中考数学深度复习讲义：全等三角形

1、（教案+中考真题+模拟i题+单元测试）全等三角形考点焦1.探索并掌握两个三角形全等的特征和识别.3 .完成基本作图（等线段、等角、角的平分线、线段的垂直平分线）；？会利基本作图作三角形及过不在同一直线上的三点作圆.备考兵法.证边角相等可转化为证三角形全等，即“要证边相等，转化证全等.？”全等三角形是证明线段、角的数量关系的有力工具，若它们所在的三角形不全等， 可找中间量或作辅助线构造全等三角形证明. 在选用ASA或SAS时，一定要看清是否有夹角和夹边；要结合图形挖掘其中相等的边和角（如公共边、公共角和对顶角等），若题目中出现线段的和差问题，往往选择截长或补短法.三角形全等的识别方法：两个三角形

2、中对应相等的边或角全等识别法两边及其夹角两角及其夹边两角及一角的对边直角三角形 斜边及一条直角边注意：要证全等必须满足至少一组边对应相等.三角形全等的证题思路：找夹角 SAS已知两边找直角 HL找另一边SSS找夹角的另一边SAS已知一边和一角找夹边的另一角ASA找边的对角AAS已知两角找夹边 ASA找任一边AAS.全等三角形的特征：全等三角形的对应边 ,?对应角, 等几何变换后与原图形全等.5 .在几何中，限定用 和 来画图，称为尺规作图，要求掌握四种基本作图（画线段、画角、画角平分线、画垂直平分线）识记巩固参考答案典例解析例1（重庆江津，22 , 10分）在 ABC中,AB=CB,/ABC=

3、90）,F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF. 求证:RtABE RtACBF;（2）若/ CAE=3 求/ ACF度数.【答案】(1) / ABC=90 ,CBF=/ ABE=90在 RtMBE和 RtCBF 中， AE=CF, AB=BC,RtAABE RtACBF(HL)-. AB=BC, /ABC=90 ,， Z CAB=Z ACB=45 . / BAE4 CAB-/CAE=45 -30 =15 .由（1）知 Rt AABE RtACBF7, . / BCF4 BAE=15 ,/ACF土 BCF-+Z ACB=45 +15 =60 .例2在一次数学课上，王老师在黑板上画出下

4、图， 并写下了四个等式：AB=DCBE=CE / B=Z C;/ BAE=/ CDE ?要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由.（写出一种即可）已知：4P求证： AED是等腰三角形.证明：Jk解析 本例是一道开放性问题，考查全等三角形的识别，填法多样，？一般先看从题中已知的四个条件中取出两个共有六种取法，再看有几种正确.正确的填法可以是已知：（或，或，或）（任选一个即可）.若选，证明如下：证明：在 ABE和 DCE中，B C,AEB DEC, AB DC,.AB* DCEAE=DE即 AED是等腰三角形.例 3 已知 RtABC

5、中，/ C=90 .A（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）作/ BAC的平分线AD交BC于点D;作线段AD的垂直平分线交 AB于点E,交AC于点F,垂足为H;J连结ED.（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形： 叁,并加以证明.解析（1）按照要求用尺规作/ BAC的平分线A口作线段AD的垂直平分线，并连结相关线段.（2）由AD平分/ BAG可以得至ij/ BAD4DAC由EF垂直平分线段AD,可以得至U/ EHA4 FHA土 EHD=90 , EA=ED从而有/ EAD=Z EDAW FAH再加上公共边，从而有 AEH AFht DEH以上三组中任选一组即可.例 4 在 A

6、BC中，/ A=90 , AB=AQ D 为 BC的中点.(1)如图1, E, F分别是AB, AC上的点，且BE=AF，求证： DEF为等腰直角三角形；(2)如图2,若E, F分别是AB, CA延长线上的点，仍有 BE=AF，其他条彳不变，？那 么 DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论.图1A解析 (1)连结AD. AB=AC / BAC=90 , D为 BC的中点，AD BC, BD=AD.Z B=Z DAC=45 .又 BE=AF.BD珞 ADF (SAS),ED=FD / BDEh ADF, / EDF4 EDA-+Z ADF之 EDA4Z BDEh BDA=90. DEF为等腰

