中考数学几何题总汇

1、中考数学几何题总汇1.三角形的有关概念知识考点：理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键是正确理解有 关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题 是这部分知识常用的方法。精典例题：例1已知一个三角形中两条边的长分别是八人且a b，那么这个三角形的周长L的取值范围是（A、3a L 3bB、2(。+ h) L 2(iC 2a6+b L2b + aD、3a-b L a + 2l分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和O答案:B变式与思考：在aABC中，AC=5,中线AD=7,则AB边的 取值范围是（A

2、、1AB29 B、4AB24 C、5AB19D、9ABZA；(2)试判断在ABC外，又和点A在直线/的同侧，是 否存在一点Q,使NBQONA,并证明你的结论。(1)连结AP,易证明NPNA；(2)存在，怎样的角与NA相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造aABC的外接。0,易知弦BC所对且顶点 在弧A,B,和弧AC上的圆周角都与NA相等，因此点Q应 在弓形A,B和A,(内，利用圆的有关性质易证明(证明略)。【问题二】如图，已知P是等边aABC的BC边上任意一点, 过P点分别作AB、AC的垂线PE、PD,垂足为E、Do问： AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系？分析与结论：(1) D

3、E是4AED与四边形EBCD的公共边，只须证明AD +AE=BE+BC+CD(2)既有等边三角形的条件，就有60的角可以利用；又 有垂线，可造成含30角的直角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。略解：在等边aABC中，ZB=ZC=60 又TPELAB 于 E, PDACD :.ZBPE=ZCPD=30不妨设等边aABC的边长为1,=A- 9 CD = y 9 那么：BP = 2x 9 PC=2y, x + y = -9 而 AE= -x ,2AD = 1 一 yAE + AD = 2 - (x + y) = 1又；BE+CD+BC=v)+i=mAAD+AE=BE+BC+CD从而 A

4、D+AE+DE=BE+BC+CD+DE即4AED的周长等于四边形EBCD的周长。评注：本题若不认真分析三角形的边角关系，而想走“全 等三角形”的道路是很难奏效的。跟踪训练：一、填空题:1、三角形的三边为1,1一。99,贝！1”的取值范围是2、已知三角形两边的长分别为1和2,如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为3、在aABC 中，若NC=2 (ZA+ZB),则NC=度。4、如果AABC的一个外角等于150,且NB=NC,则NA 5、如果aABC中，ZACB=90, CD是AB边上的高，则与NA 相等的角是 O6、如图，在aABC中，ZA=80, NABC和NACB的外角平 分线相交于点D,那

5、么NBDC=o7、如图，CE 平分NACB,且 CEDB, ZDAB=ZDBA, AC= 18cm, ZkCBD 的周长为 28 cm,则 DB=。8、纸片aABC中，ZA=65, ZB=75,将纸片的一角折叠, 使点C落在aABC内(如图)，若Nl=20,则N2的度数 为 o9、在aABC 中，ZA=50,高 BE、CF 交于点 0,则NB0C10、若aABC的三边分别为八b、c，要使整式(- Z? + c)(一 一 c)” 0 ,则整数”应为二、选择题：1、若aABC的三边之长都是整数，周长小于10,则这样的 三角形共有（） TOC o 1-5 h z A、6个B、7个C、8个D、9个2、

6、在ABC 中，AB=AC, D 在 AC 上，且 BD=BC=AD,贝！|NA 的度数为（）A、30B、36C、45D、72 3、等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为（）A、7B、11C、7 或 11D、不能确定 4、在AABC中，NB=50,ABAC,则NA的取值范围是（B、0ZAD、80ZAA、0ZA18080C、50ZA130 0的三条线段可以组成,只要40,长为2 +。， 3 +。, 5 +。三角形设长为5 +的线段所对的角为a,贝卜为aABC的最大角又由 (2 + ) + (3 +(i) (5 +(i) =-12当 2_12 = 0 9 即 =2右时，

7、ZkABC为直角三角形。3、34、(1) “； (2) 2或J (3) 4V0PV2； (4) 0V0PV色或 2220P22.全等三角形知识考点：掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计 算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形 全等。精典例题：【例1】如图，已知ABBC, DCBC, E在BC上，AE=AD, AB=BCo 求证：CE=CDo分析：作AFJ_CD的延长线（证明略） 评注：寻求全等的条件，在证明两条线段（或两个角）相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助 线，构造全等三角形，常见辅助线有：连结某两个已知点; 过已知点作某已知直线的平行线；延长某已

