中考数学新概念型问题专题复习

1、新概念题型一、解题策略和解法精讲“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移二、中考典例剖析考点一：规律题型中的新概念例1（;永州）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列例如数列1，3，9，19，33，

2、它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，是一个二阶等差数列那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，的第五个数应是。思路分析：由于3-1=2，7-3=4，13-7=6，由此得出相邻两数之差依次大2，故13的后一个数比13大8解答：解：由数字规律可知，第四个数13，设第五个数为x，则x-13=8，解得x=21，即第五个数为21，故答案为：21点评：本题考查了数字变化规律类问题关键是确定二阶等差数列的公差为2考点二：运算题型中的新概念思路分析：根据题中的新概念将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值

3、解：根据题意化简=8，得：（x+1）2-（1-x）2=8，整理得：x2+2x+1-（1-2x+x2）-8=0，即4x=8，解得：x=2故答案为：2点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键考点三：探索题型中的新概念例3（;南京）如图，a、b是o上的两个定点，p是o上的动点（p不与a、b重合）、我们称apb是o上关于点a、b的滑动角（1）已知apb是o上关于点a、b的滑动角，若ab是o的直径，则apb=；若o的半径是1，ab=，求apb的度数；（2）已知o2是o1外一点，以o2为圆心作一个圆

4、与o1相交于a、b两点，apb是o1上关于点a、b的滑动角，直线pa、pb分别交o2于m、n（点m与点a、点n与点b均不重合），连接an，试探索apb与man、anb之间的数量关系思路分析：（1）根据直径所对的圆周角等于90即可求解；根据勾股定理的逆定理可得aob=90，再分点p在优弧上；点p在劣弧上两种情况讨论求解；（2）根据点p在o1上的位置分为四种情况得到apb与man、anb之间的数量关系解：（1）若ab是o的直径，则apb=90如图，连接ab、oa、ob在aob中，oa=ob=1ab=，oa2+ob2=ab2aob=90当点p在优弧上时，ap1b=aob=45；当点p在劣弧上时，ap

5、2b=（360aob）=1356分（2）根据点p在o1上的位置分为以下四种情况第一种情况：点p在o2外，且点a在点p与点m之间，点b在点p与点n之间，如图man=apb+anb，apb=mananb；第二种情况：点p在o2外，且点a在点p与点m之间，点n在点p与点b之间，如图man=apb+anp=apb+（180anb），apb=man+anb180；第三种情况：点p在o2外，且点m在点p与点a之间，点b在点p与点n之间，如图apb+anb+man=180，apb=180mananb，第四种情况：点p在o2内，如图，apb=man+anb点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的

6、位置关系，本题难度较大，注意分类思想的运用考点四：开放题型中的新概念例4（;北京）在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点p1（x1，y1）与p2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下概念：若|x1-x2|y1-y2|，则点p1与点p2的“非常距离”为|x1-x2|；若|x1-x2|y1-y2|，则点p1与点p2的“非常距离”为|y1-y2|例如：点p1（1，2），点p2（3，5），因为|1-3|2-5|，所以点p1与点p2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段p1q与线段p2q长度的较大值（点q为垂直于y轴的直线p1q与垂直于x轴的直线p2q交点）（1）已知点a（-，0），b为y轴上

7、的一个动点，若点a与点b的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点b的坐标；直接写出点a与点b的“非常距离”的最小值；思路分析：（1）根据点b位于y轴上，可以设点b的坐标为（0，y）由“非常距离”的概念可以确定|0-y|=2，据此可以求得y的值；设点b的坐标为（0，y）因为|-0|0-y|，所以点a与点b的“非常距离”最小值为|-0|=；解：（1）b为y轴上的一个动点，设点b的坐标为（0，y）|-0|=2，|0-y|=2，解得，y=2或y=-2；点b的坐标是（0，2）或（0，-2）；点a与点b的“非常距离”的最小值为；-x0=x0+2，此时，x0=-，e（-，）-x0=x0+3-，解得，x0=-

8、，最小值为1点评：本题考查了一次函数综合题对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件本题中的“非常距离”的概念是正确解题的关键考点五：阅读材料题型中的新概念（1）点o的“距离坐标”为（0，0）；m设m为此平面上的点，其“距离坐标”为（，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：（1）画出图形（保留画图痕迹）：满足m=1，且n=0的点m的集合；满足m=n的点m的集合；（2）过m作mnab于n，根据已知得出om=n，mn=m，求出nom=60，根据锐角三角函数得出sin60=，求出即可解：（1）如图所示：点m1和m2为所求；如图所示：直线mn和直线ef（o除外）为所求；（2）如图：过

