A.PO _ BA. OE 一而即 x =_3 . /. y=1 x(4 x) = 1x2 +4x(0 Vx4).y 4-x333且当x=2时，y有最大值3.（2）由已知， PAB POE匀为等腰三角形，可得 R1 ,0), E(0, 1), B(4,3).c = 1,设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+ c,则BP在 RtAB

19、NP中，BN= BA=a, / PBN=30/ TOC o 1-5 h z aav 3BP= _b.-.a b. cos30Jcos30c2.当a -b时，在矩形上能剪出这样的等边 BMP2M BC =60 ABM =90 60 =30在 RtAABM 中，tan Z ABM = tan30 O =- /.AM ;巫 AB23.M（当叵，2）.代入 y=kx 中，得 k=3 = 时 3233设AABM沿BM折叠后，点A落在矩形ABC呐的点为A 过A作AH _LBC交BC于H A A BM ABM ZAfeM r=ZABM r=30 , A*B= AB =2 ZAfeH =/MBH - /ABM

20、 =30 . A_在 RtzXA,BH中， aH=，aB=1, BH=v32Af（3,1 ）卜落在EF上.（图2）（图3）O为坐标原点，AB/x轴，B (3,布)，现将纸片按如图折叠，AD DE为折痕,/OAD=30叫 折叠后，点O落在点01 ,点C落在点C1,并且DO1与DC1在同一直 线上.(2)求经过三点 Q a, C的抛物线的解析式；y(3)若。P的半径为R,圆心P在(2)OP与两坐标轴都相切时，求。解：(1)由已知得0A =Q,N0AD =30，,3 0D =OAtan30=V3x =1 ,3A(0,出)，D(1,0).设直线AD的解析式为y=kx+b .把A, D坐标代入上式得：P

21、半径R的值.25b = , 3k b =0(第25题在万/日k = 3解得： _b =、. 3折痕AD所在的直线的解析式是 (2)过C1作GF，0C于点F, 由已知得. ADO =/AD01 =60二 /C1DC =60，又 DO31 = 2,二在 RtAC1DF 中，-DF = DC1 =1 ,2Ci(2,6 ),而已知DC1 =DC = 2 .C1F =DC1Lsin/C1DF = 2父 sin60 ,= 73 .C(3,0 ).法一：设经过三点 Q C, C的抛物线的解析式是y = ax(x-3)_j-点C1(2,石)在抛物线上，2a(2-3) = 73,a =-理2、3x x -3 二

22、2(1)求折痕AD所在直线的解析式;法二：设经过三点 Q C, C的抛物线的解析式是y=ax2+bx + c,(a=0).把Q C, C的坐标代入上式得：c =04a+2b 4c =4，9a +3b g=0a=-J3解得b=3,y=_星X2+3X为所求.222c =0，J(3)设圆心p(xy卜则当。P与两坐标轴都相切时，有 y=x.由 y =x,得除x2 +323x=x,解得 Xi =0 (舍去)，X2=3差.由 y =-X , 得一包x2+33x =-x解得 x1 =0 (舍去)， x2 =3 + 23.23所求。P的半径R=3-R3或R = 3+R3 .310.(14 重庆市)28 .已知

23、，在 RtOAB中，/ OA由 90, / BOAf 30, AB=2。若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将 RtAOABn OB折叠后，点A落在第一象限内的点 C处。(1)求点C的坐标；(2)若抛物线y=ax2+bx (a0)经过C A两点，求此抛物线的解析式；(3)若抛物线的对称轴与 OB交于点D,点P为线段DB上一点，过P作y轴 的平行线，交抛物线于点 M问：是否存在这样的点 P,使得四边形CDPMfc等 腰梯形？若存在，请求出此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由。2./ 2、注：抛物线y=ax2+bx+c (a0)的顶点坐标为 -一

24、,ac一，对称轴2a 4a j公式为x =- 2a解：(1)过点C作CHL x轴，垂足为H.在 RtOAB中，/ OA品 900, /BOAf 300, AB= 2O氏4,。上 2 3由折叠知，/ CO品300, OO。七243丁/COHk 60, OHk 3 , CH 3.C点坐标为（翼,3） 抛物线 y =ax2 +bx （ a 乎 0）经过 C （忌，3）、A （273 , 0）两点3 = （73 2 a + V3b120=23 a 2.3b此抛物线的解析式为:解得:-1= 2.3y - -x2 2.3x（3）存在。因为y = x2+2j3x的顶点坐标为（J3, 3）即为点CMP，x轴，