8、知线段到某 个点，或与已知直线相交；作一角等于已知角。【例2】如图，已知在aABC中，ZC=2ZB, Z1 = Z2, 求证：AB=AC+CDo分析：采用截长补短法，延长AC至E,使AE=AB,连结 DE；也可在AB上截取AE=AC,再证明EB=CD （证明略）。 探索与创新：【问题一】阅读下题：如图，P是AABC中BC边上一点, E 是 AP 上的一点，若 EB=EC, Z1 = Z2,求证：AP_LBC。证明：在AABE 和4ACE 中，EB=EC, AE=AE, Z1 = Z 2AAABEAACE （第一步）AAB=AC, Z3 = Z4 （第二步）AAPBC （等腰三角形三线合一）上面

9、的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你认为 正确的证明过程。略解：不正确，错在第一步。正确证法为：VBE=CE，ZEBC=ZECB又N1 = N2A ZABC=ZACB, AB=ACAAABEAACE (SAS)AZ3 = Z4又AB=ACAAPBC评注：本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料设计 而成的阅读性试题，其目的是考查学生阅读理解能力，证明 过程中逻辑推理的严密性。阅读理解题是近几年各地都有的 新题型，应引起重视。【问题二】众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三 角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件，使这 两个三角形

10、全等吗？请同学们参照下面的方案(1)导出方案(2) (3) (4)。解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案(1)： 若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全 等。方案(2)：若这个角是直角，则这两个三角形全等。方案(3)：若此角为已知两边的夹角，则这两个三角形全等。评注：这是一道典型的开放性试题，答案不是唯一的。如 方案(4)：若此角为钝角，则这两个三角形全等。(5)：若 这两个三角形都是锐解(钝角)三角形，则这两个三角形全 等。能有效考查学生对三角形全等概念的掌握情况，这类题 目要求学生依据问题提供的题设条件，寻找多种途径解决问 题。本题要求学生着眼于弱化题设条件，设计让命

11、题在一般 情况不成立，而特殊情况下成立的思路。跟踪训练：一、填空题:1、若ABC乌ZXEFG,且NB=60, ZFGE-ZE=56,贝!|NA =度。2、如图，ABEFDC, ZABC=90, AB=DC,那么图中有全 等三角形 对。3、如图，在ABC 中，ZC=90, BC=40, AD 是NBAC 的平 分线交BC于D,且DC ： DB=3 ： 5,则点D到AB的距离 是 o4、如图，在aABC中，ADBC, CEAB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H ,请你添加一个适当的条件： ,使AEHgZkCEB。5、如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E 处，BE与AD相交于点0

12、,写出一组相等的线段（不包括 AB=CD 和 AD=BC）o6、如图，ZE=ZF=90, ZB=ZC, AE=AFo 给出下列结 论：N1 = N2；BE=CF；ACNgZkABM；CD=DN。其中正确的结论是 二、选择题：（填序号）。1、如图，ADJLAB, EAAC, AE=AD,中正确的是（）A、AADFAAEGACDC、ABMFACNGABEAB=AC,则下列结论B、AABED、AADCBC填空第5题图E.ADD ABC选择第1题图2、如图,AE=AF,AB=AC, EC 与 BF 交于点 0, ZA=60,ZB=25,则NE0B的度数为（）A 60D、85B、70C、753、如果两个

13、三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等,那么这两个三角形的第三边所对的角（）A、相等B、不相等C、互余D、互补或相等选择笫2题图选择第4题图4、如图，在ABC中，AD是NA的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=?，PC=，AB=C, AC=，则 (，+)与3 + c)的大小关系是()B、m + n b + cC、 m + n - b + cD、无法确定三、解答题：1、如图，Z1 = Z2, Z3 = Z4, EC=ADo 求证：ZABE和4BDC是等腰三角形。解答题第2题图2、如图，AB=AE, ZABC=ZAED, BC=ED,点 F 是 CD 的 中点。(1)求证：AFCD；

14、(2)在你连结BE后，还能得出什么新结论？请再写出两 个。3、(1)已知，在ABC 和4DEF 中，AB=DE, BC=EF, Z BAC=ZEDF=100,求证：ABCgzDEF；(2)上问中，若将条件改为AB=DE, BC=EF, ZBAC=ZEDF=70,结论是否还成立，为什么？4、如图，已知NMON的边0M上有两点A、B,边ON上有 两点C、D,且AB=CD, P为NMON的平分线上一点。问：2XABP与4PCD是否全等？请说明理由。ZABP与4PCD的面积是否相等？请说明理由。DK解答题第5题图5、如图，已知CELAB, DFAB,点E、F分别为垂足，且 AC/BDo(1)根据所给条

15、件，指出4ACE和4BDF具有什么关系？请你对结论予以证明。(2)若aACE和4BDF不全等，请你补充一个条件，使得两个三角形全等，并给予证明。参考答案一、填空题：1、32； 2、3； 3、15； 4、AH=BC 或 EA=EC 或 EH=EB 等;5、DC=DE 或 BC=BE 或 OA=OE 等；6、二、选择题：BBDA三、解答题：1、略；2、(1)略；(2) AFBE, AF 平分 BE 等；3、(1)略；(2)不成立，举一反例即能说明;4、(1)不一定全等，因AABP与4PCD中，只有AB=CD, 而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定全等。(2) 面积相等，因为0P为NMON平