7、直角三角形.(2)连结AD. AB=AC / BAC=90 , D为 BC的中点， AD=BQ AD BC / DACh ABD=45 , / DAF4 DBE=135 .又 AF=BE. DAF DBE (SAS),FD=ED / FDA=/ EDR/ EDF=/ EDB吆 FDB=Z FDA+/ FDB4 ADB=90 . DEF仍为等腰直角三角形.例5 在4ABC中，AB=AC CGL BA交BA的延长线于点 G, ?一等腰直角三角尺按如图 1 所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F, 一条直角边与 AC边在一条直线上，？另一条直 角边恰好经过点 B.（1）在图中请你通过观察、测量 B

8、F与CG的长度，猜想并写出 BF与CG满足的数量关 系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到如图2所示的位置时，一条直角边仍与 AC他在同一直 线上，另一条直角边交 BC边于点D,过点D作DE! BA于点E.此时请你通过观察， ？测量 DE，DF与CG的长度，猜想并写出 DE+D* CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）在基础上沿AC方向继续平移到如图 3所示的位置（点F?在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）图1图2图3解析(1) BF=CG证明：在 ABF和ACG43, / F=Z G=90 , / FAB=

9、Z GAC AB=AC.AB阵 ACG (AAS),BF=CG(2) DE+DF=CG证明：过点 D作DHL CG于点H (如图2). DEI BA于点 E, / G=90 , DHL CG四边形EDHG矩形，DE=HG DH/ BG./ GBCW HDC AB=AC / FCDh GBCh HDC又/ F=/DHC=90 , CD=DC. FDC HCD（AAS）, DF=CHGH+CH=DE+DF=CGP DE+DF=CG（3）仍然成立.点评 本题从直接证明三角形全等， 到探究新的情况下如何构建新的全等三角形证明待 定的数量关系，再到不同位置关系下的归纳猜想， 三个问题由浅入深考查学生的不

10、同层次的 数学能力.本题还可以利用面积来进行证明，比如（2）中连结AD.全等三角形、选择题.（安徽芜湖，6, 4分）如图，已知zABC中， ABC 45 , F是高AD和BE的交C .372点，CD 4,则线段DF的长度为（）D. 4 2.（山东威海，6, 3分）在 ABC中，AB AC点D E分别是边 AB AC的中点，点F在BC边上，连接 DEDFEF则添加下列哪一个条件后，仍无法判定BFD与4EDF全等/ A=Z DFE/ B=Z DFE.（.浙江衢州，1,3分）如图，OP平分 MON ,PA ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点，若 PA 2 ,则PQ的最小值为（）A.1B.2C.3

11、D. 4【答案】B4.（江西，7, 3分）如图下列条件中，不能证明 AB四 ACD勺是（A. BD=DC ABACB. / ADBZ ADCD./B=/C, BD=DC第7题图【答案】D5.（江苏宿迁,7,3分）如图，已知/A. AB= AC B . BD= CD C1 = /2,则不一定 能使 AB四 AC曲条件是() ./ B= / C D . Z BDA= / CDA【答案】B6.（江西南昌，73分）如图下列条件中，不能 证明 AB挈 ACM是（BD=DC ABACC.Z B=Z C, / BAD=Z CAD / ADBZ ADC D./B=/C, BD=DCC.Z B=Z C, / B

12、Aa/CAD第7题图【答案】D（A）周长相等的锐角三角形都全等;（C）周长相等的钝角三角形都全等;【答案】D(B)(D)周长相等的直角三角形都全等；周长相等的等腰直角三角形都全等.8.（安徽芜湖，6,4分）如图，已知 ABC中,ABC 45、 F是高AD和BE的交点，CD 4 ,则线段DF的长度为（）A. 2 金B . 4 C . 3 金D. 4 冠【答案】B二、填空题1.（江西，16, 3分）如图所示，两块完全相同的含30。角的直角三角形叠放在一起，且/DAB=30。有以下四个结论： AF BC ; AD生 ACF O为BC的中点； AGDE=J3: 4,其中正确结论的序号是 . （错填得。

