47第四十七章构造论证

1、第四十七章构造论证概念构造与论证是一类创造性的思维活动要求我们积极展开联想灵活运用 所学的知识。而构造法是一种重要的数学方法，一类数论问题可以通过构造 出某些特殊结构，特殊形式的数列或数组来解决，另外在解决一些图形问题 上，逻辑推理问题上也可以通过构造我们所熟悉的特殊情景然后在解题，问 题就变得容易多了。各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时 则要着眼于极端情形，或从整体把握设计最佳安排和选择方案的组合问题, 这里的最佳通常指某个量达到最大或最小.解题时，既要构造出取得最值的 具体实例，又要对此方案的最优性进行论证论证中的常用手段包括抽屉原 则、整除性分析和不等式估计.组

2、合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端 情况，或从整体把握。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题 目称为图论问题。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称 为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析.各种以染色为内容，或 通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色 .例题有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的 小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子问能否做到：(1)某2堆石子全部取光？ (2)3堆中的所有石子都被取走

3、？n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛 一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队 至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：n=4是否可能？n=5是否可能？如图35-1，将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图( 2009年清华附中入学测试题)如图，在时钟的表盘上任意作9个120。的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖 4个数，且每两个扇形覆盖的数 不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数.并

4、举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立.一组互不相同的自然数，其中最小的数是 I，最大的数是25,除1 之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和.问：这组数之和的最小值是多少 ？当取到最小 值时，这组数是怎样构成的？2004枚棋子，每次可以取1、3、4、7枚，最后取的获胜。甲、乙轮流 取，如果甲先取，如何才能保证赢？在10X19方格表的每个方格内，写上 0或1,然后算出每行及每列 的各数之和问最多能得到多少个不同的和数 ？在8X 8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘上每行、 每列及每条斜线上都有偶数枚棋子？在下图中有16个黑点，

5、它们排成了一个4X4的方阵用线段连接其中4点，就可以画出各种不同的正方形现在要去掉某些点，使得其中任意4点都不能连成正方形，那么最少要去掉多少个点 ？三个边长为1的正方形并排放在一起，成为1X 3的长方形.求证:123 90；.某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道 图书馆内任何两本书都至少被一个同学都读过问：能否找到两个学生甲、 乙和三本书4、B、C,使得甲读过A、B,没读过C,乙读过B C,没读过A? 说明判断过程.4个人聚会，每人各带2件礼品，分赠给其余3个人中的2人试 证明：至少有2对人，每对人是互赠过礼品的.甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛各班同

6、学都按I , 2，3, 4,依次编号当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒在甲、乙两班比赛时，有15台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时，有9台是男、女生对垒试说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的 台数不会超过24.并指出在什么情况下，正好是 24 ?将5X 9的长方形分成10个边长为整数的长方形.证明：无论怎样分 法.分得的长方形中必有两个是完全相同的.在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上.如果在这 7个点之字连结18条线段，那么这些线段最多能构成多少个三角形？在9X9棋盘的每格中都有一只甲虫，根据信号它们同时沿着对角线各 自爬到与原来所在格恰有一个公共顶点的邻格中，这样

7、某些格中有若干只甲 虫，而另一些格则空着.问空格数最少是多少 ？若干台计算机联网，要求：任意两台之间最多用一条电缆连接；任意三台之间最多用两条电缆连接；两台计算机之间如果没有电缆连接，则必须有另一台计 算机和它们都连接有电缆.若按此要求最少要用79条电缆.问：(1)这些计算机的数量是多少台？(2)这些计算机按要求联网，最多可以连多少条电缆 ？在一个6X6的方格棋盘中，将若干个1 X 1的小方格染成红色.如果 随意划掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一个是红色的.那么最少要涂 多少个方格？如图，把正方体的6个表面剖分成9个相等的正方形.现用红、黄、蓝3种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形

8、所染的颜色不同.那 么染成红色的正方形的个数最多是多少个 ？证明：在6X 6X 6的正方体盒子中最多可放入 52个1 X I X 4的小 长方体，这里每个小长方体的面都要与盒子的侧面平行.用若干个I X 6和1 X 7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11X12的大长方形，最少要用小长方形多少个 ？在1997X1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮.按钮 每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为 不亮，或由不亮变为亮.如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多 少次按钮才可以使灯全部变亮？（2008年台湾小学数学竞赛选拔赛）将 1、2、3、4、5、