16、分线上一点，故P到边AB、CD上的距离相等，即aABP中AB边上的高与4PCD中CD边上的高相等，又根据AB=CD (即底边也相等)从而aABP与PCD的面积相等。5、(1) 4ACE和4BDF的对应角相等；(2)略4.直角三角形、勾股定理、面积知识考点：了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有关性 质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方 关系及与面积有关的问题等方面O精典例题:【例1】如图，在四边形ABCD中，ZA=60, ZB=ZD=90, BC=2, CD=3,则 AB=?分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问

17、题 来解决，其关键是对内分割还是向外补形。答案：沔【例2】如图，P为aABC边BC上一点，PC=2PB,已知ZABC=45, ZAPC=60,求 NACB 的度数。分析：本题不能简单地由角的关系推出NACB的度数， 而应综合运用条件PC=2PB及NAPC=60来构造出含30角 的直角三角形。这是解本题的关键。答案：ZACB=75 （提示：过 C 作 CQ_LAP 于 Q,连结 BQ,则 AQ=BQ=CQ） 探索与创新：【问题一】如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且ZQPN=30,点A处有一所中学，AP=160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN上沿PN方

18、向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果 受影响，已知汽车的速度为18千米/小时，那么学校受影 响的时间为多少秒？分析：从学校（A点）距离公路（MN）的最近距离（AD=80米）入手，在距A点方圆100米的范围内，利用图形,根据勾股定理和垂径定理解决它o略解：作AD_LMN于D,在RtADP中，易知AD=80。所以这所学校会受到噪声的影响。以A为圆心，100米为半 径作圆交MN于E、F,连结AE、AF,则AE=AF=100,根据 勾股定理和垂径定理知：ED=FD=60, EF=120,从而学校受噪声影响的时间为：.旦（小时）=24 （秒） 18000 150评注：本题是一道存在性探索题，通过给定

19、的条件，判断所研究的对象是否存在。问题二图【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如 图12,据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米 /时的速度沿北偏东30方向往C移动，且台风中心风力不 变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。(1)该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?解：(1)如图1,由点A作ADL

20、BC,垂足为D。VAB=220, ZB=30 AAD=110 (千米)。由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时,将会受到台风的影响。故该城市会受到这次台风的影响。(2)由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时, 将会受到台风的影响。则AE=AF=160。当台风中心从E处 移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响。由勾股定理 得：DE = AE2-AD2 =V1602 -1 102 = V270 x50 = 30/15 o，EF = 60屈（千米:该台风中心以15千米/时的速度移动。，这次台风 影响该城市的持续时间为喀=4行（小时）。（3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力

21、最大，其最大风力为12詈=6.5 （级）。评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义, 由题意可分析出，当A点距台风中心不超过160千米时，会 受台风影响，若过A作ADJLBC于D,设E, F分别表示A市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，贝!I AE=AF= 160；当台风中心位于D处时，A市受台风影响的风力最大。跟踪训练：一、填空题:1、如果直角三角形的边长分别是6、8、则x的取值范围是。2、如图，D为ABC的边BC上的一点，已知AB=13, AD=12, BD=5, AC=BC,贝!I BC=第2题图第5题图3、如图，四边形 A

22、BCD 中，已知 AB ： BC ： CD ： DA=2 ： 2 ： 3 ：1,且NB=90,则NDAB= 4、等腰aABC中，一腰上的高为3cm,这条高与底边的夹角为 30,则 s.=5、如图，ABC 中，ZBAC=90, ZB=2ZC, D 点在 BC 上,AD平分NBAC,若AB=1,则BD的长为。6、已知RtAABC中，ZC=90, AB边上的中线长为2,且 AC+BC=6,贝！|sm8c=o7、如图，等腰梯形ABCD中，AD/7BC,腰长为8cm, AC、BD 相交于0点，且NA0D=60,设E、F分别为CO、AB的中8、如图，点D、E是等边aABC的BC、AC上的点，且CD=AE,

23、 AD、BE 相交于 P 点，BQlADo 已知 PE=L PQ=3, 贝！I AD=o9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方 形A、B、C、D的面积的和是 o二、选择题：1、如图，已知aABC 中，AQ=PQ, PR=PS, PR_LAB 于 R, PS AC于S,则三个结论：（DAS = AR；QPAR；BRP QSP 中（）A、全部正确 B、仅和正确 C、仅正 确 D、仅和正确2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍， TOC o 1-5 h z 并且有一个角是30,那么这个三角形的形状是()A、直角三角形B、

