备战中考数学圆的综合综合练习题附详细答案

1、一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形（性质探究）如图1,试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB,CD与BC,AD之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（利用图1,写出已知、求证、证明）（性质应用）初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形如图2,圆外切四边形ABCD，且AB=12，CD=8，则四边形的周

2、长是【答案】见解析.【解析】【分析】（1）根据切线长定理即可得出结论；（2）圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论.【详解】性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：如图1,已知：四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA都于OO相切于G,F,E,H.求证：AD+BC=AB+CD证明：TAB,AD和OO相切，AG=AH，同理：BG=BF,CE=CF,DE=DH,AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等.故答案为：圆

3、外切四边形的对边和相等；性质应用：T根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等.T平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等,而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等.故答案为：B,DT圆外切四边形ABCD,AB+CD=AD+BC.TAB=12,CD=8,AD+BC=12+8=20,四边形的周长是AB+CD+AD+BC=20+20=40.故答案为：40；T相邻的三条边的比为5：4：7,设此三边为5x,4x,7x,根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x+7x-4x=8x.T圆外切四边形的周长为48cm,4x+5x+7x+8x=24x=48,x=2,此四边形的四边为4x=8cm,5x=10c

4、m,7x=14cm,8x=16cm【点睛】本题是圆的综合题,主要考查了新定义圆的外切的性质,四边形的周长,平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质,切线长定理,理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键2.如图，AB是半圆0的直径，C是；的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E.1)2)3)求证：BD平分/ABC；求证：BE=2AD；DE求的值.BE【答案】答案见解析BE=AF=2AD宁【解析】试题分析：(1)根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；延长BC与AD相交于点F,证明BCE竺ACF,根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；连接OD,交AC

5、于H.简要思路如下：设OH为1,则BC为2,OB=OD=、：2,DH=-1,然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：(1)TD是i的中点AD=DCZCBD=ZABDBD平分ZABC(2)提示：延长BC与AD相交于点F,证明BCE竺ACF,BE=AF=2AD(3)连接OD,交AC于H.简要思路如下:设OH为1,贝yBC为2，OB=OD=j2，DH=、：2-1,DEDHBE=BCDE迈-1BE=2如图，四边形ABCD内接于O0,对角线AC为OO的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点，连接DB,DF.求证：DF是OO的切线；若DB平分ZADC，AB=5迈,AD:DE=4：

6、丄，求DE的长.【答案】见解析；(2)【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出ZFDO=ZFCO=90,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用厶ADCfACE,得出AC2=ADAE,进而得出答案.详解：(1)连接OD.：OD=CD,ZODC=ZOCD.TAC为OO的直径ZADC=ZEDC=90.T点F为CE的中点，二DF=CF=EF,AZFDC=ZFCD,AZFDO=ZFCO.又:ACCE,AZFDO=ZFCO=90,ADF是OO的切线.(2)TAC为OO的直径,AZADC=ZABC=90.TDB平分ZADC,AZADB=ZCDB,AAB

7、=BC,ABC=AB=5迈.在RtAABC中，AC2=AB2+BC2=100.又TACCE,AZACE=90,ACAEADACaADCACE,a=,aAC2=ADAE.设DE为x,由AD：DE=4：1,AAD=4x,AE=5x,A100=4x5x，Ax=：5,ADE=：5.点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=ADAE是解题的关键.已知，如图：0为x轴上一点，以0为圆心作O0交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，ZCMD的外角平分线交O0于点E,AB是弦，且ABIICD,直线DM的解析式为y=3x+3.如图1,求O0半径及点E的坐标.如图2,过E作EF丄B

8、C于F,若A、B为弧CND上两动点且弦ABIICD,试问：BF+CF与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明.在(2)的条件下，EF交O0于点G,问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG的长(不写过程)，若变化自画图说明理由.【答案】(1)r=5E(4,5)(2)BF+CF=AC(3)弦BG的长度不变，等于5-込【解析】分析：(1)连接ED、EC、EO、MO，如图1,可以证到ZECD=ZSME=ZEMC=ZEDC,从而可以证到/EOD=ZEO1C=90.由直线DM的解析式为y=3x+3可得0D=1,OM=3.设。0的半径为r.在RtAMOO1中利用勾股定理就可解决问题.（2）过

