专题三角函数的化简及证明

1、 /6三角函数专题专题一三角函数的化简、求值及证明一、知识网络建构TOC o 1-5 h z兀1801角度制与弧度制的互化：兀弧度=180。，1。=弧度，1弧度=()。-57。18 HYPERLINK l bookmark13 o Current Document 180兀弧长公式：1=0R；扇形面积公式：S=-IR=-0R2。222三角函数定义:角J终边上任一点(非原点)P(x,y)，设IOP1=r贝呱yxysm以=,cos以=,tana=rrx3三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；(简记为“全stc”)4诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”5同角三角函数的基本关系：s

2、in2x+cos2x=1;SinX=tanxcosx6两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(a土卩)=sinacos卩土cosasin卩；cos(a土卩)=cosacos卩_sinasin卩；tana土tanBtan(a土卩)=1_tanatanB+sin(a+B)sin(a-B)=sin2a-sin2B；cos(a+B)cos(a-B)=cos2a-sin2B.asina+bcosa2+b2sin(a+)(其中，辅助角p所在象限由点(a,b)所在的象b限决定，tanp=).a7二倍角公式：sin2a=2sinacosa.(sinacosa)2=1土2sinacosa=1土sin2acos

3、2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a(升幕公式).cos2a1+cos2a,sin2a2_1-cos2a2降幕公式).二、考纲要求及考试方向1、了解任意角的概念、了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。2、理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，理解同角三角函数的基本关系。3、能利用单位圆中的三角函数线推导出二二兀二口的正弦、余弦、正切的诱导公式4、两角和与差的三角函数公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的

4、内在联系。5简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)考试方向：三角函数的化简、求值及证明涉及恒等变换，而三角函数的恒等变换是历年高考命题的热点.它既可以出现小题（选择或者填空），也可以与三角函数的性质，解三角形，向量等知识结合，参杂、渗透在解答题中，它们的难度值一般控制在0.5-0.8之间.提高三角变换能力,要学会设置条件,灵活运用三角公式,掌握运算、化简及证明的方法和技能.，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算推理能力和综合分析能力三、基本概念检测1、课标文数14C12011.江西

5、卷已知角e的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4,y）是角e终边上一点，且sine=琴，贝yy=.2、（2010福建理数）计算sin43cos13-sinl3cos43的值等于（）3、若a,卩g（0,兀）,cosa丄,tan卩J50求a+2B=34、（2010全国卷1理数）（14）已知a为第三象限的角，cos2a=-5,则/兀C、tan（+2a）=.4（0,兀5、课标文数9C2,C62011福建卷若a（，且sin2a+cos2a=*,则tana的值等于（）6、（江苏泰兴市重点中学2011届）（14分）已知a=G,cosx）b=fa-*(1)若a/b，求sinx+cosxsinx-cos

6、x的值；（2）若a丄b，求sinx-cosx的值。7、（四川省成都外国语学校2011届高三10月文）.已知函数f（x）=x3+bx的图象在点A（1,f（1）处的切线的斜率为4，则函数g（x）=v3sin2x+bcos2x的最大值是（）8、已知tana，tan是方程x2+3.：3x+4=0的两根，a，（一号，申），则a+0=（）A.3兀B3兀昂兀或|nD3n0a-冷0/兀、1cos(+a)=cos(1-)=旦9（浙江理6）若2，2，43，423，则cos(a+2)=5爲A.丁B.3C.可D.910、（2010全国卷1理数）（2）记cos（80。）=k，那么tanlOO=Jl-k2A.B.kJl-

7、k2kC.Jk:kD-k四、典型例题分析例1、（2010天津文数）（17）（本小题满分12分）ACcosB在AABC中，=-。ABcosC（I）证明B=C：1、（仆兀）（II）若cosA=-3，求sin4B+的值。33丿例2、(2009湖南卷文)(每小题满分12分)已知向量a=(sin0,cos0一2sin0),b=(1,2).若a/b，求tan0的值；一若la|=Lb1,00兀,求0的值。例3、（1）求值：cos40+sin50(1+rGtanl0)sin70冷1+cos40（2）、化简logsin誓+logsin晋结果为（3）、（2010上海文数）19.（本题满分12分）小兀已知Ox，化简

8、：lg(cosx-tanx+12sin22)+Zcos(x一卯一lg(1+sin2x)例42011广东卷已知函数f(x)=2sin(3x6)，xR.求f(0)的值；n(n)ia设a阻0,2，后+2)=百f(30+2n)=5,求sin(a+0)的值.例5.(湖南理17)在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.求角C的大小；兀求v3sinA-cos(B+4)的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。例6、在数1和100之间插入n个实数，使得这+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an二lgTn,心.求数列an的通项公式；设bn=ta

9、n3an+1求数列n的前H项和I五、反馈训练1、(2009宁夏海南卷文)有四个关于三角函数的命题：xx1p:3xeR,sm2+cos2=12223x,yeR,sin(x-y)=sinx-sinyp:r1Jl一cos2x.VxeLO,兀,=sinx:sinx=cosynx+y=42其中假命题的是A)pl，p4B)p2，p43)pl，p34)p2，p32、(2009上海卷文)函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是c兀3.(2010江苏卷)10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点I2丿为P,过点P作PP丄x轴于点P,直线PP与y=sinx的图像交于点P2,则

10、线段PP2的长为4、课标文数5C82011浙江卷在A4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B=()5、(2009上海卷文)已知函数f(x)=sinx+tanx。项数为27的等差数列a满足n，厅,且公差d丰0,若f(a)+f(aj+.+f(a27)=0，则当k22丿27k=时,f(a)=o.。k6、(2010重庆文数)(15)如题(15)图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C,各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等.设第i段弧所对的圆心角为a(i=1,2,3)，则iaa+aaa+acostcos3-sims

11、in于=33337、(2010福建文数)16.观察下列等式:cos2a=2cos2a-1；cos4a=8cos4a-8cos2a+1；cos6a=32cos6a-48cos4a+18cos2a-1;cos8a=128cos8a-256cos6a+160cos4a-32cos2a+1；cos10a=mcos10a-1280cos8a+1120cos6a+ncos4a+pcos2a-1 /6可以推测，m-n+p=兀f(x)二tan(2x+丁),8、已知函数4ae0,丄、(II)设I4(I)求f(x)的定义域与最小正周期;af(三)2cos2a,丿，若2求a的大小.9、已知0VQV丁，卩为f(x)=cos2x+的最小正周期，a=/1、tan(X+13，1，II4丿丿b(cosa，2)了2cos2a+sin2(a+B)且a-bm.求的值.cosasina兀.10、设0w0,T,且cos20+2msine-2m-