北城中学中考数学第一轮复习讲义：四边形

1、北城中学2012年中考数学一轮复习精品讲义第十九章四边形本章小结小结1 本章概述本章通过学习平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质及判定，了解 它们之间的关系，并能灵活运用它们的性质和判定解决一些计算问题和实际问题.同时，本章探索并了解了有关三角形中位线、梯形中位线的相关知识.小结2本章学习重难点【本章重点】掌握并会灵活运用平行四边形的定义、性质及判定；会灵活应用平行四边形及特殊平行四边形的相关知识解决一些简单的实际问题；掌握梯形及等腰梯形的定义、性质及判定，并会灵活运用；理解并掌握三角形中位线、梯形中位线的定义及性质，会应用它们解决一些计算及实际问题 . TOC o 1-5 h

2、 z 【本章难点】掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质及判定条件，以 及它们之间存在的联系与区别，会应用三角形中位线、梯形中位线解决一些简单问题.【学习本章应注意的问题】通过设立问题情境，主动探索和自觉总结四边形的相关性质， 掌握四边形的性质；同时要熟识几种特殊四边形的判定，掌握转化思想在本章中的应用，如将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来解决小结3 中考透视中考关于四边形的考题大多结合三角形知识进行考查，而平行四边形的性质是证明两条直线平行、线段相等及角相等的依据.另外关于平行四边形的面积及周长、对称性也常出现在中考题中，这类题有填空题、选择题、计算题和证明题，深刻理解和牢

3、记多边形、平行四 边形的性质和判定是关键和前提.知识网络结构图四边形菱形组对边平行另一组对边不平行直角梯形专题总结及应用一、知识性专题专题1平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质【专题解读】 围绕平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质进行命 题.例1下列说法错误的是（）A.平行四边形的对角相等B.等腰梯形的对角线相等C.两条对角线相等的平行四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是菱形分析 由平行四边形、矩形、等腰梯形的性质可以发现 A,B,C都是正确的.D不正确,对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，还可能是正方形或等腰梯形答案：D【解题策略】对角线互相垂直的四边形不

4、一定对角线互相平分例2 如图19-125所示，在梯形 ABCD中，AB/CD, E为BC的中点，设 DEA的面积为 ,梯形ABCD的面积为 8 ,则与S2的关系为.分析 由E为BC的中点，延长DE与AB的延长线交于点F,由 CD / AB,得 NCV EBF ,又因为 /CED =/BEF,CE = BE,所以 CEDA BEF,1 一所以DE = EF,所以S菱形abcd= Sadaf .由等底等图的三角形面积相等，得S1 = Saafe= - S2 ,即八 1八S)= S2 或 2sl = S2.21答案：& = 一 S2 （或 2s = S2）2可以考虑由底的【解题策略】根据三角形面积公

5、式，当同底三角形的高相等式相同时, 关系确定三角形的面积之间的关系.I：例3如图19-126所示，ABCD是正方形，G是BC上一点，DE LAG 于点 E, BF 1 AG 于点 F.（1）求证 ABFA DAE;（2）求证 DE =EF FB .和DE =AF,AE =BF ,则问题可证.li分析 （1）根据正方形的性质证明全等的条件.（2）由全等证明：（1）在正方形ABCD中， AB = AD,/BAD=90二图19,1就 - 1 - 2 =90 . DE _L AG, ./2+/3 = 90：, . /1 =/3.又.: BF -LAG, /AFB =/DEA =90,ABFA DAE

6、(AAS)(2)由(1)可知 ABFA DAE, DE = AF, BF = AE,DE = AF = AE + EF = BF + EF ,即 DE = EF + FB .专题2平行四边形（含特殊的平行四边形）的判定与性质之间的区别与联系【专题解读】 围绕平行四边形（含特殊的平行四边形）的判定与性质综合应用命题例4如图19-127所示，将一张矩形纸片 ABCD沿着GF折叠图 19 - 127（F在BC边上，不与B, C重合），使得C点落在矩形ABCD的内 部点E处，FH平分/BFE ,则/GFH的度数a满足 （）A.90 v av 180B.a=90C.0 va90D. a随关折痕位置的变化

7、而变化分析 利用矩形的性质和三角形全等的性质解答本题.由GCFGEF得1/GFC =/EFG ,又有 /EFH =/BFH ,所以 NGFH =父180 =90 ,所以 a = 90 .2答案：B2例5如果菱形的一条对角线长是 12 cm,面积是30cm，那么这个菱形的另一条对角线长为 cm.分析由于菱形的对角线互相垂直，所以菱形的面积可以用两条对角线乘积的一半表示，故另一条对角线的长为 30二2 =5 （cm）.12答案：5困E -牍例6 如图19-128所示，ABCD的周长为16 cm, AC TOC o 1-5 h z BD相交于点Q OE _L AC ,交AD点E,则白g DCE周长