9、点01作Of丄EG于P,过点01作0丄BC于Q,连接EO】、DB，如图2.由ABIIDC可证到BD=AC，易证四边形O】PFQ是矩形，从而有O】P=FQ,ZPO1Q=90，进而有厶EO1P=ZCO1Q，从而可以证到厶EPO*CQO1，则有PO1=QO1.根据三角形中位线定理1可得FQ=-BD.从而可以得到BF+CF=2FQ=AC.厶（3）连接EO,ED，EB，BG，如图3.易证EFIBD,则有ZGEB=ZEBD，从而有BG=ED，也就有BG=DE.在RtAEOD中运用勾股定理求出ED,就可解决问题.详解：（1）连接ED、EC、EO、MOr，如图1.TME平分ZSMC,ZSME=ZEMC.TZS

10、ME=ZECD,ZEMC=ZEDC,AZECD=ZEDC,AZEOD=ZEOC.TZEOD+ZEOC=180,AZEOD=ZEOC=90.T直线DM的解析式为y=3x+3,A点M的坐标为（0,3）,点D的坐标为（-1,0）,AOD=1，OM=3.设OO的半径为r,则MODOr.在RtAMOO中，（r-1）2+32=r2.解得：r=5,AOO1=4,EO=5,AOO半径为5,点E的坐标为（4,5）.（2）BF+CF=AC.理由如下：过点O1作Of丄EG于P,过点O1作Of丄BC于Q,连接EO】、DB,如图2.TABIDC,AZDCA=ZBAC,Aad=BC,.BD=AC,ABD=AC.TO1P丄

11、EG,O1Q丄BC,EF丄BF,AZO/F=ZPFQ=ZO1QF=90,A四边形OfFQ是矩形，AO1P=FQ,ZPO1Q=90,AZEO1P=90-ZPOC=ZCOQZEOP=ZCOQ11在厶EPO1和厶CQO1中，ZEPO=ZCQO,OE=OC11AEPO梓CQO1，APO1=QO1，AFQ=QO1.TQO丄BC,ABQ=CQ.11TCO1=DO1，AOQ=BD,AFQ=BD.TBF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ,ABF+CF=BD=AC.（3）连接EO,ED,EB,BG,如图3.TDC是OO的直径,AZDBC=90,AZDBC+ZEFB=180,AEFIBD,AZGE

12、B=ZEBD，ABG=ED，ABG=DE.TDO=EO=5,EO丄DO,ADE=5迈,ABG=5迈,A弦BG的长度不变，等于5运.圏1图2图3点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度.而由ABIIDC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EGIIDB证到BG=DE是解决第（3）小题的关键.5.如图，ABC内接于OO,弦AD丄BC垂足为H,ZABC=2ZCAD.（1）如图1,求证：AB=BC；（2）如图2,过点B作BM丄CD垂足为M,BM交

13、O0于E,连接AE、HM,求证：AEIIHM;（3）如图3,在（2）的条件下，连接BD交AE于N,AE与BC交于点F,若NH=2p5,AD=11，求线段AB的长.画*叫砂）气團勒【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AB的长为10.【解析】分析：（1）根据题意，设ZCAD=a,然后根据直角三角形的两锐角互余的关系，推导出ZBAC=ZACB，再根据等角对等边得证结论；（2）延长AD、BM交于点N,连接ED.根据圆周角定理得出ZN=ZDEN=ZBAN,进而根据等角对等边，得到DE=DN,BA=BN,再根据等腰三角形和直角三角形的性质，求得MHIAE；（3）连接CE,根据（2）的结论，由