25、设垂足为 N, PN t,因为/BOA= 300,所以ONk 33 t .P （ 3t, t）作PQL CD,垂足为Q, MH CD垂足为E把 x = 43 t代入 y = -x2 +2*3x得：y = -3t2 +6tM（gt, -3t2 +6t）, E （ M , -3t2+6t）同理：Q（ 73, t）, d（ J3, 1）要使四边形CDPMfc等腰梯形，只需 CE= QD即 3-（-3t2+6t）=t-1,解得：l=, t2=i （舍）3p点坐标为（4J3,）33.存在满足条件的点P,使得四边形CDPMJ等腰梯形，此时P点的坐为（4石，4）33（15山东青岛）24.（本小题满分12分）

26、已知：如图，在 RtzXACB中，/C=90，AC=4cm, BC = 3cm ,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速 运动，速度为2cm/s；连接PQ.若设运动的时间为t(s) (0t0)的图象与AC边交于点E.(1)求证：ZXAOE与ABOF的面积相等;(2)记s=s-ef s.ecf,求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少?(3)请探索：是否存在这样的点 F,使得将4CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.(15浙江湖州24题解析)24.(本小题12分)(1)证明：设 E(Xi, y1)，

27、F(x2, y) , 4AOE 与 FOB 的面积分别为 Si , S2 ,由题意得 y1 = , y2 =. X1X2.=1x41=4,S2x2y2k.2222.&=&,即4AOE与AFOB的面积相等.(2)由题意知:E, F两点坐标分别为l / kF I 4,41,Sa ecf = EClCF212, S = k +k .12当k =- /21=6时，S有最大值.112S -1-3SM大值一:1 、3 4 i -,12AN(3)解：设存在这样的点F ,将4CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN _LOB ,垂足为N .11由题息得：EN=AO=3, EM=EC=4k,

28、 MF=CF=3k, 34；/EMN +4MB =/FMB +/MFB =90 ,EMN =/MFB .又：ENM =/MBFJ.ENM s/XMBF .EN EMMB MF MB1 , 4 k _3_ 3-1k4141 - -kI 12 J1，3 1- k,129MB =一 42/MB2 +BF2 =MF2 ,_3k i ,解得k=2144.4一.BF =k214 32,存在符合条件的点F ,它的坐标为4,21I 32 J13 （15浙江衢州）24、（本题14分）已知直角梯形纸片OABCS平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为0（0, 0）,A(10, 0), B(8, 2网，

29、C（0, 2J3）,点T在线段OA上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点 A落在射线AB上（记为点A）,折痕经过点T,折痕TP与射线AB交于点P,设点T的横坐标为t,折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S;（1）求/OAB的度数，并求当点 A在线段AB上时，S关于t的函数关系式;（2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围;（3）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在,请说明理由。（15浙江衢州24题解析）T A x24、（本题14分）解：（1）A, B两点的坐标分别是 A（10, 0）和B（8, 2石）,tan/OAB = 23-=淄,10 -8O

30、AB =60当点A在线段AB上时，: /OAB=60% TA=TA ,.ATA是等边三角形，且TP_LTA,_1 _1A P = AP = AT = (10 t),22，3 ” .、- TP =(10 t)sin60* = (10 t),（2）当点A在线段AB的延长线，且点P在线段AB（不与B重合）上时,纸片重叠部分的图形是四边形（如图（1）,其中E是TA与CB的交点）,当点P与B重合时，AT=2AB=8点T的坐标是0)又由（1）中求得当A与B重合时，T的坐标是（6,所以当纸片重叠部分的图形是四边形时,2 :二 t :二6。0)EPB（3）S存在最大值OT的增大而减小，。当 6 Mt 10时，

31、S = *(10 t)2 ,在对称轴t=10的左边，S的值随着t8二当t=6时，S的值最大是273 0当2 S - S = (10 -t)2 -(10 -t -4)2 822当t=2时，S的值最大是4,；3 ；当0t2,即当点A和点P都在线段AB的延长线是(如图Q,其中E是TA与CB的交点，F是TP与CB的交点)，/EFT=/FTP=/ETF ,四边形 ETAB是等腰形，EF=ET=AB=4 S = EF OC = 4 2 3 = 4.3 22综上所述，S的最大值是4,；3 ,此时t的值是0 t E 2。14 15浙江绍兴)24.将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，0(0,0) , A(

