专的题目讲座小学数学图形与几何

1、专题讲座 小学数学图形与几何2011 版课标终于要公布了，新课标 修订后有哪些变化。这一讲主要讲“图形与几何这个领域的变化。 新课标在图形与几何领域有几个核心概念。主要有 HYPERLINK :/edu6.teacher /图形与几何改/话题一/空间观念.ppt 空间观念、 HYPERLINK :/edu6.teacher /图形与几何改/话题一/几何直观.ppt 几何直观、 HYPERLINK :/edu6.teacher /图形与几何改/话题一/推理能力.ppt 推理能力 等 。 空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位

2、置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。 更直观的理解如如下图： 几何直观主要是指利用图形的描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题，变得简明形象，有助于探索解决问题的思路，结果，探索思路结果。 案例：打 如果你是教师，有件紧急的事情要通知给同学，用打 的方式，每分钟通知 1 人，给你 3 分钟的时间，能使多少人收到通知？大胆的猜想一下。 下面是学生借助图形研究的例子。学生都能够利用线段、点以图形的形式，来描述打 来通知这件事情，设计方案。 通过这个数图就把这个复杂的数量关系，很简明很直观的呈现出来，而且从这个图本身，就能发现一些规律，就是一分钟通知一个人，第二次通知的

3、新的人数，就是第一次的两倍，否如此你算是算不出来，看图就看出来了。 通过线段、点，以与图形，把通知过程很简捷的表现出来，把它们之间的关系，揭示得非常清楚，这就属于典型的几何直观，就是图形直观。 推理能力 的开展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的根本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实包括定义、公理、定理等和确定的规如此包括运算的定义、法如此、顺序等出发，按照逻辑推理的法如此证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索

4、思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。 通过对一线教师的访谈，查阅资料，把教师们的困惑集中起来，归结为四个大话题。 讨论话题： 1如何在观察、操作中“认识图形 抽象出图形特征，开展空间观念？ 2如何以“图形的测量为载体，渗透度量意识，体会测量的意义，认识度量单位与其实际意义，了解掌握测量的根本方法，并在具体问题中进展恰当的估测？从而开展 学生的空间观念与推理能力？ 3如何通过“图形的运动探索发现，体会研究图形性质的不同方法，开展学生几何直观能力和空间观念，提高学生研究图形性质的兴趣？ 4如何通过学习“确定图形位置的方法，开展学生的空间观念和推理能力？ 话题一、图形的认识抽象图形特征，开展空间观

5、念 问题一、新的课程标准在图形的认识方面有哪些变化？有哪些新的要求呢？ 这次新课标修订后图形的认识局部都包括哪些内容？有新的变化？ 课标修订前后立体图形的认识局部内容的比照： 修订前 修订后 第一 学段 1 通过实物和模型识别长方体、正方体、圆柱和球等 立体图形 。 2 识别从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状。 参见例 1 3 识别长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。 4 通过观察、操作， 能用自己的语言描述 长方形、正方形的特征。 5 会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。 6 结合生活情境认识角，会识别直角、锐角和钝角。 7 能对简单几何体和图形进展分类。 1

6、. 能通过实物和模型识别长方体、正方体、圆柱和球等 几何体 。 2. 能根据具体事物、照片或直观图识别从不同角度观察到的简单物体 参见例 11 。 3. 能识别长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。 4. 通过观察、操作， 初步认识 长方形、正方形的特征。 5. 会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。 6. 结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角。 7. 能对简单几何体和图形进展分类参见例 20 。 第二 学段 1 了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点。 2 能区分直线、线段和射线。 3 体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。 4 知道周角、平角的概念

7、与周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。 5 结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交包括垂直关系。 6 通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，会用圆规画圆。 7 认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是 180 。 8 认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。 9 通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的 展开图。 10 能识别 从不同方位看到的物体的形状和相对位置。 参见例 1 1 结合实例了解线段、射线和直线。 2体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。 3知道平角与周角，了解周

8、角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。 4结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交包括垂直关系。 5通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆 ，知道扇形， 会用圆规画圆。 6认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是 180 。 7认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。 8能识别 从不同方向前面、侧面、上面看到的物体的形状图 参见例 32 。 9通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的展开图。 从这个表中可以看到，课表修订前后在图形的认识局部只有一些细小的变化，图形与几何这一模块原称空间与图形，变“