9、6写在一个圆周上，然后把圆周上连续三个数之和写下来，则可以得到六个数d、a2、a3、a4、a5、a6，将这六个数中最大的记为 A .请问在所有填写方式中，A的最 小值是什么？有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块 石子问，能否做到：某2堆石子全部取光？3堆中的所有石子都被取走？在1000X 1000的方格表中任意选取 n个方格染为红色，都存在 3 个红色方格它们的中心构成一个直角三角形的顶点求n的最小值.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名

10、专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场为公平 起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加 2分，每胜业余选手一场加1分; 专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高？有9位数学家，每人至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有 共通的语言.求证：在这些数学家中至少有 3人能用同一种语言交谈。1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数.现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号

11、码的乘积.那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人？在黑板上写上1、2、3、4、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数 a和b，然后写上它们的差（大数减小数），直到 黑板上剩下一个数为止.问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走 13根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜.如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？将15X 15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色.证明：至 少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同.在2009张卡片上分别写着数字 1、2、3、4、2009,现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别

12、写上1、2、3、4、2009.然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各 200枚下面我 们对这些棋子做如下操作：每次拿出 2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑 色棋子回去；如果颜色不同，就补 1枚白色的棋子回去.这样的操作，实际 上就是每次都少了 1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是（）颜色（填“黑”或者“白”）.在黑板上写上1、2、3、4、2008,按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差（大数减小数），直到 黑板上剩下一个数为止.问黑板上剩下的

13、数是 奇数还是偶数？为什么？5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷.如果每次只能调换相邻的两卷，那么最 少要调换多少次？某公安人员需查清甲、乙、丙三人谁先进办公室，三人口供如下：甲：丙第二个进去，乙第三个进去。乙：甲第三个进去，丙第一个进去。丙： 甲第一个进去，乙第三个进去。三人口供每人仅对一半，究竟谁第一个进办公室？从前一个国家里住着两种居民，一个叫宝宝族，他们永远说真话；另一 个叫毛毛族，他们永远说假话。一个外地人来到这个国家，碰见三位居民， 他问第一个人：“请问你是哪个民族的人？”“匹兹乌图。”那个人回答。外地人听不懂，就问其他两个人：

14、“他说的是什么意思？”第二个人回答：“他说他是宝宝族的。”第三个人回答：“他说他是毛毛族的。”请问，第一个人说的话是什么意思？第二个人和第三个人各属于哪个民族？有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另外一个有时讲真话，有时讲 假话。一天，一位智者遇到这三个和尚，他先问左边的那个和尚：“你旁边 的是哪一位？ ”和尚回答说“讲真话的。”他又问中间的和尚：“你是哪一 位？”和尚答：“我是半真半假的。”他最后问右边的和尚：“你旁边是哪 一位？ ”答：“讲假话的。”根据他们的回答，智者马上分清了他们，你能 分清吗？一次学校举行田径运动会，A、B、C、D E五个班取得了团体前五名, 发奖后有人问他们的名次，

15、回答是：A班代表说：“ B是第三名，C是第五名。”B班代表说：“ D是第二名，E是第四名。”C班代表说：“ A是第一名，E是第四名。”D班代表说：“ C是第一名，B是第二名。”E班代表说：“ D是第二名，A是第三名。”最后，他们都补充说：“我的话是半真半假的。”请你判断一下，他们各个班的名次例1 200米赛跑，张强比李军快0.2秒，王明的成绩是39.4秒，赵刚的 成绩比王明慢0.9秒，但比张强快0.1秒，林林比张强慢3秒，请你给这五 人排出名次来。有一把长为9厘米的直尺，你能否在上面只标出 3条刻度线，使得用这 把直尺可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度？42. 一个三位数，如果它的每一位

16、数字都不超过另一个三位数对应数位上的 数字，那么就称它被后下个三位数“吃掉”。例如，241被352吃掉，123被123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但 240和223互相都不 能被吃掉。现请你设计6个三位数，它们当中任何一个都不能被其它5个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取 1, 2, 3, 4。问这6个三位数分别是 多少？盒子里放着红、黄、绿 3种颜色的铅笔，并且规格也有 3种：短的、中 的和长的。已知盒子的铅笔，3种颜色和3种规格都齐全。问是否一定能从 中选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同？国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线走，为了控制一个4X 4的棋盘至少要放几