32、6,0),2C(0,3).动点Q从点。出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动三 3秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿 AO向终点O运动.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点 P的运动时间为t (秒).(1)用含t的代数式表示OP, OQ ; 当t=1时，如图1,将4OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处， 求点D的坐标；(3)连结AC ,将4OPQ沿PQ翻折，得到EP、，如图2 .问：PQ与AC能否平行？ PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由.(第24题(2)当 t=1 时,过4QC =, 3贝U DQ =QO =5 , 3D点作DD1 _L

33、OA ,交OA于D1 ,如图1 ,二 CD =1 ,二 D(13).(3)PQ能与AC平行.若 PQ / AC ,如图2,即一t 2 314.t9PE不能与AC垂直.若 PE _LAC ,延长QE交OA于F ,如图3,QFOQi QFAC - OC 3 二52 t - _33QF = 5 t - ,3-2-=(石一1)t十三(而一1). 3OCOA，PE又，RtPF sRt/XOCA,一EF6 -t(i 3j.t *3.45,而 00 t 0 7 , 3二t不存在.15. (15浙江宿迁24题解析)24.如图，在矩形ABCD中，AB = 9, AD = 30点P是边BC上的动点(点P不与点B，

34、点C重合)，过点P作直线PQ / BD ,交CD边于Q点，再把APQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x , PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y .(1)求NCQP的度数；(2)当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上?727C46 cm；在 ABC中：/ C= 90, / A= 30、AB= 4 cm；在直角梯形 DEFG中:(3)求y与x之间的函数关系式;当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的EF/DG, / DG曰 90O,DG=6cm, DE= 4 cm, / ED除 60。解答下列问题：(1)旋转：将ABC点C顺时针方向旋转90,请你在图中作出旋转后

35、的对应图形ABC,并求出AB的长度；(2)翻折：将ABC沿过点B且与直线l垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形A2BC,试判定四边形 ABDE的形状？并说明理由；(3)平移：将ABG沿直线l向右平移至 A3B2G2,若设平移的距离为x ,A3RC2与直角梯形重叠部分的面积为y ,当y等于ABC面积的一半时,x的值是多F少？(15湖南常德26 TOC o 1-5 h z 则 y=110 x .3 10 -x =- 10 -x2 , 22当丫= 1S abc= V3 时，即 -（10-X2=V3,解得x = io 72,或x =1。+J2（舍去）.当x =10 + 72时，重叠部分的面积等于 AB

36、C的面积的一半 9分由以上讨论知，当x=2+T2或x=10+万时，重叠部分的面积等于 ABC的面积的一半.10分 2.（广西玉林卷）在矩形 ABCD中，AB=4, BC = 2 ,以A为坐标原点，AB所 在的直线为x轴，建立直角坐标系.然后将矩形 ABCD绕点A逆时针旋转，使点 B落在y轴的E点上，则C和D点依次落在第二象限的F点上和x轴的G点上（如 图）.（1）求经过B, E, G三点的二次函数解析式；（2）设直线EF与（1）的二次函数图象相交于另一点 H ,试求四边形EGBH的 周长.（3）设P为（1）的二次函数图象上的一点，BP /EG,求P点的坐标.解(1)解：由题意可知，AE = A

37、B=4, AG = AD = BC=2.B(4Q), E(0,4), G(2,0).设经过B, EG三点的次函数解析式是TJy =a(x +2)(x -4). 1 一把E（0,4）代入之，求行a =3分2A所求的二次函数解析式是:1 ,1 2,y = - (x+2)(x-4) = - x +x + 4 .22(2)解：由题意可知，四边形AEFG为矩形.F H/ G,且 GB = 6.直线y =4与二次函数图象的交点 H的坐标为H (2,4),EH =2 .: G与B, E与H关于抛物线的对称轴对称,BH = EG = 742+22 = 2 底.一四边形EGBH的周长=8+ 4 .5(3)解法1

38、:设BP交y轴于M .v B IP/E, G AB: AG = AM : AE,即 4: 2 = AM :4 . AM =8,于是 M (0, -8).设直线BM的解析式为y = kx + b.把 B(4,0), M(0,-8)代入之,/曰 4k b =0,b = -8.k = 2解得k b = -8.y = 2x 8 .4-y = 2x - 8,联合一次，二次函数解析式组成方程组1 2y 二一一 x x 4.2解得i；N0或r：.（此组数为B点坐标）丁所求的P点坐标为P(320).解法 2:过 P 作 PN，x轴于 N .由 BP / EG ,得 NEGB=NPBN . 设所求P点的横坐标为

