不等式与线性规划(二)

1、第6练 处理好“线性规划问题”的规划题型一不等式组所确定的区域问题x-20,的面积S的大小是（）A. 1 B. 2C. 3D. 4题型二求解目标函数在可行域中的最值问题x+y1, yfo,题型三利用线性规划求解实际应用题 例3某旅行社租用 A, B两种型号的客车安排 900人旅行，A, B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为（）A. 31200 元 B. 36000 元 C. 36800 元 D. 38400 元题型四简单线性规划与其他知识的综合性问题y w 3x 2,则ig（y

2、+1） igx的取值范围为（）例4设变量x, y满足约束条件* x 2y+1W0,2x+y 8,0,12lg 21, 2 C. 2, lg2实数满足匕则不等式组所围成图形的面积为D. lg 2,1 2lg 2)421C.2D. 12.已知O是坐标原点，点2,A(-1, 1),若点M(x, y)为平面区域ix1, ly1 ,在约束条件SyWmx, x+ y 1下，目标函数z= x+ my的最大值小于2,则m的取值范围为()A. (1,1 +的 B. (1 +V2, + )C. (1,3) D. (3, +8)5 .若P是满足不等式组$x+ y- 20表布的平面区域内的任意一点,点P到直线3x+4

3、y-12 = 0的距离为d,则d的取值范围是（）121, y12631, y)C. (1 , -)D. (4, 16.设关于x, y的不等式组0, Sx+ m02C (00, - -)5D. ( 0, 3)2yo=2,则m的取值范围是（）A.（一巴3） B. （-00, 3）x-y+ 2 0,7.设变量x,y满足约束条件4x 5y+ 100, ,8,已知不等式组x+y+20,表示的平面区域为 Q,其中k0,则当的面积取得最kx y 0小值时，k的值为. 4件A商品与5件B商品的价格之和不小于 20元，而6件A商品与3件B商品的价格之 和不大于24,则买3件A商品与9件B商品至少需要 元.r2x

4、-y+20,I 8x y 4 w 0一.设x, y满足约束条件右目标函数z= abx + y(a0, b0)的最大值为8,x0,则a + b的最小值为.x+ 4yA 4,.给定区域 D:彳x+ y 0.上取得最大值或最小值的点,则T中的点共确定 条不同的直线.x+yt,.已知t是正实数，如果不等式组 ix-y 0t的最小值为.第6练 处理好“线性规划问题”的规划题型一不等式组所确定的区域问题x-20,的面积S的大小是()A. 1B. 2C. 3D. 4破题切入点先画出点 M(x, y)的坐标满足的可行域，再研究图形的形状特征，以便求出其面积.答案 Ax-22解析 作出不等式组iy-10如图所示

5、，则此平面区域为 ABC及其内部，且点 A(2,0), B(0,1), C(2,1), 1，一于是，S= 11X2X1=1.故选 A.题型二 求解目标函数在可行域中的最值问题x+y1, 则2= 2x+ y的最大值与最小值的和为 .70,破题切入点先根据已知约束条件画出可行域，再利用目标函数z=2x+y的几何意义，即可求得最大值与最小值.答案 6解析画出可行域，如图所示，由图象，可得当y= 2X+Z经过点B(2,0)时，Zmax=4；当 y=-2x+ z经过点 A(1,0)时,zmin = 2.故填 6.题型三利用线性规划求解实际应用题例3某旅行社租用 A, B两种型号的客车安排 900人旅行，

6、A, B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A. 31200 元 B. 36000 元C. 36800 元 D. 38400 元破题切入点设租用A, B两种型号的客车分别为 x辆，y辆，总租金为z元，可得目标函数z= 1600 x+ 2400y.结合题意，建立关于x, y的不等式组，计算 A, B型号客车的人均租金，可得租用B型车的成本比A型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低.答案 C解析 设租用A, B两种型号的客车分别为x辆，y辆，所用的

7、总租金为 z元，则z= 1600 x+2400y,36x+ 60y 900,其中x, y满足不等式组y yx 7,(x, yCN)y+xw 21.画出可行域，可知在 x=5, y= 12时，可载客 36X 5 + 60X 12 = 900(人)，符合要求且此时的总租金z= 1600X 5+2400X 12=36800,达到最小值.故选 C.题型四简单线性规划与其他知识的综合性问题y 3x- 2,例4设变量x, y满足约束条件x 2y+1W0, 则lg(y+1)lgx的取值范围为()、2x+yw 8,5A. 0,1 2lg 2 B. 1 , 2C. & lg2 D. lg 2,1 -2lg 2破

8、题切入点 先画出不等式组所确定的可行域，将目标函数化为y + 1lg,利用数形结合的方 x法解y +1t=-的最值，然后确定目标函数的最值，从而求其范断答案解析y 3x- 2,如图所示，作出不等式组 彳x2y+1W0,确定的可行域.、2x+ y 8因为lg(y+ 1)lgx，设 t=y1, xx显然，t的几何意义是可行域内的点P(x, y)与定点E(0, 1)连线的斜率.由图，可知点P在点B处时，t取得最小值;点P在点C处时,t取得最大值.由=x- 2y+ 12x+y= 8x= 3,解得 即B(3,2);ly=2,y=3x 2由2x+ y= 8解得x= 2y=4,即 C(2,4).故t的最小值