8、为（）A.4 cmB.6cmC.8 cmD.10cm分析 因为VA B C D周长为16 cm ,O为AC的中点，又因为1 DCEAD =BC, AB =CD,所以 AD +CD =父16 =8 （cm）,因为 2OE_LAC 于点 O, 所以 AE E, 所以DC +DE +CE =DC +DE +AE =DC +AD =8 （cm）.答案：C二、规律方法专题专题3构造中位线解决线段的倍分关系【专题解读】 题目中涉及,或2倍关系时，常常考虑构造中位线 .例7四边形ABCD为平行四边形， AD =a,BE /AC, DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.(1)求证 DF = FE;（2）若

9、AC =2FC,/ADC =60：AC _LDC,求 BE 的长； TOC o 1-5 h z AD（3）在（2）的条件下，求四边形 ABED的面积./I证明：（1）如图19-129所示，延长 DC交BE于点M,b BE/ AC, AB / DC,，四边形ABM遢平行四边形.;|4|- |29CM =AB=DC,.C为 DM勺中点. BE/ AC, .。尸是 DME 的中位线， DF = FE .解：（2）由（1）得CF是4DME的中位线，故 ME = 2CF .又. AC =2CF , ME =AC .四边形ABMCI平行四边形，BM=AC.BE =2BM =2ME =2AC .又 AC _

10、L DC,NADC =60:在RtAADC中，利用勾股定理得 AC = a . . BE = J3a. 2（3）可将四边形ABED勺面积分为梯形 ABM口口三角形DM的部分.一 a在Rt ADC中利用勾股定理得 DC =.2a 由CF为乙DME的中位线得 CM = DC =.2a a DM =OC CM = = a .2 2由四边形ABM已平行四边形得 AB = MC =-,BM = AC = a . TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 22梯形 ABMDj面积为 a - a 3a - =3二3 a2.2228由AC

11、_LDC和BE/ AC,得三角形DME是直角三角形，3a3a2其面积为一父x a = HYPERLINK l bookmark172 o Current Document 24四边形 ABED勺面积为 3-a2 -a- =5_Ja_.848专题4构造平行四边形解决线段相等、角相等的问题【专题解读】 利用平行四边形边、角的性质可以解决有关线段相等、角相等的问题例8 如图19-130所示，在VABCD中，AB=2BC,M是图 19 - 130DC的中点，BE _L AD,E是垂足，求证NEMC=3/DEM .分析 添加辅助线 MN,交BE于F.N为AB中点，由已知条件证得 NDEM=/EMN.由三

12、角形中位数性质证得 BF =EF,MF _LBE,则/EMF =/1 ,又由四边形 BCMN是菱形，证得N1 =/2 ,从而结论得证.证明：取AB的中点 N,连接 MN, MB.MN交EB于F. 因为四边形 ABCD是平行四边形， 所以ABDC.又M, N分别是DC, AB的中点， 所以 DM&AN, MCWNB,即四边形ANMD和四边形MNBC都是平行四边形.所以.DEM = . EMF .因为N是AB中点，NF /AE, 所以F是BE的中点.又 BE _L AD ,所以 MF _L BE,/EMF =/1 ,因为MC=BC ,所以VBCMN是菱形，所以 Z1 =/2 ,即 /EMC =/1

13、 +/2+/EMF =3/DEM .【解题策略】证明角的和、差、倍、分关系时，应依据题目的背景经观察分析后适当添 TOC o 1-5 h z 加辅助线，把较大角分割成若干较小角，最终归结到证明两个角相等的途径上以解决问题.本题添加辅助线 MN, MB后，利用菱形对角线性质及等腰三角形三线合一的性质证明有关 角相等，从而解决问题.专题5有关四边形的性质与判定的开方探索题【专题解读】 这类题分为条件开放、结论开放、条件和结论双开放三种类型例9如图19-131所示，在VABCD中，E, F分别是边灯，八 K八AD, BC的中点，AC分别交BE, DF于点M, N.给出下列结.晨记论：ABMA CDN

14、; AM =1 AC; DN =2NF； S31AAMB =- SABC.其中正确的结论是 .（只填序号）分析 二.四边形 ABC比平行四边形，AB CD,，/BAM =/DCN,又., F分别是AQ BC的中点，DEBF, 四边表 BEDF是平行四边形，N EBF =N EDF , 二/ABC =/ADC , /ABE =2CDF ,， ABM CDN . .正确.由BEDF 可得/BED =/BFD，/AEM =/NFC .又AD/ BC, . ./EAM =/NCF ,又 AE = CF ,. AME 9 CNF , AM =CN .由 FN / BM , FC=BF ,得 CN = M