39、a(a0),则纵坐标为1a2+a+4(a 0).2PNAE 4. tan/PBN =,tan/EGB=2, NBAG 2.PN AE 。 2 NB AGNB = NA+AB = 4a , TOC o 1-5 h z 21 2PN =- -a +a+4 l= a -a-4 , ,22-a2 -a-4-2 .4 - a解之，得a = 6或a = 4 .经检验可知，a=6是原方程的根；a = 4是原方程的增根，故应舍 去.O1O当 a = -6 时， a2 +a+4 = _M(-6)26 + 4=20 . 22所求的P点坐标为P(-6,20).点评此题的综合性较强，考查的知识点较多，但是解法较多，使

40、试题的切入 点也较多，很容易入题。(14南京市)27.在平面内，先将一个多边形以点。为位似中心放大或缩小， 使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ,并且原多边形上的任一点 P,它的对应点P在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度 日，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为 O(k,日)，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，日叫做旋转角.(1)填空:如图1,将4ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的 2倍，再逆时针旋转60 ,得到ZXADE ,这个旋转相似变换记为 A （, ）;如图2, 4ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A

41、（施90，）,得到 AADE ,则线段BD的长为 cm;（2）如图3,分别以锐角三角形 ABC的三边AB , BC , CA为边向外作正方形ADEB, BFGC , CHIA ,点O1，O2, O3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用AOQz与4ABI , ZXCIB与CAOz之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段OQ2与AO2之间的关系.解：（1） 2 , 60，;EA B B 、DFGCIb1总旋转相似变换C囱纥45 ,得到tea,混舟，线段BI变为线段I2）AO1 .:必兴=1, 45,+45, =90，,二 OQ2=AO2,O1O2 -L AO2 .（15湖北恩施）六、（本大

42、题满分12分） 24.如图11,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 AB前AFG罢放在一起，A为公共顶点，/ BA（=/AG=90 ,它们的斜边长为 2,若？ABC0定不动，？AFG点A旋转，AR AG与边BC的交点分别为 D E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=mi C摩n.(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明(2)求m与n的函数关系式，直接写出自变量 n的取值范围(3)以？ABC勺斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为 y轴,建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D,使BD=CE求出D点的坐标，并通过计算验证 BD2

43、+CEz =DE2.(4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2+CH=DE是否始终成立，若成立,又/ B=ZC=45. .？AB白?DCA(2).?AB回?DCA.BE BA二CA CD由依题意可知 CA=BA= 2m 2 二2 n二 m=自 变 量 n 的 取围 为 1n2.由 BD=CE可得 BE=CD 即 m=nm=2 nm=n= 21 一 ，,.OB=O(=1BC=1 2.OE：OBV2 -10). D1，BD=OB O=1-( V2 1)=2 ,2 =CEDE=BC- 2BD=2-2(2 DS=(2 2 -2) 2= 12 -8 ,2.BDCE=DE证明：如图，将？ACE绕点 A顺

44、时针旋转90至?ABH的位置，则V BD2 +CE2=2 BD2 =2(2 2 ) 2 =128,2 ,CE=HBAE=AH连接 HD在？EACf口？HAB/ABH/ C=45 ,旋转角/. AE=AH /HAB/EAH/，？EA陛？HAD.DHDE又/ HBD/ABH/ABB90。.BC2+Hf =DH2即 BD 2+ CE 2=DE212分5. (15湖北武汉)(本题答案暂缺)25.(本题12分)如图1 ,抛物线y=ax2-3ax+b经过A (-1,0 ) , C (3,2)两点，与y轴交于点D,与x轴交于另一点B. (1)求此抛物线的解析式； (2)若直线y=kx-1 (kw0)将四边形

45、ABC面积二等分，求 k的值；(3)如图2,过点E (1, -1)作EF，x轴于点F,将 AEF绕平面内某点旋转 180后得 MNQ(点M, N, Q分别 与点A, E, F对应)，使点 M, N在抛物线上，求点 M, N的坐标.(15湖北武汉25题解析)25.y =x2+3x+2 ;k,；M (3, 2), N (1, 2233)(15江苏淮安)(本题答案暂缺)28.(本小题14分)如图所示，在平面直角坐标系中.二次函数y=a(x-2) 2-1图象的顶点为P,与x轴交点为A、B,与y轴交点为C.连结BP并延长交y轴于点D.写出点P的坐标；连结AP,如果 APB为等腰直角三角形，求 a的值及点

