两段变截面矩形悬挑梁挠度计算

1、(2)两段变截面矩形悬挑梁挠度计算唐大凡摘要本文采用虚功原理推导出两段变截面矩形悬臂梁(均质弹性材料)在各种荷载作用下的挠度计算公式，供设计者参考。关键词变截面悬臂梁挠度计算DeflectionCalculationofVariableCross-sectionRectangleVantileverBeamTangDafan(AnShanMetallurgicalEngineeringDesignandResearchInstitute,theMinistryofMetallurgicalIndustry)ABSTRACTTheformulafordeflectioncalculationof

2、variablecross-sectionrectanglevantileverbeamisderivedwithvirtualworktheory.Thispaperhassomereferencevaluetoengineeringdesigner.KEYWORDSVariablecross-sectionVantileverbeamDefvlectioncalculation一、问题的引出意大利著名结构工程师NerviP.L.在1932年为意大利佛罗伦萨体育场设计的看台顶棚采用了悬挑17m的悬挑梁，其外形与弯矩的二次抛物线图形相一致，是至今最著名的大跨度变截面悬挑梁之一。在结构设计中，由

3、于建筑功能或建筑造型的需要结构工程师需设计大跨度的悬挑梁，诸如体育场主看台雨篷梁、电视塔及高层建筑顶部承托或悬挂旋转餐厅挑出部分的大梁。为了节省材料，减轻自重及增强美感大跨度挑梁常设计成变截面梁，但设计中必须严格控制其挠度。以往计算挠度多采用“分段总和法”近似求解，该法不仅计算过程繁冗、计算量大，而且计算过程极易出错。为此，作者采用虚功原理推导出两段变截面均质弹性材料悬挑梁在各种荷载作用下的挠度计算公式，所得值为弹性位移。设计中若为钢筋砼梁还须按砼设计规范进行刚度折减计算。图1计算简图二、计算公式的推导两段变截面矩形悬挑梁如图1(a)所示，梁宽为b,其余结构尺寸及荷载见图。x轴的坐标原点取在固

4、定端处。依据虚设单位力法先求实际荷载作用下的MP(x)，再求虚设单位荷载(P=1)作用下的(x)。由于h/L值不很大，剪力对挠度的影响很小可忽略不计。以下分别导出梁在各种荷载作用下的自由端处(A点或A点)挠度f。1均布荷载作用下的挠度f实际荷载作用下M(x)为：1P/.|-rL1=71(A.v)2j20V.r冬L|NU=v：5/.jIA.-r1I(A.r)-I(y：7)(Aljt)/(6/-i)虚设单位力(P=1)作用下(x)为:0Vt冬上j)=LJ7)XI=上一JI(x)的计算如下：人VW7.帀/”一羊上|I啓一耳则自由端处挠度f为：1式(1)中第1项积分值为：(1)式中厂_Ii2卜、川？+

5、上.一扎.应.f订K：儿=L页777?石1KInfii-iL)l；a/.r=#+咖I3A)rlI=C.Lirj,/jI弓几/“：人丨c,/././A42ALIC.5cyiZJIXLtL叫=“.彳15I加上iKI=”J；I訂；，IIii-j/lg-l?iJ卜、=A-:I2iN、丨&K3=-l、丨.血“巴式（1）中第2项积分值，当nHn时为12fi2=（工十叭）一衣丄十叭）ln|工十检|；灯I叫泸（LItl-J3.,.(3)-TI2（.rIAi式中cfi=.-V/i讥一/yhKA-1L7.-71当n=n时为：12J-_:幻：！，：少2.集中荷载作用下的挠度f实际荷载作用下M（x）为（见图2）:P人

6、忘j丢上A-/f（j）=0oWh.v.-（j）=小加一小虚设单位力作用下，（X）为：I（x）的计算公式同前，则自由端处挠度f为：2当LVbWL时10(10)(10)式(5)中第1项积分值为：(6)一Li一(Zj|Li一Lf|式中a、a表达式同前。式(5)第2项积分值为当nn2时In|j-l|+ifIJ.h,h丄F7TT7(7)式中a、a表达式同前。34当n=n时12当OWbWL01(8)(9)式中a、a表达式同前。3.2G-I丄在均布荷载和集中荷载共同作用下的挠度f的计算3分别按上述1、2求出自由端处的挠度f、工f。将求得的f、工f叠加即为所求挠度1212f：33三、算例某变截面悬挑梁结构尺寸

7、及荷载如图3所示、梁宽b=0.5m,试计算自由端处挠度f。31.用本文推导公式计算(1)在均布荷载作用下A点的f1由L=7.1m,L=1.8m,L=8.9m,q=60kN/m,q=80kN/m,q=98kN/m,h=2.4m,b=0.5m,n=n=0.5计1212312算1如下：212312=0.3Xf.I.(;is-Sj)=IC.I?3,=0.3X2.I：X|.7j+3X40123Xf-II.2尸=3酹7-S32K,=i.).700+3X40.423X(-I1.3)=-S8C.191将上述值代入式(2)及(4)得f:1(2)在集中荷载作用下A点的f一6帥lyixlpl_14,3+7,12X1

8、4.2214x2j3X60X1申T肿叫刈曲貯応死=(158207.932+1朋3.5两)/E-0L02mr_I1-2,012X10_J|：2X38辽笳了汎任lT4d)-H25灵1LZX(-14*2+7.1)E=7250”.齬1一2X(1L2)X3閒人躍将b=8.9m,P=170kN代入式(6)、(8)求其挠度f为:02/：一I血|2.0lXI0-dA-&9丨乞9、丨4一Er-|.2耳一(乩9+8+92/2十乱胪工紅=f131302+1阴丨4姑二643)/(I-1.j!-li.2X?Xa.+a将b=7.1m,P=70kN代入式(9)求其挠度f”为:0214.22.t)12XICLLI讥巧一1讥李丨呂2丨&严丄2(j-I.)7.IH9-2XII.2所以扎=f；+f；=l：花资S35/SI3-1-M3.如忙=-:ji(3)在均布及集中荷载共同作用下A点的总挠度f/=I几=丨計兀丨，机吃.E十170333.167/=669m2用“分段总和法”计算272.432用“分段总和法”求其自由端处（A点）挠度勺其结果为：.；。计算中将变截面梁长7.1m分成9段，计算过程略。通过