17、个皇后?在如图10-1所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各是几？在100个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲。请你设计一种方案，使得只需打电话196次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992 枚,第三次翻动其中的1991枚，？，依此类推，第1993次翻动其中的一枚。能 否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所有的硬币原先朝下的一面都朝上？某学校的学生中，没有

18、一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书都至少被一个同学都读过问：能否找到两个学生甲、乙和三本书4、B、C,使得甲读过A、B,没读过C,乙读过B、C,没读过A? 说明判断过程.将15X 15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色.证明：至少 可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同.有9位数学家，每人至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有共通的语言.求证：在这些数学家中至少有 3人能用同一种语言交谈.今有长度是I， 2, 3，,199的金属杆各1根，能否用上所有的金属 杆，不弯曲任何一根，把它们焊接成；（1）一个正方体框架；（2）个长方体框架。桌上有一堆石子共100

19、1粒。第一步从中扔去一粒石子，并把余下的石子分成两堆。以后的每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去1粒，再把某一堆分成两堆。问：能否在若干步之后，桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？一些棋子被摆成了一个四层的空心方阵（下图是一个四层空心方阵的示 意图），后来小林又添入28个棋子，这些棋子恰好变成了一个五层的空心方阵（不能移动原来的棋子），那么最开始最少有个棋子将七位数“ 1357924 ”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924”，删去这个数中所有位于奇数位（丛左往右数）上的数字组成一个新数，再删去新数中所有位于奇数位上的数字，按上述方法一直删下去直到剩下一个数字为止，则

20、最后剩下的数字是 。桌子上放着5张卡片，小月在卡片的正面写上 1、2、3、4、5,然后冬 冬在背面分别写上1、2、3、4、5,写完后计算每张卡片上两数之和，再把5个和相乘，问：冬冬能否找到一种写法，使得最后的乘积是奇数？为什么？班主任老师外出采购前将255元班费分装在几个袋子里，只要买 255元以内的东西，他都可以从事先准备好的袋子里凑出所要付的钱，而不必再数钱数，你知道班主任分装在几个袋子里吗？每个袋子里放了多少元？要用天平称出1克、2克、3克40克这些不同的整数克重量，至少 要用多少个砝码？这些砝码的重量分别是多少？(1)将1, 2, 3，4，5，6，7，8，9这9个数字排列在圆周上，使得

21、任意 相邻两数的差(大减小)不小于3且不大于5.对于1至11这11个数字，对于I至12这12个数字，对于1至14这14个数字，满足上述要求的排列方法是否存在？在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上.如果在这7个点之间连结18条线段，那么这些线段最多能构成多少个三角形 ？将九个正方形其边长分别为1、4、7、8、9、10、14、15和18拼成一个正方形，那么在这个长方形的四个直角上的四个正方形面积总和是多少？答案与解析【分析与解】 可以，口（1989，989, 89）（1900, 900, 0）（950, 900，950）（50，0，50）（25，25，50） （O, 0，25）.（2

22、）因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一 半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变.现在共有1989+989+89=3067不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走.【分析与解】（1）我们知道4个队共进行了 C4场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为C4 X 2=12.因为每一队至少胜一场， 所以得分最低的队至少得 2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个 队得分最少2+3+4+5=14 12不满足.即n=4不可能。（2）我们知道5个队共进行C场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为 C X 2=20因为每一队至少胜

23、一场，所以得分最低的 队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以5个队得分最少为2+3+4+5+6=20满足.即n=5有可能.但是我们必须验证是否存在实例.如下所示，A得2分,C得3分，D得4分，B得5分，E得6分.其中“ A B表示A B比赛时,A胜B; “ B-C ”表示B、C比赛时，B平C,余下类推.3.【分析与解】要使量平均的填写，因为如M最小，就要尽果有的连续5个圆圈内的数特别小，有的特别大，那么M就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的.因为每个圆圈内的数都用了 5次，所以10次的和为5X (1+2+3+10)=275每次和都小于等于朋，所以IOM大于等于275,整数M大

24、于28.下面来验证M=28时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是55，所以肯定是一边五个的和是28，一边是27.因为数字都不一样，所以和 28肯定是相间排列，和27 也是相问排列，也就是说数组每隔4个差值为I，这样从1填起，容易排出适当的填图【分析与解】 要在表盘上共可作出12个不同的扇形，且112中的每 个数恰好被4个扇形覆盖将这12个扇形分为4组，使得每一组的3个扇 形恰好盖住整个表盘那么，根据抽屉原理，从中选择9个扇形，必有991 3个扇形属于同一组，那么这一组的 3个扇形可以覆盖整个表盘.4另一方面，作8个扇形相当于从全部的12个扇形中去掉4个，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这