15、N , 11 -1三CM =MN =AM ,AM =AC.，正确. AM =一 AC, . . $ amb = Sabc.不正333确.FN 为八 BMC 的中位线，BM =2NF, AABMA CDN ,则 BM = DN ,. DN =2NF .正确.答案：专题6动手操作题【专题解读】 这类题的特点是根据给出的图形，需要通过裁剪、平移、旋转等方法才 能得到题中要求的图形和结论 .例10某市要在一块块形状为平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是 VABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求其分 别在VABCD的四条边上，请你设计两种方案 .图 19

16、 - 132方案（一）：如图19-132 （1）所示，两个出入口 巳F已确定，请在图（1）上画出符 合要求的四边形花园，并简要说明画法.方案（二）：如图19-132 （2）所示，一个出入口 M已确定，请在图（2）上画出符合要 求的梯形花园，并简要说明画法.解：方案（一） 画法1 :过F作FH / AB,交AD于点H.在DC上作取一点G,连接EF,FG,GH ,HE,则四边形EFGH就是所要画的四边形，如图19-133 （ 1）所示.画法2:过F作FH / AB,交AD于点H.过E作EG/ AD,交DC于点G,连接EF , FG , GH , HE ,则四边形EFGH就是所要画的四边形，如图 1

17、9-133 （2）所示.画法3:在AD上取一点H,使DH =CF .在CD上任取一点G,连接EF,FG,GH ,HE,则四边形EFGH就是所要画的四边形，如图19-133 （3）所示.方案（二） 画法：过 M点作MP / AB,交AD于点P.在AB上取一点Q,连接PQ.过M作MN / PQ,交DC于点N,连接QM, PN,则四边形QMNP就是所要画 的梯形，如图19-133 （4）所示.(1)三、思想方法专题专题7转化思想【专题解读】本章中转化思想主要是将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来处 理.例11 如图19-134所示，在梯形 ABCD 中，AB/CD, /C =90： AB =25

18、,BC =24,将该梯形折叠，点 A恰好与点D图 19 - 134重合，BE为折痕，那么 AD的长度为 .分析 .BD是AB沿BE折叠得到的， BD=AB=25，;CC =90： . CD = JbD2 BC2 =7.过点 D作 DF _L AB,垂足为 F. DC/ AB , DF = BC =24, FB = DC =7, AF = AB FB =18, AD = JDF2 + AF2 =30.答案：30【解题策略】在梯形中求线段的长，常作梯形的高为辅助线，使其转化为矩形和直角三角形，化整为零，化陌生为熟悉，这是处理梯形问题常见的转化方法专题8方程思想【专题解读】本章主要体现在通过方程（组

19、）、不等式（组）恒等变形等式代数方法解决有关图形计算的问题.例12已知两个多边形的内角和为1440。，且两多边形的边数之比为1: 3,求它们的边数分别是多少.分析 先设某一个多边形的边数为x,由多边表的内角和公式 （n-2）780列出关于x的一元一次方程，求解即可 .解：设其中边数较少的多边形边数是x,则另一个多边形边数是 3x,由题意得(x2)*180 +(3x2) *180=1440 ,解得 x = 3,3x=9.答：它们的边数分别为 3和9.2011中考真题精选.如图，在梯形 ABCD中，AD / BC, AB=DC ,过点D作DELBC,垂足为 E,并延长DE 至 F,使 EF=DE.

20、连接 BF、CD、AC.（1）求证：四边形 ABFC是平行四边形；（2）如果DE2=BE?CE,求证四边形 ABFC是矩形.考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：（1）连接BD,利用等腰梯形的性质得到 AC=BD ,再根据垂直平分线的性质得到 DB=FB ,从而得到AC=BF ,然后证得AC / BF ,利用一组对边平行且相等判定平行四 边形；（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相 等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形.解答：证明：（1）连接BD,.梯

21、形 ABCD 中，AD / BC, AB=DC ,.AC=BD , / ACB= / DBC. DEXBC, EF=DE,.BD=BF , / DBC= / FBC,.AC=BF , / ACB= / CBF.AC / BF,四边形ABFC是平行四边形；(2)DE2=BE?CEDR _ CR / DEB= / DEC=90 , . BDEA DEC/ BDC= / BFC=90 ,四边形ABFC是矩形.点评：本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大.2. （2011四川广安，23, 8分）如图5所示，在菱形 ABCD中，/

22、ABC= 60, DE/AC交BC的延长线于点 E.求证：DE= 1 BE.2考点：菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，线段的倍分关系专题：四边形分析：思路一：易知四边形ACED是平行四边形，则AD=CE=BC,从而可知BC= - BE,2要说明DE= - BE,只需说明DE=BC即可.2思路二：连接BD,先证/ BDE=90,再证/ DBE=30,根据30的角所对的直角边等 于斜边的一半可直接获得结论（自己完成证明过程）解答：.ABCD是菱形, .AD/BC, AB=BC=CD = DA. 又. / ABC= 60,，BC = AC = AD. . DE / AC A