24、钝角三角形C、锐角三角形 D、不能确定3、在四边形 ABCD 中，ADCD, AB=13, BC=12, CD=4, AD=3,则NACB的度数是()A、大于90B、小于90C、等于90D、不能确定4、如图，已知ABC 中，ZB=90, AB=3, BC=6, 0A=0C=几，则NOAB的度数为()A、10B、15C、20D、25三、解答题：1阅读下面的解题过程：已知八屋C为*(：的三边, 且满足力,试判断ABC的形状。解：V a2c2 -b2c2 = a4-b4(1)c2(a2 -b2) = (a2 +b2)(a2 -b2)()/ a2 +b2 = c2 ()ABC是直角三角形。问：(1)上

25、述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号;(2)错误的原因是；(3)本题的正确结论是 o2、已知aABC 中，ZBAC=75, ZC=60, BC=3+V5, 求AB、AC的长。3、如图，ZABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE, DG CE 于 Go(1)求证：G是CE的中点；(2) ZB=2ZBCEo4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，ZACB=90, BC=60 米，NA=36。(1)若入口 E在边AB上，且与A、B等距离，请你在图中画出入口 E到C点的最短路线，并求最短路线CE的长(保留整数);(2)若线段CD是一条水渠，并且D点在边AB上，已

26、知水渠造价为50元/米，水渠路线应如何设计才能使造价 最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。参考数据：sin36=0. 5878, sin54=0. 80905、已知 ABC的两边AB、AC的长是方程X2 一(2攵+ 3)x +女2 +3女+ 2 = 0的两个实数根，第三边BC=5。(1) A为何值时,(2)A为何值时, 一个三角形的面积。ABC是以BC为斜边的直角三角形;ABC是等腰三角形，求出此时其中参考答案一、填空题:16.9； 3、135； 4、3V3cm2； 5、V3-1 ； 6、1、10 或2/;2、5； 7、4(1)；略；(3)直角三角形或等腰三角形8、 7； 9、 49 二、

27、选择题：BDCB 三、解答题： 提示：过 A 作 AD_LBC 于 D,则 AB=3。AC =273 提示：连结ED(1) 51米；(2)若要水渠造价最低，则水渠应与AB垂直，造价2427元。5、(1) 2； (2) k=4或3,当攵=4时，面积为12。5.角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解 决一些实际问题。精典例题：【例题】如图，已知在aABC中，AB=AC, ZB=30, AB的垂直平分线EF交AB于点E,交BC于点F,求证：CF =2BFo分析一：要证明CF=2BF,由于BF与CF没有直接联系,联想题设中EF是中垂线，根据其性质可连结AF,则B

28、F=AFo 问题转化为证CF=2AF,又NB=NC=30,这就等价于要证 ZCAF=90,则根据含30角的直角三角形的性质可得CF= 2AF=2BFo分析二：要证明CF=2BF,联想NB=30, EF是AB的中 垂线，可过点A作AGEF交FC于G后，得到含30角的Rt ABG,且EF是RtZkABG的中位线，因此BG=2BF=2AG,再 设法证明AG=GC,即有BF=FG=GC。例题图2分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作ADJ_BC于D,则BD=CD,考虑到NB=30,不妨设EF=L再用勾股定理计算便可得证。以上三种分析的证明略。B F D例题图3探索与创新:【问题】请阅读下面材

29、料，并回答所提出的问题:三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对 边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，AABC中，AD是角平分线。求证：器=喋。DC AC分析：要证登=芈, DC AC一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似，现在B、D、C在同一条直线 上，AABD与aADC不相似，需要考虑用别的方法换比。我 们注意到在比例式黑=喋中，AC恰好是BD、DC、AB的第四DC AC比例项，所以考虑过C作CEAD交BA的延长线于E,从而 得到BD、CD、AB的第四比例项AE,这样，证明黑=当就可DC AC以转化为证AE=AC。证明：过C作CEAD交B

30、A的延长线于EZ1 = Z2CEAD= N2=N3 尸NE=N3nAE=ACZ1 = ZECEAD噜嚏BD AB DCAC(1)上述证明过程中，用了哪些定理(写出两个定理 即可)；(2)在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内(转化思想数形结合思想分类讨论思想答案：转化思想(3)用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD 是*(：中 NBAC 的角平分线，AB=5 cm, AC=4 cm, BC=7cm,求BD的长。答案：3cm 评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。跟踪训练：一、填空题:1、如图，ZA=52, 0是AB、AC的垂直平分线的交