9、m作mnab于n，m的“距离坐标”为（m，n），om=n，mn=m，mon=150-90=60，在eqoac(,rt)mon中，sin60=，即m与n所满足的关系式是：m=n点评：本题考查了锐角三角函数值，角平分线性质，含30度角的直角三角形的应用，主要考查学生的动手操作能力和计算能力，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等三、中考真题演练一、选择题1（;六盘水）概念：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（-m，-n）例如f（2，3）=（3，2），g（-1，-4）=（1，4）则gf（-5，6）等于（）2（;湘潭）文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的

10、平方小1，若输入，则输出的结果为（）点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键3（;丽水）小明用棋子摆放图形来研究数的规律图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，称为三角形数类似地，图2中的4，8，12，16，称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）二、填空题4（;常德）规定用符号m表示一个实数m的整数部分，例如：=0，3.14=3按此规定的值为5（;随州）概念：平面内的直线与相交于点o，对于该平面内任意一点m，点m到直线、的距离分别为a、b，则称有序非实数对（a，b）是点m的“距离坐标”，根据上述概念，距离坐标为（2，3）的点的个数是（）6（;荆

11、门）新概念：a，b为一次函数y=ax+b（a0，a，b为实数）的“关联数”若“关联数”1，m-2的一次函数是正比例函数，则关于x的方程+=1的解为三、解答题10（;无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点p1（x1，y1），p2（x2，y2），我们把|x1-x2|+|y1-y2|叫做p1、p2两点间的直角距离，记作d（p1，p2）（1）已知o为坐标原点，动点p（x，y）满足d（o，p）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点p所组成的图形；（2）设p0（x0，y0）是一定点，q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（p0，q）的最小值叫做p0到直线y=

12、ax+b的直角距离试求点m（2，1）到直线y=x+2的直角距离11（;厦门）如图，在平面直角坐标系中，已知点a（2，3）、b（6，3），连接ab如果点p在直线y=x-1上，且点p到直线ab的距离小于1，那么称点p是线段ab的“临近点”（2）若点q（m，n）是线段ab的“临近点”，求m的取值范围12（;兰州）如图，概念：若双曲线y=（k0）与它的其中一条对称轴y=x相交于a、b两点，则线段ab的长度为双曲线y=（k0）的对径（1）求双曲线y=的对径（2）若双曲线y=（k0）的对径是10，求k的值（3）仿照上述概念，概念双曲线y=（k0）的对径15（;台州）概念：p、q分别是两条线段a和b上任意一

13、点，线段pq长度的最小值叫做线段a与线段b的距离点d的坐标为（0，2），m0，n0，作mnx轴，垂足为h，是否存在m的值使以a、m、h为顶点的三角形与aod相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由16（2010安徽蚌埠）定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量。如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同的向量:AB、BA、AC、CA、AD、DA、BD、DB（由于AB和DC是相等向量，因此只算一个）。作两个

14、相邻的正方形(如图一)。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为f(2)，试求f(2)的值；图一作n个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f(n)，试求f(n)的值；共n个正方形图二作23个相邻的正方形(如图三)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为f(23)，试求f(23)的值；图三作mn个相邻的正方形(如图四)排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为f(mn)，试求f(mn)的值。共m个正方形相连环”

15、，易知方形环四周的宽度相等.共n个正方形相连17.（10湖南益阳）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M、N、N小明在探究线段MM与NN的数量关系时，从点M、N向对边作垂线段ME、NF，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题请你参考小明的思路解答下列问题：l当直线l与方形环的对边相交时（如图81），直线l分别交AD、AD、BC、BC于M、M、N、N，小明发现MM与NN相等，请你帮他说明理由；当直线l与方形环的邻边相交时（如图82），分别交AD、AD、DC、DC于M、M、N、N，l与DC的夹角为，你认为MM与NN还相

16、等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出MM的值（用含的三角函数表示）.NNDCDFl(NClCMEDMCNNFEMDNABBMABAAB图81图82,18（2010浙江绍兴）在平面直角坐标系中一次函数的图象与坐标轴围成的三角形.叫做此一次函数的坐标三角形例如，图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,Beqoac(,)则OAB为此函数的坐标三角形（1）求函数y34x3的坐标三角形的三条边长；（2）若函数yxb（b为常数）的坐标三角形周长为16,求此三角形面积.34yBOA第21题图x19（2010浙江台州市）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位