23、CED为平行四边形.，CE=AD = BC, de = ac. ,-.de = ce = bc,DE = BE,2点评：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，而平行四边形的对边相等，由此可以得出相等的线段，可实现线段的等量代换(转移)，这就为证明线段相等或倍、分关系创造了条件.3. (2010 重庆，24, 10 分)如图，梯形 ABCD 中，AD / BC, / DCB=45, CD=2,BDCD.过 点C作CE XAB于E,交对角线 BD于F ,点G为BC中点，连接 EG、AF .(1)求EG的长；(2)求证：CF=AB+AF.24题图考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的

24、中线；勾股定理分析：(1)根据 BDXCD, /DCB=45,得到/ DBC = /DCB,求出 BD=CD=2,根据勾股定理求出BC=2错误！未找到引用源。，根据CELBE,点G为BC的中点即可求出 EG;(2)在线段 CF上截取CH = BA,连接 DH,根据BDXCD, BE LCD,推出/ EBF=/DCF, 证 出 AABDA HCD , 得 至U AD=BD , /ADB = /HDC , 根 据 AD / BC , 得 到 ZADB = Z DBC=45 ,推出/ ADB = /HDB,证出ADFHDF,即可得到答案.解答：(1)解：: BDXCD, Z DCB=45 , ./

25、DBC=45 = /DCB, .BD = CD=2,在 RtA BDC 中 BC=,BD2 +CD2 错误!未找至 U 引用源。=2错误！未找到引用源。，CELBE,点G为BC的中点，EG二错误！未找到引用 源。BC=错误！未找到引用源。.答：EG的长是错误！未找到引用源。.(2)证明：在线段 CF上截取CH=BA,连接DH ,24题答图. BDXCD, BEXCE, ./ EBF + /EFB=90 , / DFC+/ DCF=90 ,. / EFB = /DFC , ./ EBF = /DCF , . DB = CD, BA=CH , ABDA HCD , .AD = DH , / ADB

26、 = Z HDC , . AD / BC, ./ ADB = Z DBC=45 ,/ HDC =45 , ./ HDB = / BDC - / HDC =45 , ./ ADB = Z HDB , . AD = HD, DF=DF, ADFA HDF , .AF =HF , .CF=CH+HF=AB+AF, .CF=AB+AF.点评：本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键.4. (2011?泰外I, 24, 10分)如图，四边形 ABCD是矩形，直线l垂直平分线段 AC,垂足 为O,直线

27、l分别与线段AD、CB的延长线交于点 E、F.(1) AABC与4FOA相似吗？为什么？(2)试判定四边形 AFCE的形状，并说明理由.B C考点：相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质。专题：证明题；综合题。分析：(1)根据角平分线的定义，同角的余角相等可知/AFO=/CAB,根据垂直的定义，矩形的性质可知/ ABC=/FOA,由相似三角形的判定可证 4ABC与4FOA相 似；(2)先证明四边形 AFCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形 是菱形作出判断.解答：解：(1)二直线l垂直平分线段 AC,./ AFO= / CFO, / CFO+ / FCO

28、= / CAB+ / FCO=90 , / AFO= / CAB , / AOF= / CBA=90 , ABCAFOA .(2)二直线l垂直平分线段 AC,AF=CF ,可证AOFA AOE , AE=CF , FO=EO .四边形ABCD是矩形，四边形AFCE是平行四边形, ，四边形AFCE是菱形.点评：考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定，矩形的性质，菱形的判定，综合 性较强，有一定的难度.5. (2010重庆，26, 12分)如图，矩形 ABCD中，AB=6, BC=2错误！未找到引用源。， 点。是AB的中点，点P在AB的延长线上，且 BP=3. 一动点E从。点出发，以每秒1个

29、 单位长度的速度沿 OA匀速运动，到达 A点后，立即以原速度沿 AO返回；另一动点F从P 点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线 PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇 时停止运动，在点 E、F的运动过程中，以 EF为边作等边EFG,使 EFG和矩形ABCD 在射线PA的同侧.设运动的时间为 t秒(t0 .(1)当等边4EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；(2)在整个运动过程中，设等边 4EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为 S,请直接写出 S 与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t, AAOH是等腰三

30、 角形？若存大，求出对应的 t的值；若不存在，请说明理由.26题图考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形分析：(1)当边FG恰好经过点 C时，/ CFB=60, BF=3-t,在RtA CBF中，解直角三角形可求t的值；(2)按照等边4EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点， 分为041, 143, 344, 44 6四种情况，分别写出函数关系式；(3)存在.当4AOH是等腰三角形时，分为 AH=AO=3, HA=HO, OH = OA三种情况，分 别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值.解答：解：(1