31、点，那么 NOCB=o2、如图，已知AB=AC, ZA=44, AB的垂直平分线MN交AC 于点 D,则NDBC=3、如图，在AABC 中，ZC=90, ZB=15, AB 的中垂线 DE 交BC于D点，E为垂足，若BD=8,则AC=。4、如图，在aABC中，AB=AC, DE是AB的垂直平分线， BCE 的周长为 24, BC=10,则 AB=。5、如图，EG、FG分别是NMEF和NNFE的角平分线，交点是 G, BP、CP分别是NMBC和NNCB的角平分线，交点是P, F、C在AN上，B、E在AM上，若NG=68,那么NP二、选择题：1、如图，ABC的角平分线CD、BE相交于点F,且NA=

32、60,则NBFC等于（）A、80B、100C、120D、140 2、如图，ZkABC 中，Z1 = Z2, Z3=Z4,若ND=36,则 NC的度数为（）A、82B、72C、62D、523、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这 三角形另一边上的中线分周长为2：3两部分，若这个三 角形的周长为30cm,则此三角形三边长分别是（）An 8 cm、8 cm、14cmB、12 cm 12 cm、 6cmC、8 cm 8 cm、14cm 或 12 cm、12 cm、6cm上答案都不对4、如图，RtAABC 中，ZC=90,的高，CE是中线，CF是NACB中相等的锐角为一组，则共CD是AB边上

33、 的平分线，图 有（）B、2组A、0组C、3组D、4组5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么 这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形 D、不能确定 三、解答题：2、在aABC 中，ABWAC, D、1、如图，RtZkABC的NA的平分线与过斜边中点M的垂 线交于点D,求证：MA=MDoE在BC上，且DE=EC,过D作DFBA交AE于点F, DF=AC,求证：AE平分NBAC。3、如图，在ABC 中，NB=22.5, ZC=60, AB 的垂直平分线交BC于点D, BD=6V2, AE_LBC于点E,求EC的长。4、如图，在 RtZABC 中，ZACB=90,

34、AC=BC, D 为 BC的中点，CE1AD,垂足为E, BFAC交CE的延长线于点F,求证AB垂直平分DF o参考答案一、填空题:1、38； 2、24； 3、4； 4、14； 5、68二、选择题：CBCDB三、解答题：1、过 A 作 AN_LBC 于 N,证ND=NDAM；2、延长 FE 到 G,使 EG=EF,连结 CG,证DEFgZCEG3、连结AD, DF为AB的垂直平分线，AD=BD=6a, ZB = ZDAB=22. 5/ ZADE=45, AE=AD=x6/2=6 22又,NC=60AEC= =2V3V3 M4、证ACDgZkCBF.平行四边形知识考点:理解并掌握平行四边形的判定

35、和性质精典例题：例1已知如图：在四边形ABCD中，AB=CD, AD=BC, 点E、F分别在BC和AD边上，AF=CE, EF和对角线BD相交 于点0,求证：点0是BD的中点。分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明B0=D0略证：连结BF、DE在四边形ABCD中,BE CA F例1图;AB=CD, AD=BC四边形ABCD是平行四边形，ADBC, AD=BCXVAF=CE，FDBE, FD=BE，四边形BEDF是平行四边形ABO=DO,即点0是BD的中点。【例2已知如图：在四边形F、G、H 分另！是 AB、BC、CD、DA点，求证：四边形EFGH是平行四分析：欲证四边形EFGH是平行

36、例2图ABCD 中，E、 边上的中 边形。四边形，根据条件需从边上着手分析，由E、F、G、H分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结AC后，EF和GH 的关系就明确了，此题也便得证。（证明略）变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。变式5：若AC=BD, ACBD,则四边形EFGH是正方形。变式6：在四边形ABCD中，若AB=CD, E、F、G、H分别为 AD、 BC、 BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形。BF C娈式6

37、图E P娈式7图变式7：如图：在四边形ABCD中，E为边AB上的一点,ADE和4BCE都是等边三角形，P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形PQMN是菱形。探索与创新：【问题】已知如图，在AABC中，ZC=90,点M在BC上, 且BM=AC,点N在AC上，且AN=MC, AM和BN相交于P,求NBPM的度数。分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数,为此，我们由条件中的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN。略证：过M作MEAN,且ME=AN,连结NE、BE,则四边形AMEN是平行四边形，得NE=AM,MEAN,探索与创新图ACBC

38、AMEBC在ABEM和aAMC中，ME=CM, ZEMB=ZMCA=90, AABEMAAMCABE=AM=NE, Z1 = Z2, Z3 = Z4, Zl + Z3=90AZ2+Z4=90,且 BE=NE.BEN是等腰直角三角形： ZBNE=45VAM/7NEA ZBPM=ZBNE =45跟踪训练:填空题:1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5和7,则它的一条边长”的取值范围是2、ZZ7ABCD的周长是30, AC、BD相交于点0, /0皿的周长比aOBC的周长大3,则AB=o3、已知 ZZ7ABCD 中，AB=2AD,对角线 BD_LAD,则NBCD 的度数是 O4、如图：在 ZZ7

