人教数学 平行四边形的专项 培优练习题及详细答案

1、一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.在四边形ABCD中，ZB+ZD=180。，对角线AC平分ZBAD.（1）如图1,若ZDAB=120。，且ZB=90。，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.（2）如图2,若将（1）中的条件“ZB=90去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图3,若ZDAB=90，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.S1图2【答案】（1）AC=AD+AB.证明见解析；（2）成立；（3）AD+AB八込AC理由见解析.【解析】11试题分析：（1）结论：AC=AD+AB,只要证明AD=AC,AB=-AC即可解决问题；（2）（1）

2、中的结论成立.以C为顶点，AC为一边作/ACE=60,ZACE的另一边交AB延长线于点E,只要证明厶DAC竺BEC即可解决问题；（3）结论：AD+AB=AC.过点C作CE丄AC交AB的延长线于点E,只要证明厶ACE是等腰直角三角形，DAEBEC即可解决问题；试题解析：解：（1）AC=AD+AB.理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，ZD+ZB=180，ZB=90，ZD=90,TZDAB=120,AC平分ZDAB,.ZDAC=ZBAC=60，TZB=90,AB11-AC,同理AD=-AC.AC=AD+AB(2)(1)中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作/ACE=60,ZACE的另一

3、边父AB延长线于点E，TZBAC=60,.AEC为等边三角形，.AC=AE=CE，TZD+ZABC=180，ZDAB=120，.ZDCB=60，.ZDCA=ZBCE，TZD+ZABC=180，ZABC+ZEBC=180.ZD=ZCBE，TCA=CE，.DAC竺BEC，.AD=BE，.AC=AD+AB(3)结论：AD+AB=込AC.理由如下:过点C作CE丄AC父AB的延长线于点E，TZD+ZB=180，ZDAB=90,.DCB=90，TZACE=90，.ZDCA=ZBCE，又TAC平分ZDAB,.ZCAB=45，.ZE=45.AC=CE.又TZD+ZABC=180，ZD=ZCBE，CDA竺CBE

4、,AD=BE,.AD+AB=AE在RtAACE中，ZCAB=45,.AE=f2Ccos45.AD+ABf2AC.2.在图1中，正方形ABCD的边长为a,等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b，且边AD和AE在同一直线上操作示例当2bVa时，如图1,在BA上选取点G,使BG=b,连结FG和CG,裁掉FAG和厶CGB并分别拼接到FEH和厶CHD的位置构成四边形FGCH.思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将FAG绕点F逆时针旋转90。到厶FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上.连结CH,由剪拼方法可得DH=BG,故厶CHDCGB,从而又可将CGB绕点C顺时针旋转90到厶CHD的位置.这样，对

5、于剪拼得到的四边形FGCH（如图1）,过点F作FM丄AE于点M（图略），利用SAS公理可判断HFMCHD，易得FH=HC=GC=FG,ZFHC=90.进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形.实践探究（1）正方形FGCH的面积是；（用含a,b的式子表示）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图.联想拓展小明通过探究后发现：当ba时（如图5）,能否剪拼成一个正方形？若能,请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能,简要说明理由.【答案】（1）a2+b2；（2）见解析；联想拓展：能剪拼成正方形.见解析.【解析】分析：实践探究：根据正

6、方形FGCH的面积=BG2+BC2进而得出答案；应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半.注意当b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割.详解：实践探究：正方形的面积是：BG2+BC2=a2+b2；FFADECCB图4B图2剪拼方法如图2-图4；联想拓展：能，剪拼方法如图5（图中BG=DH=b）.z/毛-点睛：本题考查了几何变换综合，培养学生的推理论证能力和动手操作能力；运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋转的三角形，连接的点都应是相同的3.操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC

7、上，将ABP沿AP向右翻折，得到AEP,DE所在直线与AP所在直线交于点F.探究：（1）如图1,当点P在线段BC上时，若/BAP=30，求/AFE的度数；若点E恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时/AFD的度数归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B,C重合），ZAFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2,若点P在BC边的延长线上时，ZAFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论ARpycmi【答案】（1）45；BC的中点，45。；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析.【解析】试题分

8、析：（1）当点P在线段BC上时，由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出ZDAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1,连接BE交AF于点O,作EGIIAD,得EGIIBC，得到AF垂直平分BE,进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1,得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B,C重合），ZAFD的度数不会发生变化，作AG丄DF于点G,如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出Z1+Z2的度数，即为ZFAG度数，即可求出ZF