13、分，少填酌情给分）【答案】2.（广东湛江19,4分）如图，点B,C,F,E在同一直线上，12, BC FE , 1（填“是”或“不是” ）2的对顶角，要使 ABC DEF ,还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需写出一个）.3.4.5.三、解答题1.（广东东莞，13, 6分）已知：如图， E,F在AC上，AD/ CB且ACB Z D= /B求证：AE=CF【答案】: AD/ CB/ A=Z C又 AD=CB / D=Z B.AD障 CBEAF=CEAF+EF=CE+EF即 AE=CF2.（山东荷泽，15 （2）, 6分）已知：如图，/ ABC/DCB BD CA分别是/ ABC / DCB

14、的平分线.求证：AB=DC证明：在 ABCW DCBABCDCB（已知）ACB DBC（AC平分/ BCD BD/ ABCBC BC（公共边） AB笠 ADCB. AB=DC3.（浙江省，19, 8分）如图，点 D, E分别在AC, AB上.已知，BD=CE CD=BE 求证：AB=AC【答案】(1)连结 BC,BD=CE CD=BE BC=CBADB(C ECB (SS9/ DBC =Z ECBAB=ACH【答案】证明:4.（浙江台州，19,8分）如图，在口ABCD43,分别延长 BA DC到点E,使得AE=AB CH=CD 连接EH,分另I交 AQ BC于点F,G。求证： AEF CHG.

15、 DABCDAB=CD,Z BAD4 BCD AB/ CD / EAF=Z HCG / E=Z H AE=AB, CH=CDAE=CHAAEF ACHG.A F、C D在同一直线上，点 B和点E分别在直线 ADAF= DC 求证：BC/ EF.5.（四川重庆，19, 6分）如图，点 的两侧，且AB= DE /A= / D,【证明】. AF= DC /.AO DF,又/A= Z D ,AB= DE.AB隼ADEF/ ACB= / DFEBC/ EF.6.（江苏连云港，20, 6分） 放，阴影部分为重叠部分, 是否全等？为什么？两块完全相同的三角形纸板 ABCF口 DEF按如图所示的方式叠点 O为

16、边AC和DF的交点.不重叠的两部分 AOFA DOC【答案】解：全等.理由如下：二.两三角形纸板完全相同，.BGBF, AB=BD / A=/D,AB- BF=BD- BC 即 AF=DC 在AOF ADO计，. AF=DC / A=/D, / AOF：/DOC AOFDOC（AAS .7.（广东汕头，13, 6分）已知：如图， E,F在AC上，AD/ CB且AD=CB Z D= /B 求证：AE=CF【答案】: AD/ CB/ A=Z C又 AD=CB / D=Z B.AD障 CBEAF=CEAF+EF=CE+EF即 AE=CF8.(重庆江津，22 , 10分)在 ABC中,AB=CB,/A

17、BC=90),F为AB延长线上一点 点E在BC上，且AE=CF.(1)求证:RtAB段 RtACBF;(2)若/ CAE=30),求/ ACF度数.C【答案】(1) / ABC=90 ,CBF=/ ABE=90 .在 RtMBE和 RtCBF 中， AE=CF, AB=BC, . RtAABE RtACBF(HL). AB=BC, /ABC=90 ,./ CAB玄 ACB=45 ./BAE4 CAB-/ CAE=45 -30 =15 .由(1)知 Rt AABE RtACBF, . / BCF4 BAE=15 ,/ACF土 BCF-+Z ACB=45 +15 =60 .(福建福州，17 (1)

18、, 8分)如图6, AB BD于点B, ED BD于点D , AE交BD于点C ,且 BC DC .【答案】（1）证明： AB BD, ED BDABC D 90在ABC和EDC中ABC DBC DC ACB ECDABC 9 EDCAB ED.（四川内江，18, 9分）如图，在RtABC中，Z BAC=90 , AC=2AB点D是AC的中点， 将一块锐角为45。的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结 BE、EC试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.A【答案】BE=EC BE! EC.AC=2AB点D是AC的中点.AB=AD=CD/ EAD叱 EDA