25、个数就没有被剩下的 8个扇形盖住，那么这8个扇形不能盖住整个表盘.【分析与解】首先把这组数从小到大排列起来，那么最小的肯定为1，1后面只能是1的2倍即2, 2后面可以是3或4，3的后面可以是4, 5, 6;4的后面可以是5, 6, 8最大的为25.下面将所有的可能情况列出：l , 2, 3, 4,，25所有的和是35;I , 2, 3, 5,，25所有的和是36;1, 2, 3, 6,25所有的和是37;1, 2, 4, 5,，25所有的和是37;1, 2, 4, 6,，25所有的和是38;1, 2, 4, 8,，25所有的和是40.25是奇数，只能是一个偶数加上一个奇数在中间省略的数中不能只

26、有1个数，所以至少还要添加两个数，而且这两个数的和不能小于25,否则就无法得到25这个数要求求出最小值，先看这两个数的和是 25的情况，因为省略的两个数不同于前面的数，所以从20+5开始.25=20+5=19+6=18+7=17+8=16+9=15+10=14+1仁13+12这些数中20，19，18，17太大，无法产生，所以看：16+9=15+10=14+11=13+12看这些谁能出现和最小的I， 2, 3, 4,，25中，检验发现没有 可以满足的：再看 I ， 2，3, 5,，25,发现 1，2, 3，5，10，15, 25 满足,所以：1+2+3+5+10+15+25=36+25=61【分

27、析与解】先从简单的情况看起，看看棋子数量较少时，在什么情况下先取者胜，什么情况下后取者胜可以列表如下：棋子数量先取者胜后取者胜1枚V2枚V3枚V4枚V5 枚（3 1 1）V6 枚（4 1 1）V7枚V8枚V9 枚（18）V10枚V11 枚（3 8）V12 枚（4 8）V13 枚（3 10）V14 枚（4 10）V15 枚（7 8）V16枚V17 枚（1 16）V18枚V19 枚（3 16）V20 枚（4 16）V棋子数是18时比较容易看得出来是先取者胜还是后取者胜，可以看出只有棋子数是2枚和8枚时是后取者胜，其他情况下都是先取者胜.当棋子数大于8时，可以先取若干枚棋子，使得剩下的棋子数变成前面

28、已有 的棋子数先取者为了取胜，第一次取后，应该使剩下的棋子数是后取者胜 的情况，比如变成剩下2枚或8枚这样推下去，可以发现只有当棋子数是 8的倍数或者除以8余2时，是后取者胜，其他情况下是先取者胜.题目中有2004枚棋子，除以8余4,所以先取者肯定可以取胜不过 取胜的策略比较灵活，不能明确地说每次后取者取多少枚先取者就相应地取 多少枚，应该从除以8的余数来考虑：先取者第一次可以先取 4枚，这样还剩下2000枚，2000除以8 的余数是0;先取者为了保证获胜，在每一次后取者取了之后，先取者再取的时候，应该使得自己取后剩下的棋子数是8的倍数或者除以8余2;后取者每次可以取 1, 3，4, 7枚，每

29、次先取者取后剩下的棋子 数除以8的余数是0或2,所以每次后取者取后剩下的棋子数除以 8 的余数是 7，5，4，1 或 1，7，6，3.所以接下来先取者可以对应地取 7, 3, 4，1或1，7，4，3枚棋子， 这样剩下的剩下的棋子数除以 8的余数为0, 2, 0, 0或0, 0, 2, 0.这样就保证了第点.每次先取者取后剩下的棋子数除以 8的余数是0或2,那么最后 一枚棋子肯定是先取者取得，所以先取者获胜.【分析与解】 先每列的和最少为0,最多是10,每行的和最少是0,最 多是19,所以不同的和最多也就是0, 1, 2, 3, 4,，18, 19这20个.下面我们说明如果0出现，那么必然有另外