14、三角形全等的判定与性质证得HF=HC,然后结合勾股定理求出AC2-AH2=CD2-DH2,解得CD=5,CH=4,AH=8，最后根据锐角三角函数的性质得到AB.详解：（1）证明：设ZCAD=a,则ZABC=2a,ZC=90-a,ZBAD=90-2a,ZBAC=90-2a+a=90-aZBAC=ZACB.AB=BC(2)证明：延长AD、BM交于点N,连接ED.TZDEN=ZDAB,ZN=ZBCD,ZBCD=ZBAN.ZN=ZDEN=ZBAN.DE=DN,BA=BN又:BH丄AN,DMIENEM=NM,HN=HA,.MHIIAE连接CE.ZBDA=ZBCA,ZBDM=ZBAC，由(1)知ZBCA=

15、ZBACZBDA=ZBDM,.BDM竺BDH,DH=MH,ZMBD=ZHBD,.BD丄MH又:MHIIAE,.BD丄EF,.FNB竺ENB,同理可证厶AFH竺ACH,.HF=HC又:FN=NE.NHIIEC,EC=2NH,又:NH=2囂：5八EC=4j5ZEAC=2ZAEC=2a=ZABC，可证弧人。=弧EC,.AC=EC=4*：5设HD=x,AH=11-x,TZADC=2ZCAD，翻折CHD至厶CHG，可证CG=CD=AGAH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x又TAC2-AH2=CD2-DH2,.(4*5)2-(11-X)2=(11-2x)2-X227.X=3,x2=-

16、(舍去).CD=5,CH=4,AH=8.AHCH小j,又T二二tan2a,.BH=6AB*BM2+AH2=62+82=10BHDH点睛：此题主要考查了圆的综合，结合圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的性质，综合性比较强，灵活添加辅助线，构造方程求解是解题关键.6.（8分）已知AB为OO的直径，OC丄AB,弦DC与OB交于点F,在直线AB上有一点E,连接ED,且有ED=EF.（1）如图，求证：ED为OO的切线；如图，直线ED与切线AG相交于G,且0F=2,OO的半径为6,求AG的长.【答案】（1）见解析；（2）12【解析】试题分析：（1）连接0D,由ED=EF可得出ZED

17、F=ZEFD,由对顶角相等可得出ZEDF=ZCFO；由OD=OC可得出上ODF=ZOCF,结合0C丄AB即可得知上EDF+ZODF=90,即/EDO=90,由此证出ED为OO的切线；（2）连接OD,过点D作DM丄BA于点M,结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO的长度，结合ZDOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GA丄E4,从而得出DMIIGA,根据相似三角形的判定定理即可得出厶EDM-EGA,根据相似三角形的性质即可得出GA的长度试题解析：解：（1）连接OD,TED=EF,ZEDF=ZEFD,:ZEFD=ZCFO,ZEDF=ZCFO.TOD=OC,ZODF=ZO

18、CF.TOCAB,ZCFO+ZOCF=ZEDF+ZODF=ZEDO=90,ED为OO的切线；（2）连接OD,过点D作DM丄BA于点M,由（1）可知EDO为直角三角形，设ED=EF=a,EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=02+62，解得，a=8,TOC o 1-5 h zED4OD3即ED=8,EO=10.tsinZEOD=,cosZEOD=,EO5OE5424318EM=EO-MO=10-DM=EMGEADM=ODsinZEOD=6x-=丁,MO=ODcosZEOD=6x5=,1832T：=-5,EA=EO+OA=10+6=16.TOC o 1-5

19、 h zTGA切OO于点A,GA丄EA,DMIGA,EDM-EGA,2432了=T，解得GA=12.GA_16DDAEBO卫CBIAfp图？匸点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：(1)通过等腰三角形的性质找出ZEDO=90；(2)通过相似三角形的性质找出相似比.7.如图1,已知AB是O0的直径，AC是OO的弦，过0点作OF丄AB交O0于点D,交AC于点E,交BC的延长线于点F,点G是EF的中点，连接CG判断CG与O0的位置关系，并说明理由；求证：2OB2=BCBF；如图2,当ZDCE=2ZF，CE=3,