9、度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，ZAFD的度数不会发生变化，理由为：作AG丄DE于G,得ZDAG=ZEAG，设ZDAG=ZEAG=a,根据ZFAE为ZBAE一半求出所求角度数即可.试题解析：（1）当点P在线段BC上时，ZEAP=ZBAP=30,AZDAE=90-30 x2=30,在厶ADE中，AD=AE,ZDAE=30,AZADE=ZAED=（180-30）=2=75,在AFD中，ZFAD=30+30=60,ZADF=75,AZAFE=180-60-75=45；点E为DFDE=EF,AEG=：AD=1,VAB=AE,A点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P

10、在线段BE的垂直平分线上，AAF垂直平分线段BE,AOB=OE,VGEIBP,AZOBP=ZOEG,ZOPB=ZOGE,ABOP竺EOG,ABP=EG=1，即P为BC的中点，AZDAF=90-ZBAF，ZADF=45+ZBAF，AZAFD=180-ZDAF-ZADF=45；(2)ZAFD的度数不会Z1=ZBAP,AZ1+Z2=-x90=45，即上FAG=45,则上AFD=90-45=45；(3)如图2ZBAE=90+2a,AZFAE=】ZBAE=45+a,AZFAG=ZFAE-ZEAG=45，在RtAAFG中,ZAFE=90-45=45考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定

11、与性质.4.如图，在等腰RtABC中，ABAC=90，点E在AC上（且不与点A、C重合）,在ABC的外部作等腰RtACED，使ZCED-90，连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.。（1）请直接写出线段AF,AE的数量关系；（2）将CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE,请判断线段AF,AE的数量关系，并证明你的结论；若AB方25,CE=2，在图的基础上将CED绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度.A.【答案】（1）证明见解析；（2）AF=2aE4迈或2迈.【解析】【分析】（1）如图中，结论：AF

12、=j2AE，只要证明AEF是等腰直角三角形即可；（2）如图中，结论：AF=p2AE，连接EF，DF交BC于K先证明EKFQEDA再证明AEF是等腰直角三角形即可；分两种情形a、如图中，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形.b、如图中当AD=AC时，四边形ABFD是菱形-分别求解即可.【详解】（J如图中，结论：AF=2aE.理由：；四边形ABFD是平行四边形，AB二DF，AB=AC，AC=DF，DE=EC，ae=ef，Zdec=ZAEF=90，aef是等腰直角三角形，:AF=、2AE.故答案为AF=J2AE.A（2）如图中，结论：AF=p2ae.-四边形ABFD是平行四边形，AB/DF,/.ZD

13、KE=ZABC=45,/.ZEKF=180-ZDKE=135,EK二ED,ZADE=180-ZEDC=180-45=135,./ZEKF=ZADE,。.ZDKC=ZC,./DK=DC,.DF=AB=AC,/KF=AD，在EKF和EDA中，EK=EDZEKF=ZADE,KF=ADAJEKFQEDA,/EF=EA，ZKEF=ZAED，/.ZFEA=ZBED=90,/AAEF是等腰直角三角形，/.AF=、2AE.如图中，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H,易知EH=DH=CH=迈,AH=J(2j5)2-(j2)2=3迈,AE=AH+EH=4迈,如图中当AD=AC时，四边形ABFD

14、是菱形，易知AE二AH-EH二3J2-迈二2、2,综上所述，满足条件的AE的长为42或2辽.【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型5.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且ZABC+ZADC=180.（1）求证：四边形ABCD是矩形(2)若ZADF：ZFDC=3：2，DF丄AC,求ZBDF的度数.答案】（1）见解析；（2）18.【解析】【分析】根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边

15、形，求出ZABC=90。，根据矩形的判定得出即可；求出/FDC的度数，根据三角形内角和定理求出/DCO,根据矩形的性质得出OD=OC,求出/CD0,即可求出答案.【详解】(1)证明：TA0=C0,B0=D0四边形ABCD是平行四边形，ZABC=ZADC，TZABC+ZADC=180，ZABC=ZADC=90，四边形ABCD是矩形；(2)解：TZADC=90，ZADF：ZFDC=3：2，ZFDC=36，TDF丄AC，ZDCO=90-36=54,T四边形ABCD是矩形，0C=0D，Z0DC=54ZBDF=Z0DC-ZFDC=18.【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能