31、)当边FG恰好经过点 C时，/ CFB=60, BF=3- t,在RtA CBF中，BC=2错误！未找到引用源。，tan/CFB=错误！未找到引用源。BC ,即tan60=错误！未找到引BF用源。23 ,解得 BF=2,即 3-t=2BFt=1,当边FG恰好经过点C 时，t=1;G26题答图(2)当0q1时，S=2错误！未找到引用源。t+4错误！未找到引用源。；当14V3时，S=-错误！未找到引用源。t2+3错误！未找到引用源。t+错误！未找到引用 源。；当34V4时，S=-4错误！未找到引用源。t+20错误！未找到引用源。；当44V6时，S=错误！未找到引用源。t2-12错误！未找到引用源。

32、t+36错误！未找到引 用源。；(3)存在.RC理由如下：在RtARC中，tan/CAR=EC错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。AR./CAR=30,又. / HEO=60,/ HAE = / AHE=30 ,，AE=HE=3-t 或 t-3,1)当AH=AO=3时，(如图)，过点E作EMXAH于M,则AM=错误！未找到引用源。AH=错误！未找到引用源。，3在RtAAME中，cos/ MAE T昔误！未找到引用源。处-,即cos30 =2-错误！未找到引AEAE用源。，.AE=错误！未找到引用源。，即3-t=错误！未找到引用源。或t-3=错误！未找到引用源。.t=3-错误！未找到引用

33、源。 或t=3+错误！未找到引用源。，2）当 HA = HO 时，（如图）则/ HOA=/HAO=30, 又. / HEO=60,EHO=90, EO=2HE=2AE,又,. AE+EO=3,AE+2AE=3, AE=1,t=2 或 t=4;即 3 t=1 或 t 3=13）当 OH=OA 时，（如图），则/ OHA=/OAH=30, HOB=60 = /HEB, 点 E 和点 O 重合，AE=3,即 3t=3 或 t 3=3, t=6 （舍去）或 t=0;26题答图综上所述，存在 5个这样的t值，使4AOH是等腰三角形，即t=3 -错误！未找到引用源。或t=3+错误！未找到引用源。 或t=2

34、或t=2或t=0.点评：本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有 关知识.关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论.6. (2011湖北咸宁，22, 10分)(1)如图，在正方形 ABCD中，4AEF的顶点E, F分 别在BC, CD边上，高AG与正方形的边长相等，求/ EAF的度数.(2)如图，在 RtAABD中，/ BAD=90 , AB=AD,点M, N是BD边上的任意两点， 且/ MAN=45 ,将4ABM绕点A逆时针旋转90至4ADH位置，连接NH ,试判断MN , ND, DH之间的数量关系，并说明理由.(3)在图中，连接 BD分别交AE, AF于点M

35、, N,若EG=4, GF=6, BM=3错误！考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。分析：(1)根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形相等，进而证明角相等，从而 求出解.(2)用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论.(3)设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果.解答：(1)在 RtABE 和 RtAGE 中，AB =AG , AE=AE, ABEA AGE ,/BAE =/GAE .同理，/GAF =/DAF .一/EAF =-/BAD =45 .(2) MN2 =ND2 DH 2 ZBAM =NDAH , /BAM 十/DAN =45, ./H

36、AN =/DAH +/DAN =45. /HAN =/MAN又 AM =AH , AN =AN , AMNA AHN.，MN =HN . /BAD =90 , AB=AD, . ZABD =ZADB =45*.NH 2 =ND2 +DH 2.(3)由(1)知，BE =EG ,.NHDN =ZHDA +ZADB =90. MN 2 =ND2 +DH 2 .DF =FG .(图)2_ 2_2 MN 2 =ND2 BM 2设 AG =x，则 CE =x _4 , CF=x_6.CE2 +CF2 =EF2 ,222 (x 4)2 +(x 6)2 =102 .解这个方程，得x1 =12, x2=-2 (

37、舍去负根). AG =12 .BD =JAB2 +AD2 =J2AG2 =12jE .在(2)中，mn2=nd2+dh2, BM=DH,设 MN =a ,则 a2 =(12衣-3& -a)2 +(3&)2 .a =5d2 .即 MN =5,5 .点评：本题考查里正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判 定和性质，勾股定理的知识点等.(2011馈港)如图所示，在梯形 ABCD中，AD / BC , AB=AD , / BAD的平分线 AE交BC于点E,连接DE.(1)求证：四边形 ABED是菱形；(2)若/ ABC=60 , CE=2BE,试判断ACDE的形状，并说明理由

38、.考点：梯形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。 专题：几何综合题。分析：(1)根据AB=AD及AE为/BAD的平分线可得出/ 1 = /2,从而证得BAEDAE, 这样就得出四边形 ABED为平行四边形，根据菱形的判定定理即可得出结论；(2)过点 D作DF / AE交BC于点F,可得出 DF=AE , AD=EF=BE ,再由CE=2BE得出 DE=EF ,从而结合/ ABC=60 , AB / DE可判断出结论.解答：(1)证明：如图，: AE平分/ BAD ,1 = /2,. AB=AD , AE=AE , . BAE DAE , .BE=DE , . A