46、C、D的坐标；在(2)的条件下，连结 BG AG AD,点E(0, b)在线段CD端点C D除外)上，将 BCD绕点E逆时针方向旋转90 ,得到一个新三角形.设该三角形与4ACD重叠部分白面积为 S,根据不同情况，分别用含b的代数式表示S.选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b为何值时，重叠部分的面积最大？写出最大值.（15江苏徐州）（本题答案暂缺）28.如图1, 一副直角三角板满足 AB= BC,AO DE, /ABC= /DE曰 90 , / ED曰 30【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角 板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB

47、交于点P,边EF与边BC于点Q 【探究一】在旋转过程中，（1）如图2,当CE = 1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.EA（2）如图3,当 生=2时EP与EQ满足怎样的数量关系？,并说明理由.EA（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CE = m时，EP与EQ满足的数 EA量关系式为 ,其中m的取值范围是 （直接写出结论，不必证明）【探究二】若，AO 30cm,连续PQ设4EPQ的面积为S（cm2）,在旋转过程中：S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.（2）随着S取不同的值，对应 EPQ的个数有哪些变化？不出相应 S值的取值范围.（15

48、山东青岛24题解析）24.（本小题满分12分）解：(1)在 RtABB, ab=Jbc2 +AC2 =5,由题意知：AP = 5t, AQ = 2t,若 PQ/ BC 贝必 APQ sABC,AQ _ AP- AC - AB ?2t 5 -14 一 5107(2)过点P作PHHLAC于H.APH sMBC.PH AP. 一 ，BC AB.PH 5 _t一-3 -5-PH =3_t , 5/. y=1MAQxPH =2 父2tM(33t) =/t2+3t 6r2255(3)若 PQBABCW长平分，贝U AP+AQ=BP+BC+CQ二(5 -t) +2t =t+3+(42t),解得：t=1.若P

49、QBABCffi积平分，则 s&pq =3 s密bc ,即-5 t2 + 3t=3.; t=1代入上面方程不成立，.二不存在这一时刻t,使线段PQ巴RtACB的周长和面积同时平分. 9(4)过点 P作 PMLAC于M, PN!BC于 N,若四边形PQP C是菱形，那么P0 PCV PML AC于 M. QM=C MPNL BC于 N,易知 PBINh ABCPNACBPAB PN4二 PN4t5，/. QM =CM =-5，44t t 2t =4 , 55图解得：t =10.9 当t =10时，四边形PQP C是菱形.9此时 PM =3_3t=1CM =，t =953 59 在RtFlW,匹3

50、2=3=等,菱形PQP C边长为等.127.（15山东枣庄）25.（本题满分10分）把一副三角板如图甲放置，其中 / ACB =/DEC =90：: /A=45：: / D =30 ,斜边AB=6cm, DC=7cm.把三角板DC窿点C顺时针旋转15得到 DCE （如图 乙）.这时AB与CD相交于点O,与DE相交于点F.（1）求/OFE1的度数;（2）求线段AD的长;（3）若把三角形DCE绕着点C顺时针再旋转30得DCE,这时点8在4A（15山东枣庄25A )25.(本题满分10分)解：（1）如图所示,3=15 , ZE1 =90 ,DCE的内部、外部、还是边, TOC o 1-5 h z /

51、1=/C75,.E-BC又；/B=45,，（甲）丁. /OFE1 =/B +/1 =45, +750 =120 . 3 分(2) ：/OFE1=120,./ DFO=60：/CD1E1 =30，,/4=90，. 4 分又；AC=BC, AB=6,，OA = OB = 3. TOC o 1-5 h z 111八； /ACB =90，. . CO = AB =父6 = 3 . 5 分22又；CD1=7,OD1 =CD1OC =73 = 4 .在 RtzXADQ 中，AD1 = JOA2 +OD12 73 +42 = 5 . 6 分（3）点B在D2CE2内部. 7分理由如下：设BC （或延长线）交D2E2于点P,则/PCE2=15+30；45 .7:2在 RtzPCE2 中，CP =72CE2 = , 9 分7、2.CB =3应,即 CB。，点 B 在 AD2cE2 内部. 102分8 15浙江金华）（本题答案暂缺）24.（本题12分）如图1 ,在平面直角坐标系中，己知A AO眼等边三角