2.4 位错的弹性性质

1、2.4位错的弹性性质位错的弹性性质是位错理论的核心与基础。它考虑的是位错在晶体中引起的畸变的分布及其能量变化。处理位错的弹性性质有若干种方法，主要的有：连续介质方法、点阵离散方法等。从理论发展和取得的效果来看，连续介质模型发展得比较成熟。我们仅介绍位错连续介质模型考虑问题的方法和计算结果，详细的数学推导不作介绍，有兴趣的同学可进一步阅读教学参考书。一、位错的连续介质模型早在1907年，伏特拉(Volterra)等在研究弹性体形变时，提出了连续介质模型。位错理论提出来后，人们借用它来处理位错的长程弹性性质问题。位错的连续介质模型基本思想将位错分为位错心和位错心以外两部分。在位错中心附近，因为畸变

2、严重，要直接考虑晶体结构和原子间的相互作用。问题变得非常复杂，因而，在处理位错的能量分布时，将这一部分忽略。在远离位错中心的区域，畸变较小，可视作弹性变形区，简化为连续介质。用线性弹性理论处理。即位错畸变能可以通过弹性应力场和应变的形式表达出来。对此，我们仅作一般性的了解。应力与应变的表示方法(1)应力分量如图1所示。物体中任意一点可以抽象为一个小立方体，其应力状态可用9个应力分量QUOxxxyxzUUUyxyyyzUUUzxzyzz其中，角标的第一个符号表示应力作用面的外法线方向，第二个下标符号表示该应力的指向。如u表示作用在与yoz坐标面平行的小平面上，而指向y方向的力，显而易见，它表示的

3、xy是切应力分量。同样的分析可以知道：u，u，u3个分量表示正应力分量，而其余6个xxyyzz分量全部是切应力分量。平衡状态时，为了保持受力物体的刚性，作用力分量中只有6个是独立的，它们是：O，O，O，O，O和U，而u=u，u=u，u=u。xxyyzzxyxzyzxyyxxzzxyzzy同样在柱面坐标系中，也有6个独立的应力分量：u，u，u，u，u，u。TOC o 1-5 h zrr00zzr0rz0z(2)应变分量与6个独立应力分量对应也有6个独立应变分量。直角坐标系中：，xxyyzz，和。柱面坐标系中：，和。xyxzyzrr00zzr0rz0z位错的应力场晶体中存在位错时，位错线附近的原子

4、偏离了正常位置，引起点阵畸变，从而产生应力场。在位错的核心区，原子排列特别紊乱，超出弹性变形范围，虎克定律已不适用。中心区外，位错所形成的弹性应力场可用各向同性连续介质的弹性理论来处理。该模型首先假设晶体是完全弹性体，服从虎克定律；其次，把晶体看成是各向同性的；第三，近似地认为晶体内部由连续介质组成，晶体中没有空隙，因此晶体中的应力、应变、位移等量是连续的，可用连续函数表示。（1）螺位错的应力场取外半径为R,内半径为ro的各向同性材料的圆柱体两个。圆柱中心线选为Z轴，将圆柱沿XOZ面切开，使两个切面分别沿Z轴方向相对位移b,再把切面胶合起来，这样在圆柱体内产生了螺位错的弹性应力场，如图2。图2

5、螺位错的连续介质模型采用圆柱坐标系，坐标选取如图2。从这个圆柱体中取一个半径为r的薄壁圆筒展开，便能看出在离开中心r处的切应变为*=b/2兀厂，其相应切应力GG=6，式匕0zz00z2兀r中G为切变模量。由于圆柱只在Z方向有位移，X，Y方向无位移，所以其余应力分量为零。G=G=0，如果采用直角坐标系表示，则rr99zzr09rrzzrG=G=-Gsin9=一Gbr，G=G=Gcos9=GbX，xzzxz92兀（x2+y2）yzzyz92兀（兀2+y2）G=G=G=G=G=0。由前面的式子知，螺位错应力场中不存在正应力分量。xxyyzzxyyx切应力分量只与r有关，与9无关，所以螺位错应力场是径