16、灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形.图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点.在图1中画出等腰直角三角形M0N,使点N在格点上，且ZMON=90；在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于(1)中等腰直角三角形M0N面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余(画出一种即可).图图2答案】(1)作图参见解析；(2)作图参见解析.解析】试题分析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与

17、格点的交点为N,连接MN即可；（2）根据勾股定理画出图形即可试题解析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N,连接MN,如图1所示；（2）等腰直角二角形MON面积是5，因此正方形面积是20，如图2所示；于是根据勾股定理画出图3：AA图？图3考点：1作图-应用与设计作图；2勾股定理.如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点，分别延长CO到点G，OC到点E,使OG=2OD、OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG.（1）如图1,若正方形OEFG的对角线交点为M,求证：四边形CDME是平行四边形.（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OEF

18、G,如图2,连接AGZ,DEZ，求证：AGZ=DEZ,AGZ丄DE；（3）在（2）的条件下，正方形OEFG的边OG与正方形ABCD的边相交于点N,如图3,设旋转角为a（0VaV180），若AON是等腰三角形，请直接写出a的值.GrF1【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）a的值是22.5或45或112.5或135或157.5.【解析】【分析】1由四边形OEFG是正方形，得到ME=2GE,根据三角形的中位线的性质得到1CDIIGE，CD=-GE，求得CD=GE,即可得到结论；厶如图2,延长EZD交AG于H,由四边形ABCD是正方形，得到AO=OD,乙AOD=ZCOD=90,由四边形O

19、EFG是正方形，得到OGZ=OEZ,乙E,OG,=90，由旋转的性质得到/GzOD=ZE9C，求得ZAOGz=ZCOE，根据全等三角形的性质得到AGZ=DEZ,ZAG，O=ZDEO，即可得到结论；分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论【详解】(1)证明：T四边形OEFG是正方形，1ME=GE,2OG=2OD、OE=2OC,CDIIGE,CD=1GE,2.CD=GE，.四边形CDME是平行四边形；(2)证明：如图2,延长ED父AG于H,-四边形ABCD是正方形,.AO=OD,ZAOD=ZCOD=90,四边形OEFG是正方形，OG=OE,ZEOG=90,T将正方形OEFG绕

20、点O逆时针旋转，得到正方形OEFG,ZGOD=ZEOC,ZAOG=ZCOE,在厶AGO与厶ODE中，OA=ODAAOGADOE,OG=OEAG8ODEAG=DE,ZAGO=ZDEO,Z1=Z2,ZGHD=ZGOE=90,AG丄DE；(3)正方形OEFG的边OG与正方形ABCD的边AD相交于点N,如图3,GI、当AN=AO时，TZOAN=45,.ZANO=ZAON=67.5,TZADO=45,a=ZANO-ZADO=22.5；口、当AN=ON时，.ZNAO=ZAON=45,.ZANO=90,.a=90-45=45；正方形OEFG的边OG与正方形ABCD的边AB相交于点N,如图4,图4I、当AN=

21、AO时，TZOAN=45,.ZANO=ZAON=67.5,TZADO=45,a=ZANO+90=112.5；口、当AN=ON时，.ZNAO=ZAON=45,.ZANO=90，.a=90+45=135,皿、当AN=AO时，旋转角a=ZANO+90=67.5+90=157.5,综上所述：若AON是等腰三角形时，a的值是22.5或45或112.5或135或157.5.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当AON是等腰三角形时，求a的度数是本题的难点.8如图1,矩形ABCD中，AB=8,AD=6；点E是对角线BD上

22、一动点，连接CE,作EF丄CE交AB边于点F,以CE和EF为邻边作矩形CEFG,作其对角线相交于点H.(1)如图2,当点F与点B重合时，CE=,CG=；如图3当点E是BD中点时，CE=,CG=；在图1,连接BG,当矩形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想EBG的形状？并加以证明；CG在图1,的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由；CE在图1,设DE的长为x,矩形CEFG的面积为S,试求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围.节；(2)EBG是直角三角形，理由详见解析；【答案】(1)辛18334；(4)S=4x2-48x+4832(0 xEF，即由BE+DFEF；（2）把厶ABE绕点A逆时针旋转ZBAD的度数至厶ADE,如图（3），根据旋转的性质得到AE=A