30、一个数字不能出现.如果0出现在行的和中，说明有1行全是0,意味着列的和中至多 出现0到9,加上行的和至多出现10个数字，所以少了一种可能.如果0出现在列的和中，说明在行的和中 19不可能出现，所以0 出现就意味着另一个数字不能出现，所以至多是19，下面给出一种排出方法 TOC o 1-5 h z 1111111I111I111LJ10 iJ1JI11I11I1JI10 0111tt1111J11|11OOOOOlJlJllLLilll!OOOOOQQO i 11 I J t|OOOOOGOOOlli !【分析与解】因为8X8的国际象棋盘上的每行、每列都正好有偶数格，若某行（某列）有空格，必空偶

31、数格而斜线上的格子数有奇也有偶，不妨从 左上角的斜线看起：第一条斜线只有 1格，必空；第三条有3格，必至少空 1格；第五、七条分别有5、7格，每条线上至少空1格由对称性易知共 有16条斜线上有奇数格，且这 16条斜线没有共用的格子，故至少必空出 16格其实，空出两条主对角线上的16个格子就合题意此时，最多可放置48枚棋子，放在除这两条主对角线外的其余格子中，如下图所示.XXXXXXXXXXXXXXXX【分析与解】至少要除去6个点，如下所示为几种方法:【分析与解】仔细分析，要证 123 90，由于3 45，所以，只需证明 12 45就可以了！于是想到能否把2 (1 )移动位置，与 1 ( 2 )

32、拼合在一起，恰成一个45)的角呢？于是想到：如图1所示，再拼上一个单位正方形 DFK则三角形AKC为 等腰直角三角形，KCA 45：，又直角三角形KCF与AHD全等，所以KCF2.因此,121 KCF KCA 45 .(S 1)(Q 2)有了拼合 2与1的思想，学生往往产生不同的拼合方式，沿着拼合全等的思路发散开来，又可以找到许多拼法.如图2三角形AHP是等腰直角三角形，HAP 45，HAG 2, BAP 1.所以12 BAP HAG HAP 45；.2,QCP(图3)如图3三角形AQC是等腰直角三角形，ACQ 45， QCP如图4三角形WD是等腰直角三角形WDB 45, CDB 1,，WDH

33、 2.所以 12 CDB WDHWDB 45 .如图5三角形ZAH是等腰直角三角形,ZHA 45, ZHY 1,因此12 ZHY 2 ZHA 45 .其他的沿着“拼合全等”的思路的证法就不例举了如果利用相似三角形的知识，如图 5所示，又FH 1,FA 2, FC 2,所以，FH 12 FAFA 22 FCAFC，因此 HFA s AFC ,2 FHA FAC,但 1 CAB，12 CAB FACEAB 45：.用相似三角形法不用添设辅助线，简洁明了 再开思路，可用三角法证明如下：2与1都是小于45）的锐角，可知1 +2是锐角.又tan 1DA 1DC 3，DA1tan 2.HD2115tan

34、12tan 1ta n23 261，所以1tan 1tan21 1丄 13 261245：.【分析与解】首先从读书数最多的学生中找一人甲由题设，甲至少有一本书未读过，记为 C.设B是甲读过的书中一本，由题意知，可找到学 生乙，乙读过 B、C由于甲是读书数最多的学生之一，乙读书数不能超过 甲的读书数，而乙读过 C书，甲未读过C书，所以一定可以找出一本书 A, 使得甲读过而乙未读过，否则乙就比甲至少多读过一本书.这样一来，甲读过A、B,未读过C;乙读过B C未读过A.因此可以找到满足要求的两个学 生.【分析与解】将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两点之间连一条线.由于每人送出2件礼

35、物，图中共有4X2=8条线，由于每人礼品都分赠 给2个人，所以每两点之间至多有1+1=2条线。四点间，每两点连一条线， 一共6条线，现在有8条线，说明必有两点之间连了 2条线，还有另外两点 （有一点可以与前面的点相同）之间也连了 2条线.即为所证结论。【分析与解】不妨设甲、乙比赛时，115号是男女对垒，乙、丙比赛时在115号中有a台男女对垒，15号之后有9-a台男女对垒(0 a9)甲、丙比赛时，前15号，男女对垒的台数是15-a(如果1号乙与1 号丙是男女对垒，那么1号甲与1号丙就不是男女对垒)，15号之 后，有9-a台男女对垒.所以甲、丙比赛时，男女对垒的台数为15-a+9-a=24-2a