19、=45EAB=Z EDC=135 EA=ED.EA EDC，/AEB=/ DEC EB=ECBEC之 AED=90.BE=EC BEX EC.（广东省，13, 6分）已知：如图， E,F 在 AC上，AD/ CB且 AD=CB Z D= / B.求证：AE=CF【答案】: AD/ CB / A=Z C又 AD=CB / D=Z B.AD障 CBEAF=CEAF+EF=CE+EF即 AE=CF.（湖北武汉市，19,6分）（本题满分6分）如图，D, E,分 另是 AB,AC上 的 点 且 AB=AC AD=AE 求证/ B=Z C.【答案】证明：在 ABEACDK AB= AC ZA=ZA AE=

20、 AD. / AB降 ACD ./ B=Z C13.（湖南衡阳，21 , 6分）如图，在 ABC中，AD是中线，分别过点 B C作AD及其延长 线的垂线BE CF,垂足分别为点 E、F.求证：BE=CF.【证明】在 AB8, AD是中线, BD=CD CF!AD BE! AQ / CFD= / BED= 90 ,在 BEDWCFD43, / BED=Z CFD / BDE= / CDF BD= CD BE坐 CFD BE=CF14. (1江苏镇江,22,5 分)已知：如图，在4ABC中,D为BC上的一点，AD平分/ EDC且/ E=/ B,ED=DC.求证:AB=AC【答案】证明: AD平分/

21、 EDCJ / ADE至ADC,又DE=DC,AD=AD,.AD ADC,，/E=/ C,又/E=/B, .-/ B = /C, .1.AB=AC.15.（湖北宜昌，18, 7分）如图，在平行四边形 ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与 DC的延长线相交于点 F.(1)证明：/ DFA = /FAB(2)证明：4AB珞 AFCE.（第18题图）【答案】证明：（1） .AB与CD是平行四边形 ABCD勺对边，AB/ CQ （1分）. / F=/ FAB. （ 3分）（2）在4ABE和4FCE中， / FAB4 F （4 分）: / AEB之 FEC （5 分）BE=CE （6 分）AABE

22、FCE （7 分）中考真题、选择题1.（深圳市全真中考模拟一）如图，将两根钢条 AA、BB的中点。连在r 一起，使AA、AB的长等于内槽宽 AB,那么BB可以绕着点0自由转动，就做成了一个测量工件，则 判定 AOB AOB 的理由是（A）边角边（B）角边角（C）边边边（D）角角边答案；A、填空题1、（北京四中模拟 8）如图，/ ACBW ADB要使 AC笑ABDA请写出一个符合要求的条 件答案 ZCAB= / DBA 或 / CBA=DAB2、（北京四中模拟 28）如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,最省事的办法是带编号为 答案：的碎片去.（第2题）

23、3.（海宁市盐官片一模）如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板ABCD ,将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与 CD交于点F ,与CB延长线交于点 E .则 四边形AECF的面积是.答案：16三、解答题A组1、（浙江省杭州市中考数学模拟）如图，在 ABC中，D是BC边上的点（不与B,C重合），F, E分别是AD及其延长线上的点，CF/BE.请你添加一个条件，使 BDEACDF （不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明.【根据习题改编】(1)你添加的条件是：(2)证明：答案： 解：（1） BD DC （或点D是线段BC的中点），FD ED , CF BE中任

24、选一个即 可.（2）以BD DC为例进行证明： CF / BE, /FCD=/EBD.又 BD DC , / FDC = / EDB,ABDEA CDF .2、(北京四中三模)如图，正方形 ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知 CEXBF,垂足为 M,请 找出和BE相等的线段，并证明你的结论。以添加条件 AE = AF为例证明.证明：在 AED与/AFD中,答案：和BE相等的线段是：AF 通过证明 ABF0BCE得证BE=AF3、(如皋市九年级期末考)如图，已知 AD是4ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使 那EDAAFD,需添加一个条件是： ,并给予证明.答案：答案不