17、用实数加法表示为3+（2）=1a若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移a个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移b个单位），则把有序数对a，b叫做这一平移的“平移量”；“平移量”a，b与“平移量”c，d的加法运算法则为a，bc，dac，bd解决问题：（1）计算：3，1+1，2；1，2+3，1.（2）动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”3，1平移到A，再按照“平移量”1，2平移到B；若先把动点P按照“平移量”1，2平移到C，再按照“平移量”3，1平移，最后的位置还是点B吗?在图1中画出四边形OABC证明四边形OABC是平行四边形.（3

18、）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O.请用“平移量”加法算式表示它的航行过程yyQ（5,5）1P（2,3）O1x图1（第22题）O图2x20（2010江苏连云港）（本题满分10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有_；（2）如图1，梯形ABCD中，ABDC，如果延长DC到E，使CEAB，连接AE，那么有S梯形ABCDeq

19、oac(,S)ABE请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCDeqoac(,S)ADCeqoac(,S)ABC，过点A能否作出四的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由BAB专题讲座二：新概念型问题参考答案AECDCD图1图2一、选择题1a2b3d解：3，6，9，12，称为三角形数，三角数都是3的倍数，4，8，12，16，称为正方形数，正方形数都是4的倍数，既是三角形数又是正方形数的是12的倍数，201012=1676，201212=1678，201412=1

20、6710，12=168，既是三角形数又是正方形数故选d二、填空题44解：34，3+1+14+1，4+15，+1=4，故答案为：4解：如图所示，所求的点有4个，6x=3解：根据题意可得：y=x+m-2，“关联数”1，m-2的一次函数是正比例函数，m-2=0，解得：m=2，则关于x的方程+=1变为+=1，解得：x=3，检验：把x=3代入最简公分母2（x-1）=40，故x=3是原分式方程的解，故答案为：x=374弧de的长是：=，弧ef的长是：=2，故答案是：48（1）1；（2）或或解：（1）存在另外1条相似线故答案为：1；如图2所示，共有4条相似线：=故答案为：或或三、解答题10解：（1）由题意，

21、得|x|+|y|=1，所有符合条件的点p组成的图形如图所示。（2）d（m，q）=|x-2|+|y-1|=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1|，又x可取一切实数，|x-2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1所对应的点的距离之和，其最小值为3点m（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3。11（2010安徽蚌埠）定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量。如以正方形的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同

22、的向量:、（由于和是相等向量，因此只算一个）。作两个相邻的正方形(如图一)。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值；作个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为，试求的值；共n个正方形作个相邻的正方形(如图三)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值；图三作个相邻的正方形(如图四)排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值。【答案】=34=2（）+4（）12（10湖南益阳）我们把对

23、称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等.一条直线l与方形环的边线有四个交点、小明在探究线段与的数量关系时，从点、向对边作垂线段、，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题请你参考小明的思路解答下列问题：当直线l与方形环的对边相交时（如图），直线l分别交、于、，小明发现与相等，请你帮他说明理由；，当直线l与方形环的邻边相交时（如图）l分别交、于、，l与的夹角为，你认为与还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）.【答案】解:在方形环中，5分解法一：8分（或）10分当时，tan=1,则当时，则（或）12分解法二：

24、在方形环中，又在与中，即（或）10分当时，当时，则（或）12分13（2010浙江绍兴）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则OAB为此函数的坐标三角形.（1）求函数yx3的坐标三角形的三条边长；（2）若函数yxb（b为常数）的坐标三角形周长为16,求此三角形面积.【答案】解：(1)直线yx3与x轴的交点坐标为（4,0），与y轴交点坐标为（0,3），函数yx3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.(2)直线yxb与x轴的交点坐标为（,0），与y轴交点坐标为（0,b），当b0时,，得b=4，此时,坐标三角形面积为；当b0时,bbb16，得b=4，此时,坐标三角形面积为；当b0时，bbb16，得b=4，此时,坐标三角形面积为.34344345323334532333全品中考网综上,当函数y332xb的坐标三角形周长为16时,面积为4319（2010浙江台州市）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位用实数加法表示为3+（2）=1a若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移a个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移b个单