36、24.仅在a=0,即必须乙、丙比赛时男、女对垒的号码，与甲、乙比赛 时男、女对垒的号码完全不同，甲、丙比赛时，男、女对垒的台数 才等于24.【分析与解】10个边长为整数的长方形，其面积显然也均是正整数.划分出的长方形按面积从小到大为：1 X 1，1 X 2，I X 3，1 X 4，2X 2，1 X 5，1 X 6，2X 3，1X 7，1X 8，2X 4，1 X 9，3 X 3. 2X 5，2X 6，3X 4，2 X 7，3 X 5，2 X 8，4X 4，2 X 9，3X6,从这些长方形中选出10个不同的长方形，其面积和最小为：1 X 1+1X 2+1X 3+1X 4+2X 2+1X 5+1X

37、6+2X 3+1X 7+1X 8=46.而原长方形的面积为 5X 9=4546.所以分出的长方形必定有某两个是完全 一样的.【分析与解】平面上这7个点，任意3点都不在同一条直线上，若任意2点连接，共可连接出C；C； =7X 6- 2=21 条线段现在只连接18条线段，有3条没有连出，要使得这18条线段所构成的三角 形最多，需使得没连出的这3条线段共同参与的三角形总数最多，故这3条线断共点对于这3条线段中的任何一条，还与其他 5个点本应构成5个三 角形，故这3条线段没连出，至少少构成5X 3-3=12个三角形.如上图所示，在图中 AD AE、AF之间未连接，因为其中 ADE AED,ADF AF

38、D AEF AFE被重复计算，所以减去3 而平面内任何三点不共线的7个点，若任何2点连线，最多可构成C7 =35个三角形故现在最多可构成三角形35-12=23个.【分析与解】 方法一：考虑到甲虫总是斜着爬，我们把棋盘黑白相间 染色，发现原来黑色格子里的甲虫都会爬到黑色的格子里面，而白色格子里 面的甲虫都会爬到白色格子里面，所以我们只用观察最少能空出多少个黑格 子，多少个白格子.因为甲虫每次都从奇数行爬到偶数行，偶数行爬到奇数行，而由奇数 行有25个黑格子，偶数行有16个黑格子知，偶数行的16只甲虫爬到奇数 行会空出9个黑格子，而奇数行的 25只虫子爬到偶数行就可以没有空 格.白格子虫子也会从奇

39、数行爬到偶数行，偶数行爬到奇数行，但是奇数行 和偶数行都是20个格子，最少的情况下不会出现空格子，所以最少出现9个空格.方法二：对2X2棋盘如下黑白染色，则易知两黑格及两白格分别对换甲 虫即可使棋盘格不空；从而得到 2nX2n棋盘可划分为若干块 2 X 2棋盘，棋盘格均不空.对3X3棋盘如下黑白染色，注意到图中有 5个黑格，黑格中的甲虫爬行后必进入黑格，且四个角上的黑格内的甲虫必爬人中心黑格，而中心黑格内的甲虫只能爬人某一格，必至少空3个黑格.对5X 5棋盘黑白染色后，利用、的结论易知至少空 5个黑 格.依次类推，可知对9X 9棋盘黑白染色后，至少空 9个空格.下 图是甲虫爬行的一种方法.【分

40、析与解】 将机器当成点，连接电缆当成线，我们就得到一个图， 如果从图上一个点出发，可以沿着线跑到图上任一个其它的点，这样的图就 称为连通的图，条件表明图是连通图.我们看一看几个点的连通图至少有多少条线可以假定图没有圈（如果有圈，就在圈上去掉一条线），从一点出发，不能再继续前进，将这一点与连结这点的线去掉考虑剩下的n-1个点的图，它仍然是连通的用同样的办法又可去掉一点及一条线这样继续下去，最后只剩下一个点因此 n个点的连通图至少有n-1条线（如果有 圈，线的条数就会增加），并且从一点A向其他n-1个点各连一条 线，这样的图恰好有n-1条线.因此，（1）的答案是n=79+1=80并且将一台计算机与

41、其他79台各用一条线相连，就得到符合要求的联网. 下面看看最多连多少条线.在这80个点（80台计算机）中，设从A引出的线最多，有k条，与A相连的点是B1, B2，Bk由于条件，B.B2，Bk之间没有 线相连.设与A不相连的点是 A， A3，Am，则m+k=8Q而A2， A3,An每一点至多引出k条线，图中至多有mk条线， 因为2 2B40 4 m k （m k） （m k） 6400所以mK k40.6 40.4 40.3 39.4即 E B A D C谁是第一、谁是第二、第三、第四、第五名，不就一目了然了吗？本题还可以单纯用快慢关系来进行判断。/ A v B, D C, D v A, E A