25、惟一 .添加条件为AE = AF或/ EDA=/ FDA AE=AF, /EAD = /FAD, AD=AD,AEDA AFD （SAS）.4、（北京四中模拟）已知：如图，在梯形 ABCD43, AD/ BC, BC=DC CF平分/ BCD DF/ AR BF的延长线 交DC于点E.求证：（1） BF黄 DFC（2） AD=DEA D答案：略2、（杭州模拟26）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC勺两边分别在，OC=6cm P是线段OA上的动点，从点 O出发，以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动，点 Q在线段AB上。已知A、Q两点间的距离是 。P两点间距离的a倍。若用（a, t）表示经过

26、时间t（s）时, OCR APAQ CBQ有两个三角形全等。 请写出（a, t ）的所有可能情况答案：(0, 10), (1, 4), ( 635,AC DB .求证： 12 .AB DC,证明：Y AC DB,BC BC, ABCA DCB12.4、（北京四中模拟26）已知：如图，D是AC上一点，BE / AC , BE=AD , AE分别交BD、BC 于点 F、G, / 1 = Z2o（1）图中哪个三角形与 FAD全等？证明你的结论；B答案：解：（1） FAB FAD。证明：v AD| BE, 1 E。又 EFB AFD,BE AD, FEB FAD5、（北京四中模拟 28）如图，点 F

27、是 CD 的中点，且 AFXCD, BC=ED, / BCD = / EDC .（1）求证：AB=AE;（2）连接BE,请指出BE与AF、BE与CD分别有怎样的关系？（只需写出结论，不必证明）.答案:(1)证明：联结AC、AD TOC o 1-5 h z 丁点F是CD的中点，且 AFXCD, a AC=AD 1分 ./ACD=/ADC 1 分. /BCD=/EDC, a ZACB=Z ADE 1 分 BC=DE , AC=AD.ABCA AED, 0 1 分.AB.=AE 1 分(2) BEAF,BE/CD,AF 平分 BE- 1 分，1 分，2 分（注：写出一个得1分，写出两个得2分，写出三

28、个得4分）6、（北京四中中考模拟 20）（本题8分）如图，AB/ CD（1）用直尺和圆规作C的平分线CP, CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）中作出的线段 CE上取一点F,连结AF。要使 ACF AEF还需要添加一个什么 条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段； 不要求证明）。解：（1）作图略；0D（2）取点F和画AF正确（如图）； 添加的条件可以是：F是CEIAF ICE; / CAF4 EAF等。（选一个即可）7.（黄冈市流水县中考调研试题）已知：如图，在ABC、AADE中，/ BAC = / DAE = 90 , AB=AC, AD=A

29、E,点C、D、E三点在同一直线上，连结 BD.求证：（DABADza CAE;（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明答案:(1) AB = AC,易证/BDXCE,证明略.BAD = / CAE ,8.（北京四中中考全真模拟DN交 AC于，若 MA=MC.求证：CD=AN.17）已知：如图,答案：证明：如图,AD = AE,所以 BADACAE ( SAS)已知：D是4ABC的边AB上一点，CN/ AB,因为AB / CN所以 12 在AMD和CMN中12AM CMAMD CMNAMD CMNAD CN 又AD/CN四边形ADCN是平行四边形CD ANB组B同时出发，都1.(天一实验学

30、校 二模)如图，已知 ABC中，AB AC 10厘 米，BC 8厘米，点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同 时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后， BPD与 CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够 BPD与zCQP全等？(2)若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点逆时针沿 ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在4ABC的哪条边上相遇？答案： 全等。理由：AB=ACJ/ B=Z C,运动 1 秒时 BP=3,C