9、空间与图形为“图形与几何；重提几何直观、推理能力、运算能力、逻辑思维能力，用词更加规X，表现了课标的严肃。 的图形与几何第一、二学段仍分为四局部，具体表示有所变动， 1 图形的认识， 2 测量， 3 图形的运动修改稿：图形与变换， 4 图形与位置。图形的运动强调了图形的运动是研究图形性质的一种有效方法。运动也是一种根本的数学思想。第二学段的内容标准删除“两点确定一条直线和“两条直线确定一个点。 “图形与几何领域，将几何学习的视野拓宽到学生生活的空间，强调空间和图形知识的现实背景，从第一学段开始使学生接触丰富的几何世界。新标准突出用观察、描述、制作、从不同的角度观察物体、认识方向、制作模型等活动

10、，开展学生的空间观念和图形设计与推理合情推理与演绎推理的能力。 新标准在第二学段还增加了知道扇形这一内容。扇形的认识，大纲修订版教材作为选学内容，数学课程标准中没有认识扇形的要求。 认识扇形在课标修改稿中确实没有做要求，但在 “ 统计与概率 局部却明确提出了通过实例认识扇形统计图的内容标准，考虑到知识的系统性、逻辑性和连贯性，以与学生认识扇形统计图的需要，课标修订稿在认识圆的根底上，增加了初步认识扇形。 简单说对图形认识的要求主要包括两个方面： 一是对图形自身特征的认识。 二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。 在三个学段中，认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从 “ 识别

11、到 “ 初步认识 ，再从 “ 认识 到 “ 探索并证明 。例如，对于长方体、正方体、圆柱和球等几何体，第一学段要求 “ 识别 ；第二学段要求 “ 认识 ；第三学段要求了解其中一些几何体的侧面展开图。 又如，对于平行四边形，第一学段要求 “ 识别 ；第二学段要求 “ 认识 ；第三学段要求 “ 探索并证明平行四边形的性质定理、判定定理 。 再如，三角形内角和的例子： 关于 “ 视图 ，第一学段要求 “ 能根据具体事物、照片或直观图识别从不同角度观察到的简单物体 ；第二学段要求 “ 能识别从不同方向前面、侧面、上面看到的物体的形状图 ；第三学段要求 “ 会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯

12、视图，能判断简单物体的视图，会根据视图描述简单的几何体 。 这种要求的层次性，既表现了从整体到局部的认识过程；也符合学生的认知特点，逐渐深入、循序渐进。 对图形的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识，主要包括大小、位置、形状之间关系的认识。第一学段的 “ 了解直角、锐角和钝角 ；第二学段的 “ 体会两点间所有连线中线段最短 ； “ 了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系 ； “ 了解 HYPERLINK :/edu6.teacher /图形与几何改/话题一/三角形边的关系(2).exe 三角形两边之和大 HYPERLINK :/edu6.teacher /图形与几何改/话题一/三角形

13、边的关系(2).exe 于第三边 ；第三学段的 “ 会比拟线段的长短 ， “ 能比拟角的大小 等，都是对图形大小关系的研究 。 点与直线的位置关系、直线与直线的位置关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等，是义务教育阶段几种主要的图形位置关系；轴对称、中心对称、平移也反映了图形与图形之间的位置关系。 图形的全等、相似都是研究研究图形之间关系的课程内容，全等研究的是图形的形状、大小关系；图形的相似研究的是图形的形状之间的关系；而图形的位似如此还涉与到了图形的位置关系。 在儿童的不同学段上，形象思维的开展是有层次的，荷兰X . 希尔夫妇对学生几何思维水平的研究说明了从直观识别到探索特征是儿童的

14、对图形的形象思维规律。他们将学生的图形认知水平主要分为五级：水平 1 ：直观化；水平 2 ：描述 / 分析；水平 3 ：抽象 / 关联；水平 4 ：演绎 / 形式化推理；水平 5 ：严密 / 元数学。一二三水平在小学表现，四五水平是在中学表现的。这和我们课标的要求也是一致。 图形认识的教学先明确两点： 一是这局部内容属于图形认识的哪个水平，前后继知识各是； 二是多数学生现在的形象思维处于一个阶段，要通过你的教学达到阶段。 问题二、 小学阶段对于 “ 图形的认识 这一内容，教材是遵循怎样一个编排体系的？ 第一， 现在的教材，在图形的认识当中，是先讲立体，再讲平面，再回到立体。从历史开展过程上看，