6、向对称的，即同一半径上的切应力相等。当r趋向0时，G与g刃趋于无限大，显然不符合实际情况，这是因为线弹性理论不适用于位错中心的严重畸变区。螺型位错的应力场（如图2所示）具有以下特点：1）.只有切应力分量，正应力分量全为零，这表明螺位错不引起晶体的膨胀和收缩。2）.螺型位错所产生的切应力分量只与r有关（成反比），而与0、z无关。只要r一定，z就为常数。因此，螺型位错的应力场是轴对称的，即与位错等距离的各处，其切应力值相等，并随着与位错距离的增大，应力值减小。(2)刃位错应力场取外半径为R,内半径为ro的各向同性材料的圆柱体两个。圆柱中心线选为Z轴，将圆柱沿XOZ面切开，使两个切面分别沿X轴方向相

7、对位移b,再把切面胶合起来，这样在圆柱体内产生了螺位错的弹性应力场，如图3。图3刃位错的连续介质模型刃位错应力场比螺位错复杂，按图3，根据弹性理论可求得b=Dr(3x2+y2)，xx(x2+y2)2b=Dr(x2y2)，b二r(b+b)，b=Dx(x2y2)，yy(x2+y2)2zzxxyyxyyx(x2+y2)2b=b=b=b=0，其中D=Gb，丫为泊松比，G为切变模量。xzzxyzzy2兀(1丫)由上式可看出，刃型位错应力场具有以下特点：.同时存在正应力分量与切应力分量，而且各应力分量的大小与G和b成正比，与r成反比，即随着与位错距离的增大，应力的绝对值减小。.各应力分量都是x，y的函数，

8、而与z无关。这表明在平行于位错线的直线上，任一点的应力均相同。.刃型位错的应力场对称于多余半原子面(y-z面)，即对称于y轴。.y=0时，Oxx=oyy=Ozz=0，说明在滑移面上，没有正应力，只有切应力，而且切应力Txy达到极大值。.y0时，即滑移面以上，OxxVO；而yVO时，即滑移面以下，Oxx0。这说明正刃型位错的位错滑移面上侧为压应力，滑移面下侧为拉应力。.在应力场的任意位置处，|oxx|oyy|。.x二土y时，Oyy,Txy均为零，说明在直角坐标的两条对角线处，只有Oxx，而且在每条对角线的两侧，Txy(Tyx)及Oyy的符号相反。显然，同螺位错一样，上述公式也不适用于刃位错中心区

9、。刃位错周围的应力场如图4所示。图4刃位错周围的应力场位错的应变能位错的应变能位错在晶体中引起畸变，使晶体产生畸变能，我们称之为位错的应变能或位错的能量。与位错的畸变相对应，位错的能量也可分为两部分：一是位错心的能量；二是位错心以外的能量。根据用点阵模型对位错心能量的估算，它大约是位错心以外能量的十分之一左右。因而作为近似，我们通常所说的位错的应变能就是指位错心以外的弹性应变能。这部分能量可用弹性模型来处理。刃位错的弹性应变能在连续介质模型中制造有关的位错时必须作功，位错形成后，这个功就转变为位错的应变能。因此，我们只要求出形成位错时外界所做的功即可。以刃型位错为例，仍考虑一圆柱体，图5所示。

10、图5形成位错时的做功分析内径为r0外径为R。沿xoz面剖开至中心后，在两剖面上加切应力ryx（请同学们分析T的作用平面和施力方向），使它们沿X方向相对移动。T起始值为零，然后逐渐增大，yxyx这是因为它必须克服弹性体中随变形而增长起来的内应力。最后当两剖面相对位移达到b时，T恰好增大到与刃位错的应力分量。相等。考虑到T在剖面上不是常数，而是Xyxyxyx的函数。取z轴的单位长度。x轴上考虑dx面积元内的情况。变形过程中外力在此面积元上所作元功为：dw=+bbdx,系数1是因为一开始r=0，最后rP，取其平均值而2yx2yxyxyx得到的。将积分元在r0R范围内积分（并考虑到y=0），可得形成一

11、单位长度刃型位错所需作的功wE：W二（w）二GbIn-r，其中丫为泊松比，一般金属丫二+。EELE4n（1-y）r03螺位错的弹性应变能由弹性理论可知：弹性体变形时，单位体积内的应变能（W/V）等于1,如果应力2有若干分量，则总的单位体积应变能等于这些应力分别乘以其相应的应变分量总和的二分之一。对于螺位错，只有切应力分量，故w=+bdV,由图2，dV二2rdr.L,其中L20z0z.8.2兀r.dr，整0z为位错线长度。若位错中心区为r，应力场作用半径R,则1（郴）=fib0z2r0=Gb2In-R。仇ro理后得，丁（册）=fG2击，单位长度螺位错的弹性应变能W为WL4兀rss0r0估算实际晶