39、ABCD 中，AE_LBD 于 E, ZEAD=60, AE =2, AC+BD=16,则BOC 的周长为。5、如图：QABCD的对角线AC、BD相交于0, EF过点 0,且 EFLBC 于 F, Zl = 30, N2=45, 0D=2凡 贝!j AC 的 长为 O6、如图:过ZZ7ABCD的顶点B作高BE、BF,已知BF=BE,4BC=16, ZEBF=30,则 AB=7、如图所示，ZZ7ABCD的周长为30, AEBC于点E,AFCD 于点 F,且 AE ： AF=2 ： 3, ZC=120,则平行四边形ABCD的面积为二、选择题:1、若ZZ7ABCD的周长为28, ZkABC的周长为1

40、7cm,则AC的长为（）A、 11cmB、5. 5cmC、4cmD、3cm2、如图，OABCD 和U7EAFC 的顶点 D、E F、 直线上，则下列关系中正确的是（）A、DEBFB、DE=BFD、DE=FE=BFB在同一条C、DE 48B、106C 12V7D、24V2三、解答题：1、如图，在 ZZ7ABCD 中，AE_LBC 于 E, AF_LDC 于 F, Z ADC=60, BE=2, CF=1,连结 DE 交 AF 于点 P,求 EP 的长。E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA上的点，且喋=BE票=需=需=攵建)，阅读下列材料,然后回答下面的问题:如上图，连结BD AE =

41、AHBE HD 9AEH/7BD,连结AC,FC GCBF DGFG/7BD则EF与GH是否一定平行，答:当a值为时，四边形EF6H是平行四边形;在的情形下，对角线AC和BD 条件时，EFGH为矩形；在的情形下，对角线AC和BD 条件时，EFGH为菱形；只需满足只需满足3、已知，在四边形ABCD中，从ABDC； AB=DC；ADBC；AD=BC；NA=NC；NB=ND中取出两个 条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几 种情形？请你具体写出这些组合。4、如图，在aABC 中，ZACB=90, D、F 分别为 AC、AB的中点，点E在BC的延长线上，ZCDE=ZAo(1)求证：四边

42、形DECF是平行四边形;(2)若sma/,四边形EBFD的周长为22,求DE的长。踪训练参考答案1、1. 提示：由NB=NADC=60, BE=2, AE_LBC 可得 AB=4, 再证 DF=DC-CF=3, AAD=6, EC=BC-BE=4=DC,又N BCD=120, AZEDC=30,求得NAPE = NEAP=60, AAEP 为等边三角形，EP=AE=2V3o2、是；任意正数；BD_LAC；AC=BD3、和；和；和；和；和；和;和；和；和4、(1)证 ECDF, ED/7CF； (2) DE=5.矩形、菱形知识考点：理解并掌握矩形的判定与性质，并能利用所学知识解 决有关问题。精典

43、例题：【例1】如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点 0, AEBD,垂足为 E, ZDAE ： ZBAE=3 ： 1,求NEAC的度数。分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。 解略，答案450。例1图例2图例3图【例2】如图，已知菱形ABCD的边长为3,延长AB到 点E,使BE=2AB,连结EC并延长交AD的延长线于点F,求 AF的长。分析：本题利用菱形的性质，结合平行线分线段成比例 的性质定理，可使问题得解。解略，答案AF=4.5。【例3】如图，在矩形ABCD中，M是BC上的一动点， DE1AM,垂足为E, 3AB = 2BC,并且AB、BC的

44、长是方程x2 _* - 2)x + 2攵=0 的两根。(1)求A的值；(2)当点M离开点B多少时，的面积是aDEM面积的3倍？请说明理由。分析：用韦达定理建立线段AB、AC与一元二次方程系数的关系，求出略解：(1)由韦达定理可得AB+BC=a.2, ABBC=2人,又由BC=|AB可消去AB,得出一个关于女的一元二次方程3攵 2一37攵 + 12 = 0, 解得勺12,右因 AB+BCu1 &-20, 2,故3 =：应舍去。(2)当k = 12 时，AB+BC=10, ABBC=2k=24,由于 AB G、H,使EFGH为矩形，则这样的矩形（）A、仅能作一个B、可以作四个C、一般情况下不可作D

45、、可以作无穷多个7、如图，在矩形 ABCD 中，AB=4cm, AD=12cm, P 点在 AD边上以每秒1 cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上， 以每秒4 cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点 同时出发，待P点到达D点为止，在这段时间内，线段PQ有（）次平行于AB。A、1D、4B、2C、3QB1-1c第7题图第8题图8、如图，已知矩形纸片ABCD中，AD=9cm, AB=3cm,将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是（）A、4cm、MemB、5cm Vio cmC、4cm、2 cmD、 5cm、 2、后cm9、给出下面四个命题：对角线相等的四边形是矩形