39、D / BC, 2=/3=/1,.AB=BE ,-，ab=be=de=ad四边形ABED是菱形.(2)解：4CDE是直角三角形.如图，过点 D作DF / AE交BC于点F, 则四边形AEFD是平行四边形，. DF=AE , AD=EF=BE ,. CE=2BE ,.BE=EF=FC ,.DE=EF ,又. / ABC=60 , AB / DE,/ DEF=60 ,. DEF是等边三角形，.DF=EF=FC ,. CDE是直角三角形.花 TV点评：本题综合考查了梯形、全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质，难度较大，解答本题需要掌握有一组邻边相等的平行四边形是菱形，直角三角形中，斜边的中线等于

40、斜边的一半.8. (2011?安顺)如图，在 4ABC中，/ ACB=90 , BC的垂直平分线 DE交BC于D,交 AB 于 E, F 在 DE 上，且 AF=CE=AE .(1)说明四边形 ACEF是平行四边形；(2)当/ B满足什么条件时，四边形 ACEF是菱形，并说明理由.AC考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质； 线段垂直平分线的性质； 平行四边形的判定。分析：(1)证明AECEAF,即可得到 EF=CA,根据两组对边分别相等的四边形是平 行四边形即可判断；(2)当/ B=30。时，四边形ACEF是菱形.根据直角三角形的性质，即可证得AC=EC,根据菱形的定义即可判断.解答：(1

41、)证明：由题意知/ FDC=/DCA=90 ,EF / CA ,/ AEF= / EAC ,. AF=CE=AE ,/ F= / AEF= / EAC= / ECA .又AE=EA ,AECA EAF , EF=CA ,四边形ACEF是平行四边形.(2)当/ B=30时，四边形 ACEF是菱形.理由是：/ B=30 , / ACB=90 ,.AC=错误！未找到引用源。，DE垂直平分BC,.BE=CE ,又 AE=CE ,.CE=错误！未找到引用源。，.AC=CE ,，四边形ACEF是菱形.点评：本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键.9. (2011阴目

42、西州)如图，已知矩形 ABCD的两条对角线相交于 O, / ACB=30 , AB=2 . (1)求AC的长.(2)求/ AOB的度数.(3)以OB、OC为邻边作菱形 OBEC,求菱形 OBEC的面积.Arr-nDE考点：矩形的性质；含 30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质。专题：综合题。分析：(1)根据AB的长结合三角函数的关系可得出AC的长度.(2)根据矩形的对角线互相平分可得出OBC为等腰三角形，从而利用外角的知识可得出ZAOB的度数.(3)分别求出OBC和4BCE的面积，从而可求出菱形 OBEC的面积.解答：解(1)在矩形 ABCD中，/ ABC=90 ,RtAABC 中，/ A

43、CB=30 ,.AC=2AB=4 .(2)在矩形 ABCD中，.AO=OA=2 ,又AB=2 ,. .AOB是等边三角形， / AOB=60 .(3)由勾股定理，得 BC=错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。.错误！未找到引用源。，所以菱形OBEC的面积是2错误！未找到引用源。.点评：本题考查矩形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识，综合性较强，注意一些基本知识的掌握是关键.10.（2011年山东省东营市，19,8分）如图，在四边形 ABCD中，DB平分/ ADC , Z ABC=120 ,ZC=6CT , / BDC=30 ;延长 CD 到点 E,连接 AE ,使得/ E=1 ZC.2（

44、1）求证：四边形 ABDE是平行四边形；（2）若DC=12,求AD的长.AB DC考点：等腰梯形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质.专题：计算题；证明题.分析：（1）可证明AB /ED,AE/ BD ,即可证明四边形 ABDE是平行四边形；由/ ABC=120 , / C=60 ,得 AB / ED; / E= 1 / C= / BDC=30 ,得 AE / BD ;2（2）可证得四边形 ABCD是等腰梯形，AD=BC ,易证 BDC是直角三角形，可得 BC=1一 DC=6.2解答：证明：（1）ABC=120 , / C=60 ,./ABC+ / BCD=180 ,.AB

45、/ DC,即 AB / ED;又/ C=60 , / E= 1/C, / BDC=30 ,2. E=/BDC=30 ,.AE / BD , 四边形 ABDE是平行四边形；解：（2） AB / DC,四边形ABCD是梯形，. DB 平分/ ADC , / BDC=30 ,/ ADC= / BCD=60 ,四边形ABCD是等腰梯形； BC=AD ,.在 BCD 中，/ C=60 , / BDC=30 , / DBC=90 ,又 DC=12 ,.AD=BC= 1 DC=6 .2点评：本题考查了知识点较多，有等腰梯形、直角三角形的性质以及平行四边形的判定和性 质，只有牢记这些知识才能熟练运用.11.