42、,可得 B、E 均A D C,一、二、三名分别应是 C、D Ao但第四、五名仍需计算。由 E=A 3 秒，B=A 0.2 秒，可知E B,故B是第四，E是第五名。【分析与解】 答：可以。（1）标3条刻度线，刻上A, B, C厘米（都是大于1小于9的整数），那 么，A, B, C, 9这4个数中，大减小两两之差，至多有 6个：9-A, 9-B, 9-C, C-A, C-B, B-A,加上这4个数本身，至多有10个不同的数，有可能 得到1到9这9个不同的数。例如刻在1, 2, 6厘米处，由1, 2, 6, 9这4个数，以及任意2个的 差，能够得到从1到9之间的所有整数：1, 2, 9-6=3 ,

43、6-2=4 , 6-1=5 , 6, 9-2=7, 9-1=8, 9。 除1, 2, 6之外，还可以标出1, 4, 7这3个刻度线：1, 9-7=2 , 4- 仁3, 4, 9-4=5, 7-1=6 , 7 , 9-1=8 , 9。另外，与 1 , 2 , 6 对称的，标出 3 , 7 , 8;与1 , 4 , 7对称的,标出2 , 5 , 8也是可以.【分析与解】 答：6个三位数都不能互吃,那么其中任意两个数,都 不能同时有2个数位相同。由于百位只取1 , 2,十位只取1, 2 , 3,所以,只能让3个数百位是1,另 外3个数百位数是2。百位是1的3个数,分别配上十位1, 2 , 3;百位是

44、 2的3个数同样。这样先保证前两位没有完全一样的。即：11* , 12* , 13* ,21* ,22*, 23*。11*最小，个位应取取最大的，4 ,它要求另外5个数个位均小于4。11412*较小，个位应取3,它要求前两位能吃1*的数，个位小于3。12313*个位取2,就不能吃前两数，同时它要求前两位能吃13*的数个位小于2 132 21*较小,个位应取 3,才能不被23*和22*吃。21322*个位取2即可。22223*各位必须取1。231所以这 6 个数是 114 , 123 , 132 , 213 , 222 , 231。【分析与解】答：如果能选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各

45、不相同，则这3支笔必须包含红、黄、绿，短、中、长这 6个因子，即 不能有重复因子出现。但是这种情况并不能保证出现。例如，盒子中有 4种笔：红短，黄短，绿中， 绿长，3种颜色和3种规格都齐全，由于红和黄只出现 1次，必须选，但是 这时短已经出现2次，必然无法满足3支笔6个因子的要求。所以，不一定能选出。【分析与解】答：2X2棋盘，1个皇后放在任意一格均可控制 2X2=4格；3X 3棋盘，1个皇后放在中心格里即可控制 3X 3=9格；4X 4棋盘，中 心在交点上，1个皇后不能控制两条对角线，还需要 1个皇后放在拐角处控 制边上的格。所以至少要放2个皇后。如图所示。【分析与解】答：设第二行从左到右填

46、入 A, B, C, D, E,贝UA+B+C+D+E=5若E大于0,如E=1,则B=1, A+C+D=3小于4,矛盾，可得：E=0, A大于 0小于4;若D大于0,如D=1,则B大于0,因A大于0,则A和C无法填写，所以D=0, A必等于2;A=2,可知B+C=3只有当B=1, C=2时，ABCDE=21200符合要求。所以第二行的5个数字是2, 1, 2, 0, 0。【分析与解】答：给100个人分别编号1-100,他们知道的消息也编上相同的号码。（1）2-50号每人给1号打1次电话，共49次，1, 50号得到1-50号消息。同时，52-100号每人给51号打1次电话，共49次，51，100

47、号得到51-100号消息。（2）1号和51号通1次电话，50号和100号通1次电话，这时1，50，51,100号这4个人都知道了 1-100号消息。（3）2-49号，52-99号，每人与1号（或者50，51，100号中的任意1人）通1次话，这96人也全知道了 1-100号消息。这个方案打电话次数一共是（49+49）+2+96=196 （次）。【分析与解】 答：可以。按要求一共翻动1+2+3+?+1993=1993 997平均每个硬币翻997次，是奇数。而每个硬币翻奇数次，结果都是把原来朝 下的一面翻上来。因为：1993 X 997=1993+ （1992+1） + （1991+2） +?+ （