46、；对角线互相垂直的四边形是菱形；有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍。其中正确的命题有（）A、B、C、D、 10、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形,那么这个四边形一定是()A、矩形B、菱形C、正方形D、等腰梯形三、解答题：11、如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G, DEAG于E,且DE=DC,根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。12、如图，在ABC中，ZACB=90, CD是AB边上的高,ZBAC的平分线AE交CD于F, EG1AB于G,求证：四边形 GECF是菱形。1

47、3、如图，以ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即ABD、ABCE AACFo请回答下列问题(不要求证明):(1)四边形ADEF是什么四边形?(2)当aABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形?(3)当 ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在?跟踪训练参考答案一、填空题：1、180； 2、20cm； 3、3； 4、3V2 ； 5、20提示：4题过点P作矩形任一边的垂线，利用勾股定理 求解；5题连结AC,证ABEgZkACF得AE=AF,从而4AEF 是等边三角形。二、DDBBA三、解答题:11 可证DEAgZABF12、略证：AE 平分NBAC,且 EG_

48、LAB, ECAC,故 EG=EC,易得NAEC=NCEF, VCF=EC, EG=CF,又因 EGAB, CD AB,故EGCF。四边形GECF是平行四边形，又因EG=FG, 故GECF是菱形。13、(1)平行四边形；(2) ZBAC=150； (3)当NBAC= 60时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。.正方形知识考点：理解正方形的性质和判定，并能利用它进行有关的证明 和计算。精典例题：【例1】如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC 的点，且EFAC,在DA的延长线上取一点G,使AG=AD, EG与DF相交于点H。求证：AH=ADo分析：因为A是DG的中点，故在DGH中，若A

49、H=AD, 当且仅当DGH为直角三角形，所以只须证明DGH为直角三角形（证明略）。评注：正方形除了具备平行四边形的一般性质外，还特别注意其直角的条件。本例中直角三角形的中线性质使本题证明简单。【例2】如图，在正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD 上的点，若NPAQ=45,求证：PB+DQ=PQo分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明。变式：若条件改为PQ=PB+DQ,那么NPAQ=?你还能 得到哪些结论？ 探索与创新：【问题一】如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相 交于点0, E是AC上一点，过A作AG_LEB于G, AG交BD于点F,则0E=0F,对上述命题，若点E在A

50、C的延长线上,AGEB,交EB的延长线于点G, AG的延长线交DB的延长线 于点F,其它条件不变，则结论0E=0F”还成立吗？如果 成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。分析：对于图1通过全等三角形证明OE=OF,这种证法是否能应用到图2的情境中去，从而作出正确的判断。结论：(2)的结论“0E=0F”仍然成立。提示：只须证明A0Fg/B0E即可。评注：本题以正方形为背景，突破了单纯的计算与证明,着重考查了学生观察、分析、判断等多种能力。【问题二】操作，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Qo探究：设

51、A、P两点间的距离为x(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论;(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为求)与X之间的函数关系式，并写出函数的定义域;(3)当点P在线段AC上滑行时，PCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使4PCQ成为等腰三角 形的点Q的位置，并求出相应的，值；如果不可能，请说明 理由(题目中的图形形状大小都相同，供操作用)。ADAD分析：（1）实验猜测：PQ=PB,再利用正方形性质证明;（2）将四边形面积转化为三角形面积求；（3）可能。略解：（1）如图 L 易证 BP=PD, Z1 = Z2, ZPQD=180

52、-ZPQC=ZPBC=ZPDQAPB=PD=PQ(2)如图2,易证aBOPgAPEQ，qe=po=ao-ap=Wt1 1 S西边形P6C0 =SBc+SycQ = - PC(BO + QE) = - PCPE + EQ= -PC2 =l(V2-x)222 1，y = -X2-41X+X (OWxV 史)“22(3) APCQ可能成为等腰三角形。当点P与点A重合时，点Q与点D重合，这时PQ=QC, ZPCQ是等腰三角形，此时x=0；当点Q在边DC的延长线上,且CP=CQ时,PCQ是等腰三角形（如图3）。此时,QN=PM=v,CN=CP=1 一.1,所以 CQ=QNCN = V2a-19 当&一时

53、，解得x=io评注：本题是一道新颖别致的好题，它考查学生实践操作能力和探究问题的能力。跟踪训练：一、填空题:1、给出下面三个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直的矩形是正方形。其中真命题是（填序号）。2、如图，将正方形ABCD的BC边延长到E,使CE=AC, AE与CD边相交于F点，那么CE：FC=第3题图3、如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形 ABCD的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=&,则正方形移动的距离村是4、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,给出以下题设 条件：AB=BC=CD=DA；A

