机器人操作的数学导论-刚体运动(-)知识

1、机器人操作的数学导论刚体运动()一、刚体变换 刚体运动是物体上任意两质点间距离始终保持不变的连续运动。刚体从一位置到另一位置的刚体运动称为刚体位移（平动与转动）。刚体变换：满足下列条件的变换g:R3-R3为刚体变换：1)长度不变：2）叉积不变：对任意点二、三维空间中的旋转运动旋转矩阵：Rab=xab yab zab 物体相对于定坐标系的每一次旋转，对应于一个该形式矩阵旋转矩阵性质：设R R33为旋转矩阵，则： RRT=I detR=+1 (右手坐标系） 将满足这两个性质的33矩阵的集合记为SO（3），可用旋转矩阵表示刚体变换二、三维空间中的旋转运动旋转矩阵对点的最用：对坐标系B中的点qb(xb

2、 yb zb),可得其在A坐标系中的坐标qa=Rabqb旋转矩阵对矢量的作用：对坐标系B中的矢量Vb=qb-pb,则Rab(Vb)=Rabqb-Rabpb=qa-pa=Va二、三维空间中的旋转运动2.2 旋转的指数坐标研究物体绕给定轴转过一定角度的旋转运动，wR3表旋转方向的单位矢量，R为旋转角度，则该旋转运动可表示为： 通过数学方法可以得到：当|w|1时，上式可修正为：二、三维空间中的旋转运动2.2 旋转的指数坐标定理2.3 指数变换是SO（3）上的满射变换对给定的RSO(3),存在wR3,|w|=1及R，使R=exp(w)定理2.4 任意姿态RSO(3)等效于绕固定轴wR3,0,2该法并不

3、唯一，当R=I时，W（取0）有无穷多中。二、三维空间中的旋转运动2.3 四元数两四元数内积：给定Q=（q0,q），其中q0R,qR3，可获得相应的旋转描述旋转群还可以使用欧拉角来描述。三、三维空间中的刚体运动如右图刚体的位姿可以表示为（pab,Rab)记为式1 三、三维空间中的刚体运动3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量首先定义一个群se(3)：定理2.6 从se(3)到SE（3）的指数变换三、三维空间中的刚体运动3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量描述的不是点在不同坐标系间的变换，而是点由初始位置p(0)R3到经如下刚体转动后的位置坐标间的变换 上式中p(),p(0)均在同一坐标系中表示。类

4、似，若gab(0)表示刚体相对于A系的起始位姿，那么现对于A系的最终位姿为： 对于一运动旋量来说，指数变换反映的是刚体的相对运动，每一个刚体变换都可写为某个运动旋量的指数。三、三维空间中的刚体运动3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量3.3 旋量：运动旋量的几何表示定理2.7 建立在SE（3）的指数变换是满射变换se(3)中的元素 称为运动旋量三、三维空间中的刚体运动3.3 旋量：运动旋量的几何表示 旋量包括轴l、节距h及大小M。旋量运动表示绕轴l旋转M=再沿与l平行的方向移动h。如果h=,那么相应的旋量运动即为沿旋转轴移动距离为M的平动。旋量运动：三、三维空间中的刚体运动3.3 旋量：运动旋量的几何表示上式对任意的pR3均成立，故用旋量表示的刚体运动为：定理：旋量运动与旋量是一一对应 的 对于给定的旋量，其轴为l、节距为h、大小为M，则存在单位旋量，使得与该旋量有关的刚体运动由运动旋量M产生。三、三维