46、（2011浙江宁波，23, ?）如图，在 CABCD中，E、F分别为边 AB、CD的中点，BD 是对角线，过点 A作AG II DB交CB的延长线于点 G.（1）求证：DE / BF;(2)若/ G = 90,求证：四边形 DEBF是菱形.考点：菱形的判定；平行线的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质。专题：证明题。分析：(1)根据已知条件证明， ADEACBF,即/ 3=/CBF,再根据角平分线的性质可知BDE = Z FBD,根据内错角相等，即可证明DE/ BF,(2)根据三角形内角和为 180。，可以得出/ 1 = 72,再根据邻边相等的平行四边形是菱形, 从而得出结论.解答：

47、证明：(1)二.四边形 ABCD是平行四边形，/4=/C, AD=CB, AB = CD.点E、F分别是AB、CD的中点，.AE =工错误！未找到引用源。AB , CF= 1错误！未找到引用源。CD .AE = CF ,22ADEACBF,，/3=/CBF,/ ADB =/CBD , ，/2=/FBD, ，DE/BF,(2)G = 90, .四边形 AGBD 是矩形，/ ADB = 90,.Z 2+73 = 90, . 2/2+2/3= 180./ 1 = /2, /3=/4.,-.DE = AE = BE, AB /CD, DE/BF, .四边形 DEBF 是菱形. 点评：本题主要考查了平行

48、四边形的性质、相似三角形的判定、平行的判定、菱形的判定， 比较综合，难度适中.10.12. (2011浙江嘉兴，23, 10分)以四边形 ABCD的边AB . BC. CD. DA为斜边分别向外 侧作等腰直角三角形， 直角顶点分别为 E. F. G. H,顺次连接这四个点， 得四边形EFGH.(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2,当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形 EFGH的形状(不要求证明)；(2)如图3,当四边形 ABCD为一般平行四边形时，设/ ADC = a (0。“90。)，试用含a的代数式表示/ HAE ;求证：HE=HG;四边形E

49、FGH是什么四边形？并说明理由.G考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；菱形的判定与性质.专题：证明题.分析：(1)根据等腰直角三角形得到角都是直角，且边都相等即可判断答案；(2)/ HAE=90+a,根据平行四边形的性质得出，/BAD=180 - a,根据AHAD和 EAB是等腰直角三角形，得到/ HAD = Z EAB=45 ,求出/ HAE即可；根据4AEB和4DGC是等腰直角三角形，得出 AE= 错误！未找到引用源。AB, DC =2错误！未找到引用源。CD,平行四边形的性质得出 AB=CD,求出/ HDG=90+a=/HAE ,证HAEHDC,即可得出 HE=H

50、G;由同理可得：GH=GF , FG=FE ,推出 GH=GF = EF=HE ,得出菱形 EFGH ,证 HAEA HDG ,求出/ AHD=90 , Z EHG=90 ,即可推出结论.解答：(1)答：四边形EFGH的形状是正方形.(2)解：/ HAE=90 + a,在平行四边形ABCD中AB / CD,./ BAD=180 - / ADC=180 - a,HAD和 EAB是等腰直角三角形，./ HAD = Z EAB=45 ,./ HAE=360 / HAD / EAB / BAD=360 45 45 ( 180 a) =90 +a,答：用含a的代数式表示/ HAE是90+a.证明：. A

51、EB和4DGC是等腰直角三角形，.AE=错误！未找到引用源。AB, DC=错误！未找到引用源。CD,在平行四边形ABCD中，AB=CD ,.AE=DG ,HAD和4GDC是等腰直角三角形，./ HDA=Z CDG=45 ,./ HDG = Z HDA+Z ADC+Z CDG=90 +a=Z HAE,. HAD是等腰直角三角形，.HA = HD,. HAEA HDC , .HE = HG.答：四边形 EFGH是正方形，理由是：由同理可得： GH=GF, FG = FE,.HE = HG,，GH=GF = EF=HE,四边形EFGH是菱形， HAEA HDG ,./ DHG = /AHE,. /

52、AHD = Z AHG+Z DHG=90 , / EHG= / AHG+ / AHE=90 ,四边形EFGH是正方形.H点评：本题主要考查对正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，全等三 角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键.(2011梧州，22, 8分)如图，在？ABCD中，E为BC的中点，连接 DE .延长DE交考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：根据平行四边形的性质先证明DECFEB,然后根据 AB=CD ,运用等量代换即可得出结论.解答：解：由ABCD是平行四边形得 AB / CD,./ C

53、DE= /F, / C=Z EBF.又E为BC的中点，. DECA FEB, .DC=FB .又 AB=CD , .AB=BF .点评：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，难度一般，对于此类题目关键是熟练掌握并运用平行四边形的性质.(2011汴林，25, 10分)如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点， 以线段AG为边作一个正方形 AEFG ,线段EB和GD相交于点H.(1)求证：EB=GD ;(2)判断EB与GD的位置关系，并说明理由；(3)若AB=2, AG=错误！未找到引用源。2 ,求EB的长.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。分析：(1)在