20、DG=2.5时，求DE的长.【答案】(1)CG与O0相切，理由见解析；(2)见解析；(3)DE=2【解析】【分析】连接CE,由AB是直径知厶ECF是直角三角形，结合G为EF中点知ZAEO=ZGEC=ZGCE,再由OA=OC知ZOCA=ZOAC,根据OF丄AB可得ZOCA+ZGCE=90,即卩OC丄GC,据此即可得证；BCAB证厶ABC-FBO得二，结合AB=2BO即可得；BOBFECED3DE证ECD-EGC得二，根据CE=3,DG=2.5知二，解之可EGECDE+2.53得.【详解】解：（1）CG与OO相切，理由如下:如图1，连接CE，AB是OO的直径，ZACB=ZACF=90,点G是EF的

21、中点，.GF=GE=GC,.ZAEO=ZGEC=ZGCE,OA=OC,.ZOCA=ZOAC,TOFAB,.ZOAC+ZAEO=90,ZOCA+ZGCE=90,即OC丄GC,.CG与OO相切；（2）TZAOE=ZFCE=90,ZAEO=ZFEC.ZOAE=ZF,又:ZB=ZB,ABC-FBO,BCAB=，即BOAB=BCBF,BOBFTAB=2BO,2OB2=BCBF；（3）由（1）知GC=GE=GF,ZF=ZGCF,ZEGC=2ZF,又:ZDCE=2ZF,ZEGC=ZDCE,TZDEC=ZCEG,ECD-EGC,.EC=ED而一EC，TCE=3,DG=2.5,.3_DEDE+2.5丁，整理，得

22、：DE2+2.5DE-9=0,解得：DE=2或DE=-4.5(舍)，故DE=2【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点8如图，在RtAABC中，ZC=90,AD平分ZBAC,交BC于点D,点0在AB上,OO经过A、D两点，交AC于点E,交AB于点F.求证：BC是OO的切线；若OO的半径是2cm,E是弧AD的中点，求阴影部分的面积(结果保留n和根号)2兀贡【答案】(1)证明见解析可73解析】分析】连接OD,只要证明ODIIAC即可解决问题；连接OE,OE交AD于K.只要证明厶AOE是等边三角形即可解决问题.详解】1)连接

23、OD.OA=OD,ZOAD=ZODA.ZOAD=ZDAC,.ZODA=ZDAC,.ODIAC,.ZODB=ZC=90,.OD丄BC,.BC是OO的切线.(2)连接OE,OE交AD于K.AE=DE，.OE丄AD.ZOAK=ZEAK,AK=AK,ZAKO=ZAKE=90,.AKOAKE,.AO=AE=OE,:.AOE是等边三角形,/AOE=60,60兀-22J32兀r-S严扇形OAE-SAOE=3604X22二丁_占【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常

24、考题型9.如图，ABC中，ZACB=90,ZA=30,AB=6.D是线段AC上一个动点(不与点A重合)，OD与AB相切，切点为E，OD交射线DC于点F,过F作FG丄EF交直线BC于点G,设OD的半径为r.(1)求证AE=EF；(2)当OD与直线BC相切时，求r的值;(3)当点G落在OD内部时，直接写出r的取值范围.【答案】见解析,(2)r*3,(3)朽【解析】【分析】连接DE,则ZADE=60=ZDEF+ZDFE，而ZDEF=ZDFE，则ZDEF=ZDFE=30=ZA,即可求解;如图2所示，连接DE,当圆与BC相切时，切点为F,ZA=30,AB=6，则BF=3,AD=2r，由勾股定理，即可求解；分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况，分别求解即可【详解】解：设圆的半径为r；而上DEF=ZDFE，则上DEF=ZDFE=30=ZA,AE=EF；（2）如图2所示，连接DE,当圆与BC相切时，切点为FZA=30,AB=6，贝9BF=3,AD=2r,由勾股定理得：（3r）2+9=36,解得:r