31、P=5,CQ=3 . D 为 AB中点，AB=10 . . BD=5.BP=CQ,BD=CR；/BP阴 CQP TOC o 1-5 h z 若Q与P的运动速度不等，则 BP CQ若 BPM CQ晖等，则 315CQ=5,Q的运动速度为 5 X cm/s44设经一过t秒两点第一次相遇则(15-3) t=20480t=3 3t=80, 80+ 28=2 676-X 28=24,所以在AB边上。7AB上。即经过80两点第一次相遇，相遇点在32.（安徽省巢湖市七中模拟）如图，E, F是平行四边形 ABCD的对角线 AC上的点,CE AF .请你猜想：BE与DF有怎样的位置并对你的猜想加以证明.猜想:证

32、明:答案：彳|想：BE / DF BE=DF证明：在平行四边形 ABCD中，AB=CD、AB / CD/ BAC= / DCA又 AF=CE . AE=CFABEA CDF (SAS)BE=DF / AEB= / CFDBEF= / DFEBE / DF TOC o 1-5 h z .（北京四中一模） 如图，在 /ABC中，以AB为直径的。交BC于点D,连结 AD , 请你添加一个条件，.；使 ABDA ACD ,并说明全等的理由.（ 力你添加的条件是,_答案： 本题答案不唯一，添加的条件可以是AB=AC,/ B=Z C一BD = DC （或 D 是 BC 中点），/ BAD =/ CAD （

33、或 AD 平分/ BAC ）等.（浙江杭州义蓬一模）（本小题满分10分）图1,在 ABC, / ACB=90。，Z CAB=3 0 , ABD等边三角形，E是AB的中点，连结 CE并延长交 ADT F.（1）求证： QAEg BEC 四边形BCFM平行四边形；（2）如图2,将四边形ACB斯叠，使D与C重合，HK为折痕，求sin / ACM1 .图1图2答案：（1）求证： 4AE监ABE（5/ABC=90 , E 是 AB 的中点，AE=BE,Z FAB之 EBC=6CT , Z FEB=Z BEC所以 AE降 BEC 四边形BCF虚平行四边形；可得 DF/ BC,FC/ DB,或 DF/ BC

34、,且 DF=BC匀可（2）设 BC=1,则 AC=,3,AD=AB=2设 DH=x,由折叠得 DH=CH=x,（2-x） 2 +3=x2X= 7 所以 Sin / ACH=17.（深圳市全真中考模拟一）如图I,已知正方形 ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点，连结 EB,过点A作AM BE,垂足为 M, AM交BD于点F.求证：OE=OF;（2）如图2,若点E在AC的延长线上，AM BE于点M ,交DB的延长线于点 F,其它 条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.答案：（1）证明：四边形 ABCD是正方形. TOC o 1-5 h

35、 z BOE= AOF = 9C . OB= OA . （1分）又AM BE, MEA+ MAE =9C = AFO+ MAEMEA = AFO （2 分）RtABOE RtA AOF . （3分）.OE=OF （4 分）（2）OE = OF 成立 （5分）证明：:四边形 ABCD是正方形，BOE= AOF = 9C . OB= OA （6分）又AM BE, F+ MBF = 9C = B+ OBE又 MBF = OBEF= E （7 分）RrtA BOE RtA AOF （8分）.OE=OF （9分）.（河南新乡模拟）（10分）.如图，在直角坐标系中放入一个边长OE 9的矩形纸片ABCO将3

36、纸片翻折后，点 B恰好落在x轴上，记为B；折痕为CE,已知tan/OBC=-.4（1）求B点的坐标;（2）求折痕CE所在直线的解析式.，3答案：解:（1）在 RtBOC中,tan Z OBC= 一，OC= 9,49OB解得OB= 12,即点B的坐标为（12, 0）.（2）将纸片翻折后，点 B恰好落在x轴上的B点，CE为折痕,ACBE CBE,故 BE= BE, CB= CB= OA由勾股定理，得cb = Job2 2=15.设 AE= a,贝U EB= EB= 9-a, AB= AO-OB= 1512=3.由勾股定理，得a2+32= （9 a）2 ,解得a=4.点E的坐标为（154）,点C的坐