54、0=B0=C0=D0； （3）A0=C0,B0=D0, ACBD；AB=BC, CD=DA。其中能判断它是正方形的题设条件是（把正确的序号填在横线)o二、选择题：1、如图，把正方形ABCD的对角线AC分成”段，以每一段为 对角线作正方形，设这个小正方形的周长和为“正方形ABCD的周长为s,贝Us与的关系式是 oAn s pB、s pC、s pD、S与/，无关2、如图，在正方形ABCD中，DE=EC, ZCDE=60,则下列 关系式：Nl ： Z4=4 ： 1；Nl ： N3=l ： 1；（N正确的是（）1 + Z2) ： (N3+N4) =5： 3 中,A、D、仅和B、仅 C、仅和BCAD第1

55、题图3、如图，正方形ABCD的面积为256,点F在AD上，点E在AB的延长线上,RtaCEF的面积为200,则BE的值为（A、10B、11C、12D、154、有若干张如图所示的正方形和长方形纸片，表中所列四 种方案能拼成边长为的正方形的是（）卡片方案(1)(2)(3)A112B111C121D211bbb三、解答题:1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，BD与CE交于F点，求证：AFBEo2、已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN1DM且交NCBE的平分线于N。(1)求证：MD=MN； (2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条

56、件不变，则结论“MD=MN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。3、如图，ABCD是正方形，P是对角线上的一点，引PEJ_BC 于 E, PF_LDC 于 F。求证：(1) AP=EF； (2) APEFo第3题图4、如图，过正方形ABCD的顶点B作BECA,作AE=AC,又 CFAE,求证：ZBCF=lZAEBo2跟踪训练参考答案填空题:1、；2、拒+i； 3、V2-1； 4、二、三、选择题：CDCA解答题：1、易证ABFgZkCFB 和BAECDE,由ABFCFBn NAFB= NBFC=NFAD= ZDCE；由BAEgZCDEnNDCE= ZABFo 所以NDAF=NEA

57、B,故NEHA=NEAB=90, AFBEO2、（1）如图1,取AD中点F,连结MF,由MN_LDM得NDAM=90,易证N1 = N2,又因NMNB=NNBE-N2=45-N2, ZDMF=ZAFM-Z1 = 45-Z1,所以NDMF=NMNB,又因 DF=BM,所以DMFgMNB,故 MD=MN。(2)成立，如图2,在AD上取DF=MB,则易知：Zl = 90-ZDMA,又N2+NDMA=90, AZ1 = Z2,又NDMF= 45-Zl, ZMNB=45-Z2, ZDMF=ZMNB,又DF=MB,AADMFAMNB,故 MD=MN。3、略证：延长AP与EF相交于点H,连结PC,因为BD是

58、对角线，易证PA=PC, Z1 = Z2,根据PE_LBC于E, PF DC 于 F,知 PECF 为矩形，PC=EF,且NDAH=NFPH,又因 为N1 = N2 = N3,所以在PHF 中，ZFPH+Z3 = Z4+Z1 =90,所以PHF为直角三角形，故APJ_EF。4、提示：证AEFC是菱形，过A点作BE的垂线构造30角的直角三角形。9.梯形知识考点:掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的判定和性质，并能熟练解决实际问题。精典例题：【例1】如图，在梯形ABCD中，AB/ZDC,中位线EF=7,对角线ACLBD, ZBDC=30,求梯形的高AH。分析：根据对角线互相垂直，将对角线平移后可构造直

59、角三角形求解。略解：过A作AMBD交CD的延长线于M。VAB/7DC, ADM=AB, ZAMC=ZBDC=30又中位线EF=7ACM=CD+DM=CD+AB=2EF=14XVACBD,AACAM, AC=1CM=72VAHCD, A ZACD=60AAH=ACsin60= -V3 2评注：平移梯形对角线、平移梯形的腰是解梯形问题时常用的辅助线。【例2】如图，梯形ABCD中，AD/7BC, E、F分别是AD、BC 的中点，ZB+ZC=90, AD=7, BC=15,求 EF 的长。分析：将AB、CD平移至E点构成直角三角形即可。答案：EF=4探索与创新：【问题】已知，在梯形ABCD中，ADBC

60、,点E在AB上,点 F在DC 上，且 AD=”，BC=3。（1）如果点E、F分别为AB、DC的中点，求证：EFBC 且 EF=；2（2）如图2,如果告=告，判断EF和BC是否平行? EB FC n请证明你的结论,并用a、b、洲、的代数式表示EFo分析：（2）根据（1）可猜想EF/7BC,连结AF并延长交 BC的延长线于点M,利用平行线分线段成比例定理证明即可。略证：连结AF并延长交BC的延长线于点MVAD/7BM,AAABM 中有FM EB，EFBC,AE EFAB BM m + n TOC o 1-5 h z AEF= 1n m + nm + n而处=变=%故cma八丝CM FC nm mT