48、997+996）所以，可以这样翻动：第1次翻1993个，每个全翻1次；第2次与第1993次（最后1次）一共翻1993次，等于又把每个翻了一遍；第3次与第1992次（倒数第2次），第4次与第1991次，？，第997次与第998次也一样，都可以把每个硬币全翻 1次。这样每个都翻动了 997次，都把原先朝下的一面翻成朝上。【分析与解】首先从读书数最多的学生中找一人甲由题设，甲至少有一本书未读过，记为C.设B是甲读过的书中一本，由题意知，可找到学生乙，乙读过B、C.由于甲是读书数最多的学生之一，乙读书数不能超过甲的读书数，而乙读过C书，甲未读过C书，所以一定可以找出一本书 A,使得甲读过而乙未读过，

49、否则乙就比甲至少多读过一本书.这样一来，甲读过 A、B,未读过C;乙读 过B、C未读过A.因此可以找到满足要求的两个学生.【分析与解】如果找不到两行的某种颜色数一样，那么就是说所有颜色的列与列之问的数目不同.那么红色最少也会占：0+1+2+?+14=105个格子.同样蓝色和绿色也是，这样就必须有至少：3X (0+|+2+?+14)=315 个格子.但是，现在只有15X 15=225个格子，所以和条件违背，假设不成立，结论 得证.【分析与解】假设任意三位数学家都没有共同会的语言，这表明每种语言至多有两人会说.即这九位数学家为 A、B、C、D E、F、G I .由于一 位数学家最多会三种语言，而每

50、种语言至多有两人会说，所以一位数学家至 多能和另外三人通话，即至少与五人语言不通.不妨设A不能与B C DE、F通话. 同理，B也至多能和三人通话，因此在 C、D E、F中至少有一 人与B语言不通，设为C.则A、B、C三人中任意两人都没有共同语言，与题意矛盾.这表明假设不成立，结论得证.【分析与解】（1）不可能焊接成正方体框架。因为正方体的12条棱长度相同，所以199根金属杆的长度和应 该是12的倍数。但是实际上 I + 2+ 3+ 199=（ 1 + 199）X 199- 2= 19900。19900 不 是12的倍数。 可以焊接成长方体框架。因为长方体有 4个长、4个宽、4个高, 所有棱长

51、的和可以表示为（长+宽+高）X 4, 199根金属杆的长度和是 4 的倍数即可。19900显然是4的倍数。【分析与解】具体构造如下：第一步，先把他们焊接成长为199的金属杆100根。199 = 1 + 198= 2+ 197= 3+ 196=99+ 100第二步，焊接的长方体框架，长是 4根199X 12的金属杆，宽是4 根199X 12金属杆，高是4根199的金属杆。【分析与解】每次操作都是扔1粒石子，并把某一堆分成2堆。假设最后桌子上剩n堆石子，每堆3枚，桌上还有3n石子。在此 之前进行了（ n 1）操作，扔了（ n1）枚石子。扔掉的和桌子上现有的应 该等于最初的1001粒石子。3n +（

52、n1）= 10014n 1= 10014n=1002n= 250.5n不是整数，说明最初的假设错误，所以无论经过多少步操作，桌上的每一堆中石子不可能都恰好是 3粒。【分析与解】先明确方阵问题的特征：1相邻两圈外圈每边比内圈每 边多2枚棋子。2、相邻两圈外圈比内圈多8枚棋子。将四层空心方阵变成五层空心方阵有 3种方法：一种是在最外层增加一圈（两行两列）；第二种是在最内层增加一圈（两行两列）；第三种是在最内层增加一行一列，在最外层的另外两个方向也增加一行一列。1、空心方阵的最里层至少需要 8枚棋子，若是五层的空心方阵从里到 外各层棋子数依次为 & 16、24、32、40，最外层至少需要40枚棋子，小 林只添28枚棋子，显然第一种情况不符合题意。2、如果是第二种情况，小林把28枚棋子放到了最里圈，则从里到外各 层的棋子数依次是 28、36、44、52、60,原四层空心方阵应该有棋子 60+ 52 + 44+ 36= 192 枚。3、如果是第三种情况。设原四层空心方阵最里圈每边有x枚棋子。小林在里圈1行1列放了（x 2）X 21= 2 x 5 （枚）棋子小林在外圈1行1列放了 （x + 6）X 2+ 1 = 2 x + 13 （枚）棋子（2x 5） + （ 2x + 13）