9、为2f1) kBE=一一乜 1,34 ( 11 5t的最大值为kcE=2=2,所以.1, 2.又函数y=lgx为(0,)上的增函数,所以 lgtC0, lg|,5即lg(y+1)lgx的取值氾围为0, lg2.一 5而 lg|=lg5-lg2 = 1-2lg2,所以lg(y+1)lgx的取值范围为0,12lg 2.故选A.总结提高(1)准确作出不等式组所确定的平面区域是解决线性规划问题的基础.(2)求解线性目标函数的最大值或最小值时,般思路是先作出目标函数对应的过原点的直线y=kx,再平移此直线.求解线性规划应用题的一般步骤：设出未知数；列出线性约束条件；建立目标函数；求出最优解；转化为实际问

10、题.y 刁x 1|,1 .实数x, y满足 1则不等式组所围成图形的面积为（）产1,1A. 4B. 2C./D. 1答案 D解析实数x, y满足它表示的可行域如图所示.不等式组所围成的图形是三角形，其三个顶点的坐标分别为（1,0）, （0,1）, （2,1）,1所以所围成图形的面积为 1X 2 X 1 = 1.故选D.2,2.已知。是坐标原点，点 A（-1, 1）,若点M（x, y）为平面区域，xW1,上的一个动点，1yW2则OAoM的取值范围是（）A. 1,0B. 0,1C. 0,2 D, -1,2答案 C解析 作出可行域，如图所示，由题意 OAoM = x+ y.设 Z= -x+y,作 l

11、o： x- y=0,易知，过点（1,1）时 Z 有最小值，Zmin= 1+1 = 0;过点（0,2）时Z有最大值，Zmax=0+2=2,OA oM的取值范围是0,2.，wx,（2014广东）若变量x, y满足约束条件，；x+yW1, 且z= 2x+ y的最大值和最小值分别为 户1,m和n,则m n等于（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案 B解析 画出可行域，如图阴影部分所示.由 z=2x+ y,得 y= 2x+ 乙A(-1, 1).X+y=1, y=T，B(2, 1).当直线y=2x+z经过点A时，zmin= 2 x ( 1)1 = 3= n.当直线y=2x+z经过点B时, zmax =

12、2X21 = 3 = m,故 m n=6.4.设m1,在约束条件fywmx, 下，目标函数z= x+ my的最大值小于2,则m的取值范 x+ y1,所以一1一50,不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.根据目标函数的几何意义，只有直线y=-Ax+-在y轴上的截距最大时，m my= mx.目标函数取得最大值.显然在点A处取得最大值，由得交点Ak+y=1,所以目标函数的最大值是 r+-m-2,即m2-2m-10, 1 m 1+m解得1 J2m1 + V2,故m的取值范围是(1,1+&).yx,5.若P是满足不等式组 版+ y-20-12 = 0的距离为d,则d的取值范围是()A. 1, 3 B

13、. 1, 152) C. (1, 3 D. (4, 1答案 B解析作出可行域为 AOB(但不包括OB上的点)及直线3x+ 4y-12 = 0,如图所示.结合图形，可知点 A(1,1)到直线3x+4y12=0的距离最小，最小值dmL|3 =1；5原点O(0,0)到直线3x+ 4y12=0的距离最大,最大值dmax|0X3+0X412| 125-5.又y0,所以12 dC1,石).表示的平面区域内存在点P（X0, yo）,满足xo-2x-y+ 10,6.设关于x, y的不等式组Sx+ m02yo=2,则m的取值范围是()A. (-8, 3) B. ( 8, 3)25C (8, 3) D . ( 8

14、, 3)答案 C解析 问题等价于直线 x-2y=2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点 （m,m）不可能在第一和第三象限，而直线x 2y= 2经过第一、三、四象限，则点 （m, m）只能在第四象限，可得 m0 ,即 m0,-112121k 12 k+11-所以 s3ad + sOBC = 2|OA| |xD|+2|0Bnyc|=k + 2k = k1 +2+2-2= kTl+222W 当且仅当5r岩时取等号，即k=1或k=-3(舍去) 所以满足条件的k的值为1. 4件A商品与5件B商品的价格之和不小于 20元，而6件A商品与3件B商品的价格之和不大于24,则买3件A商品与9件B商品至少

15、需要 元.答案 22设1件A商品的价格为x元，1件B商品的价格为商品与9件B商品需要z元，则z=3x+9y,其中解析r4x+ 5yA 20,6x+ 3y0,ly0,其中 A(0,4), B(0,8),吟 3). TOC o 1-5 h z 当y= 1x+ 1z经过点c时，目标函数z取得最小值. 39所以 Zmin = 3X 当+9X，22. 33因此当1件A商品的价格为130元，1件B商品的价格为4元时，可使买3件A商品与9件B商品的费用最少，最少费用为22元.|-2x-y+20,8xy4W 0一.设x, y满足约束条件右目标函数z= abx + y(a0, b0)的最大值为8,x0,ly0,

16、则a + b的最小值为.答案 4解析 由z= abx+y,得丫=abx+z,所以直线白斜率为一ab2ab = 4,当且仅当 a= b = 2时取等号，所以a+ b的最小值为4.+x+ 4y 4,I人一小11.给定区域 D: fx+ y z=x+y 在 D x 0.上取得最大值或最小值的点,则T中的点共确定 条不同的直线.答案 6解析 线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1),最大值时点为(0,4), (1,3), (2,2),(3,1), (4,0),故共可确定 6条.x+yt,12,已知t是正实数，如果不等式组 ix-y 0t的最小值为答案 2+2艰解析画出不等式组表示的平面区域，当 t是正实数时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形.依题意，它有