37、标为（0,9）.设直线CE的解析式为y = kx+b,根据题意，得b,15k b.k解得9,13 CE所在直线的解析式为1y =x+9 .37、（黄冈市流水县）如图,D是 AB上一点，DF交 AC于点 E, AE=EC CF/ AB求证：AD=CF.答案：证明：YAB/CF（2分）又.二 AEDCEF , AE CE , AED CEF（5分）6分）AD CF 一8.（浙江省杭州市模2）（本小题满分10分）如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边？ABC边AB BC上的动点，点 P从顶点A,点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s,(1)连接AQ CP交于点M,则在P、Q运动的过程中，

38、/ CM嗫化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；(2)何时？PBQ是直角三角形？(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线 AB、BC上运动，直线 AQ CP交点为M则/ CM嗫化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；答案：(1) CMQ 600不变。等边三角形中， AB AC, B CAP 600又由条件得AP=BQABQ 省 CAP (SAS)BAQ ACPCMQACPCAMBAQCAMBAC 600(2)设时间为 t,贝U AB=BQ=t PB=4-t当PQB900 时，B 600,PB2BQ,得 4t 2t,t -3当BPQ900 时，B 600,BQ2PQ

39、,得 2t2(4 t),t 2-4 ，一 一，当第一秒或第2秒时，？PBQ为直角三角形3(3) CMQ 1200 不变。.等边三角形中，AB AC, BCAP 600 PBC ACQ 1200又由条件得BP=CQPBC 9 ACQ (SAS)BPC MQC 又PCB MCQCMQ PBC 1200单元测试一、基础过关训练.下列判断中错误的是（）A .有两角和一边对应相等的两个三角形全等B .有两边和一角对应相等的两个三角形全等C .有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D .有一边对应相等的两个等边三角形全等.如图，已知/ 1 = /2, AC=AD增加下列条件： AB=AEBC=E

40、D/ C=Z D;/ B=/E,其中能使 AB黄4AED的条件有（）A. 4个 B .3个 C .2个 D .1个.如图，在 RtABC中，AB=AC D, E是斜边 BC上两点，且/ DAE=45 ,将 ADC?g点 A沿顺时针旋转 90后，得至QAFB,连ZEF.下列结论：AED AEF;ABa ACDBE+DC=DEBF+DC=DC,其中正确的是（）A . B . C . D .就口图，？已知AE=?CF ?/A=?/ C, ?要使 ADF竺 CBE ?还需添加一个条件 （只需写一个）.如图，在 ABC中，D是BC的中点，DE!AB, DFAC,垂足分别是 E, F, BE=CF（1）图

41、中有几对全等的三角形？请一一列出；（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2?是由它抽象出的几何图形,点B, C, E在同一条直线上，连结 DC(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：？结论中不得含有未标识的字母)(2)证明：DC! BE7.如图，把一张矩形的纸 ABCDg对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD较于点F.(1)求证： AB阵 EDF；(2)若将折叠的图形恢复原状，点形BMDF勺形状，并说明理由.F与BC边上的点M正好重合，连结 DM试判断四边.如图，在梯形 ABCM, AD/ BC, BC=DC CF平分/

42、BCD DF/ AB, BF的延长线交 DC于点E.求证：(1) BFC DFC (2) AD=DE.如图延长 ABC的各边，使得 BF=AC AE=CD=AB顺次连结点 D, E, F, ?得至以DEF为等边三角形.求证：(1) AAEFA CDE (2) ABC等边三角形.E, F, AF和BE相交于点 G, ?.如图，AB是。的弦，矩形 ABCD勺边CD与。交于点连结AE BF.（1）写出图中每一对全等的三角形（不再添加辅助线）（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明.二、能力提升训练.如图1,在 ABC中，/ ACB为锐角，点 D为射线BC上一动点，连结 AD,以AD为一边 且在AD的右侧作正方形 ADEF解答下列问题：（1）如果 AB=AC / BAC=90 .当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2,线段CF, BD空间的位置关系为 , 数量关系为；当点D在线段BC的延长线上时，如图 3,中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AA AG /BAO 90 ,点 D在线段 BC上运动.试探究：当 ABC满足一个什么条件时，CF BC（点C, F重合除