12、体中位错应变能的数值。首先要确定R和r0。对于一般金属晶体，位错应力场受到亚晶界限制，因此R为一般亚晶界的尺度，约为10-4cm1M。根据点阵模型的估算，r0的数量级为10-8cm。因此，ln（R/r0）为10左右。分析上述式子表明单位长度的位错的应变能大致可表示为W/L.Gb2（J/m）,其中是与几何因素有关的系数。约为0.5-1.0。此式表明由于应变能与柏氏矢量的平方成正比,故柏氏矢量越小，位错能量越低。注意：位错应变能的单位量纲为：能量/长度。如对Cu单晶，G=4X10iidyn/cm2,b=2.5X10-8cm,得到位错的应变能为：2.5X10-4erg/cm。又如Fe单晶，G=8.3

13、X10iidyn/cm2,b=2.48X10-8cm，位错的应变能为：5.2X10-4erg/cm。位错的应变能使晶体的自由能增加，虽然位错出现也增大晶体的熵，使自由能下降。但是通常位错引起的熵是很小的。位错的自由能基本上就是位错的弹性应变能，具有正值。因而，从热力学上说，位错是不稳定的晶体缺陷。混合位错的弹性应变能的计算，可将混合位错分解为螺型分量和刃型分量，然后按螺型位错和刃型位错的弹性应变能公式计算，最后相加。外力场中位错所受的力在切应力作用下，晶体中的位错将发生运动，由于位错移动的方向总是与位错线垂直故可设想有一个垂直于位错线的力，造成了位错的移动，这就是“作用在位错线上的力”，常用虚

14、功原理求得。作用于位错的力只是一种组态力，它不代表位错附近原子实际所受到的力，也区别于作用在晶体上的力。图6作用在位错线上的力由图6可知，切应力工使一小段位错线移动了ds距离。此段位错线的移动使晶体中dA面积上下两部分沿滑移面产生了滑移量为b的滑移，故切应力作的功为dW二（TdA）.b=xdl.ds.b。另一方面，此功相当于作用在位错上的力F使位错线移动ds距离所作的功为：W二F.ds。两式相等可求出F二tb.dl，作用在单位长度位错线上的力用Fd表示则有F=F/dl=Tb。由此式可知，作用在单位长度位错线上的力与外加切应力t和d柏氏模b成正比，方向处处垂直于位错线，并指向未滑移区，耳的方向往

15、往与T的方向不同d（如图7）。图7位错的线张力位错线张力因为位错能量与位错线的长度成正比，所以它有尽可能缩短其长度而降低自由能的趋势。为了表征位错的这种性质，引入位错的线张力T。线张力的定义为：位错线增加一个单位长度时，引起晶体能量的增加，即位错的线张力就等于：单位长度位错的应变能（数量级为Gb2）。T=a,Gb2，考虑到实际晶体中位错是弯曲的，在远处的应力场可能会有部分抵消，使位错线的线张力小于直位错线，通常用Gb2/2作为位错线张力的估算值。对于直位错，Q二1。位错线张力在数量上与单位长度的位错能相等，但要注意两者不同的物理意义和不同的量纲。图7表示有一ds长，曲率半径为r的位错线，若有外

16、加切应力T存在，则单位长度位错线所受的力为tb，它力图使位错线变弯。同时存在的线张力T,力图使位错线伸直。线张力在水平方向的分力为2Tsin祷。平衡时两力相等，故有tb.ds=2Tsin誨，因为22ds=rd0,d0较小时，sin捋,T=g2，所以t=g。此式表明，假如切应力产生2222r的作用在位错线上的力tb，作用于不能自由运动的位错上，则位错将向外弯曲，其曲率半径r与工成反比。位错间的交互作用力晶体中存在位错时，在它的周围便产生一个应力场。实际晶体中往往有许多位错同时存在。任一位错在其相邻位错应力场作用下都会受到作用力，此交互作用力随位错类型、柏氏矢量大小、位错线相对位向的变化而变化。两