15、实际上我们中国小学的传统教材，最初是按点、线、面、体的逻辑关系讲的。到了上个世纪 90 年代以后，义务大纲出现就发生变化了，先讲立体以后再讲平面，然后又回到立体。为当时要改？因为当时很多教师都反映，高年级孩子，对几何立体图形，本身的识图的能力比拟低，认识起来比拟困难。这局部是个难点，分阶段安排可以分散难点。 第二，实际上一个人是生活在三维空间当中，一个婴儿从出生落地，他所有接触的东西，看到的东西，实际上都是体，他的奶瓶，他玩的积木都是体，住的大大楼里，所有东西都是体，在这个过程中儿童积累了很多立体的物体，因此所有的几何体，都具有直观的实物的模型的。那在这种情况之下，低年级孩子，刚开始初步的认识

16、立体图形是有可能的。 所以一是有必要，二是有可能，再加上儿童的空间观念的形成，必然是有一个长期的反复的积累的过程，不能一次到位。所以当时的义务大纲就打破了传统的一步到位，先讲立体图形，要求直观认识，然后中间一段是平面图形，最后再讲立体图形。现在教材也一样，先讲立体，后讲平面，再回到立体，但这两次讲立体层次不同，第一次要求识别，到第二学段要求是认识。 也就是 现在教材是 “ 体形体 的混合螺旋编排结构 问题三、 怎样通过图形的认识教学，培养学生的空间观念？ 第一、通过对实物的观察与操作认识图形 第一学段要求 “ 能通过实物和模型识别长方体、正方体、圆柱和球等几何体 、 “ 通过观察、操作，初步认

17、识长方形、正方形的特征 ；第二学段要求 “ 结合实例了解线段、射线和直线 、 “ 结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交包括垂直关系 等，要求的共同特点是通过观察与操作认识图形，直观地、整体地认识立体图形和平面图形。从对实物的观察与操作过程中来认识图形的特征和性质，既符合学生认识事物的规律，也符合数学课程的目标要求。这样的过程有助于学生开展能力，初步体会数学的思想方法，开展积极的情感与态度。 人们生活在三维的空间中，常见的楼房、积木、各种包装盒、皮球 都给我们以长方体、正方体、圆柱体、球体等直观形象。基于这样的生活经验，学生可以从认识立体图形开始， “ 通过实物和模型等识别长方体、正方体、

18、圆柱和球等几何体 。 “ 识别 是认识的低级阶段，但与以往的经验有所不同，它要经历从实物到几何图形的抽象过程。 从不同的角度观察长方体、正方体、圆柱体、球的外表，抽象出长方形、正方形、圆等平面图形。像这样从具体到抽象，从实物到图形，从整体到局部的安排，揭示了立体图形与平面图形的关系，也符合学生的认知特点。 第二学段要求 “ 结合实例了解线段、射线和直线 、 “ 结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交包括垂直关系 。射线和直线涉与到了无限的概念，与长方体、正方体、长方形、正方形等相比，在现实中没有 “ 直线 的实物原型，这就需要学生进展抽象与想象。认识线段要容易一些，因为现实生活中有 “ 线

19、段 的实物原型。 类似的，学生理解两条直线平行的位置关系也比拟困难，可以利用两根铁轨作为实物原型来描述，两根铁轨不相交以与它们之间的距离处处相等的事实，都揭示了平行线的本质，但铁轨无法总是笔直的延伸，所以在从实物到几何图形的抽象过程中还需要想象，这有助于学生开展抽象能力和空间观念。 第二、基于图形的想象和图形之间的转换，开展空间观念 新教材内容编排上增加了 “ 视图和投影、展开与折叠 等内容。 视图和投影，过去小学没有，现在小学数学几何和图形当中，增加了观察物体，这局部在课标上有两个要求。 第一个学段的要求是根据具体事物照片或直观图，识别从不同角度观察到的简单物体的形状，这是识别。很多教材里面是这样，有的是拿个实物，有的是拿熊猫玩具等，让孩子们从各种角度去看，看的时候，孩子们就发现，不同角度看到的熊猫不一样。 第二个学段的要求能识别从不同方向，方向是从前面、侧面或者上面来观察，从不同方向看到物体的形状图，这个形状图实际上就是一个平面图，就是从水平方向对物体所做的一个投影，也就是拍照。 例如 拍照的结果，