54、 AGAD 和 4EAB 中，/ GAD=90 + / EAD , / EAB=90 +/EAD ,得 到 ZGAD= / EAB 从而 GADA EAB ,即 EB=GD ;(2) EBXGD,由(1)得/ ADG= /ABE 则在BDH 中，/ DHB=90 所以 EBXGD;(3)设BD与AC交于点O,由AB=AD=2在RtAABD中求得DB ,所以得到结果.解答：(1)证明：在 4GAD 和 4EAB 中，/ GAD=9 0 +Z EAD , / EAB=90 +Z EAD ,/ GAD= / EAB ,又 AG=AE , AB=AD ,GADA EAB ,.EB=GD ;(2) EB

55、XGD,理由如下：连接 BD,由(1)得：/ ADG= Z ABE ,则在 4BDH 中，ZDHB=180 - (/ HDB+/HBD) =180 - 90 =90,EBXGD;(3)设BD与AC交于点O,. AB=AD=2 在 RtAABD DB=错误！未找到引用源。AB2 + AD2 =242 ,.eb=gd=错误！未找到引用源。Jog2+od2 = J8 + J2 =，T0.点评：本题考查了正方形的性质，考查了利用其性质证得三角形全等，并利用证得的条件求得边长.15. (2011汝顺，25, 9分)如图，在 4ABC中，/ ACB=90 , BC的垂直平分线 DE交BC 于 D ,交 A

56、B 于 E, F 在 DE 上，且 AF=CE=AE .(1)说明四边形 ACEF是平行四边形；(2)当/ B满足什么条件时，四边形 ACEF是菱形，并说明理由.考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定。分析：（1）证明AECEAF,即可得到 EF=CA,根据两组对边分别相等的四边形 是平行四边形即可判断；（2）当/ B=30。时，四边形ACEF是菱形.根据直角三角形的性质，即可证得AC=EC,根据菱形的定义即可判断.解答：（1）证明：由题意知/ FDC=/DCA=90 ,EF / CA ,/ AEF= / EAC ,. AF=CE=AE ,/ F= /

57、 AEF= / EAC= / ECA .又AE=EA ,AECA EAF ,EF=CA ,四边形ACEF是平行四边形.（2）当/ B=30时，四边形 ACEF是菱形.理由是：/ B=30 , / ACB=90 ,AC= - AB错误！未找到引用源。，2DE垂直平分BC,.BE=CE ,又 AE=CE ,.CE=错误！未找到引用源。，.AC=CE ,，四边形ACEF是菱形.点评：本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键.16. （2011海南，23, 10分）如图，在菱形 ABCD中，/ A=60,点P、Q分别在边 AB、BC 上，且 AP=BQ.（1）求证

58、： BDQA ADP;（2）已知AD=3, AP = 2,求cos/ BPQ的值（结果保留根号）./C考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。分析：（1）由四边形ABCD是菱形，可证得 AD = AB, / ABD = / CBD =错误！未找到引用一 1 ,源。一/ ABC, AD / BC,又由/ A=60 ,易得 ABD是等边二角形，然后由 SAS即可证2得 BDQA ADP ;(2)首先过点Q作QELAB,交AB的延长线于E,然后由三角函数的性质，即可求得PE与QE的长，又由勾股定理，即可求得PQ的长，则可求得 cos/ BPQ的值.解答：解：(1)二.四边形ABCD是

59、菱形，.AD = AB, / ABD = / CBD =错误！未找到引用源。1 Z ABC, AD / BC,2. / A=60,.ABD是等边三角形，/ ABC =120,.AD = BD, /CBD=/A= 60,.AP = BQ,BDQA ADP (SAS);(2)过点Q作QEAB,交AB的延长线于 巳 BDQA ADP ,-.BQ = AP= 2,. AD / BC,./ QBE = 60,.QE = QB?sin60 = 2X三3错误！未找到引用源。=J3错误！未找到引用源。，BE =2QB?cos60 = 2X1错误！未找到引用源。=1,2.AB=AD = 3,.PB=AB AP

60、= 3-2= 1,.PE = PB+BE = 2,在RtAPQE中，PQ= JPE2 +QE2错误!未找到引用源。=J7 ,.cos/ BPQ =上且错误！未找到引用源。=马=竺错误！未找到引用源。.PQ77ZM4 PRE点评：此题考查了菱形的性质与勾股定理、三角函数的性质. 此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用.17. （2011黑龙江省哈尔滨，23 , 6分）如图，四边形ABC皿平行四边形，AC是对角线，BE ，AC,垂足为E, DFLAC,垂足为F.求证：DF=BE考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：根据平行四边形的对边相等得出BC=AD再由两直线