17、根平行螺位错的交互作用设两条螺位错平行于Z轴，相距为r,柏氏矢量为耳、b2,如图8。因为螺位错应力场具有径向对称性，平行于Z轴，相距为r的两个螺位错之间只有径向作用力F存在。考虑rb2在b应力场作用下的情况，圆柱坐标系下，F=bb，由螺位错的应力场公式可知21r0z2b。=Gbr，所以F=型禺。直角坐标系下：螺位错仇只有两个不为零的应力分量0和。0z2兀rr2帀1xz。o=(Gbl2n)y/(x2+y2)和。=-(Gbl2n)x/(x2+y2),位错线b2的三个分量b2，b2，b2yzxz1yz122x2y2z中只有b2z不为零，且b2z=b2。位错线线矢量f2的三个分量f2x，f2y，f2z

18、中，只有i2z不为零，取单位长度，f2z=l。应用位错受力F的一般公式可得：Fx=b2oyz=(Gb1b2/2n)x/(x2+y2)F=-bo=(Gbb2/2n)y/(x2+y2)可见，F是一种径向力：当位错同向时，两位y2xz12错在F的作用下表现为互相排斥。当位错反向时，.=-1,两位错在F的作用下表现为互相吸引。因此，两平行螺型位错间的作用力，其大小与两位错强度的乘积成正比，而与两位错间距成反比，其方向则沿径向r垂直于所作用的位错线，当bl与b2同向时，Fr0,即两同号平行螺型位错相互排斥；而当bl与b2反向时，FrVO,即两异号平行螺型位错相互吸引。图8两平行螺位错的相互作用图两平行刃

19、型位错的交互作用两个柏氏矢量平行的刃位错位置关系如图9。位错I位于坐标原点，位错II在点(x,y)处，柏矢量bi,b2沿x方向。由刃位错的应力场公式，可求出位错I作用于(x,y)处的各应力分量。位错b在(x,y)处的应力分量为9，o，o，O和0。位错b的柏矢量分1xxyxxyyyzz2量中b=b，其余为零；位错b的位错线矢量分量中E=1，其余为零。其中只有切应力分2x222z量G和正应力分量G对位错II起作用，分别导致位错II沿x轴方向滑移和沿y轴方向攀yxxx移。由于位错II的滑移面与Y轴垂直，故G可使位错II滑移，b可使位错II沿Y方向yxxx发生攀移，因为是压应力，引起正攀移，故F与b反

20、号。由外力场中位错所受的力公式xxx求得沿X轴的分力F,沿Y轴的分力F。F二bbGb1b2.X(x2_y2)，yxyx22冗(1_y)(x2+y2)2F_bbGb1b2.y(3x2+y2)。由于刃位错只能在位错线与柏氏矢量构成的滑移面上滑yxx22冗(1_Y)(x2+y2)2移，故F是决定位错行为的作用力，F的正负由x(x2_y2)项决定。当x=0时，F=0,作XXX用力倾向于使同号位错垂直于滑移面排列起来，这样的位错组态构成了小角度晶界。当x=y时，F=0，此时位错II处在不稳定平衡状态。当x0,xy时，F0两位错互相排斥。当x0,xxxy,F0时：(1)y0，U0。(2)y0，U0。V0，

21、U0。(2)y0。因此，所有比基体大的置换式溶质原子（AVO）被y0区域（位错的膨胀区）吸引；反之，被y0区域（位错的压缩区）吸引。位错与溶质原子的交互作用图12。00000000000000QQOSQQOooOdo0000000000000000000000*1*00000000000000图12位错与溶质原子的交互作用例题1如图所示，在相距为h的滑移面上有两个相互平行的同号刃型位错A、B。试求出位错B滑移通过位错A上面所需的切应力表达式。答案两平行位错间相互作用力中，fx项为使其沿滑移面上运动的力：人塩_Gb灯-才)_Gb1%_比(1-卩)(x2+y2)2_8(1-V)如hcos&x=rcosf=直角坐标与圆柱坐标间换算：sm召，y=h；三角函数：如彳召+匚。疋召=1，血20=2血召匚。訪，cos28=cos2sm23求出fx的零点和极值点（第一象限）sin4&=0B=0f=0两位错间互不受力，处于力的平衡状态;sin4&=0e=fx=0两位错间互不受力，处于力的平衡状态；xsin4&=1e=f-max同号位错最大斥力，异号位错最大引力，其值为8(1-v)h.sin4&=1&=f-max同号位错最大斥力，