向量代数与空间解析几何知识题详解

1、第六章向量代数与空间解析几何习题631、已知A(1,2,3) , 5(2,-1,4)，求线段AB的垂直平分面的方程.解：设M (x, y, z)是所求平面上任一点，据题意有IMA 1=1 MB I,再-1+ (y-2+ Q-3顼-荻+ (y + 3代-4,化简得所求方程2x-6y + 2z-7 = 0 .这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程 而不在此 平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程2、一动点移动时，与A(4,0,0)及xOy平面等距离，求该动点的轨迹方程.解:设在给定的坐标系下，动点M (x, y, z)，所求的轨迹为C，则M(x, y, z) e CoMA

2、 = |z|亦即|l(x 4)2 + y 2 +z2=|z|/.(x 4)2+ y 2 = 0从而所求的轨迹方程为(x - 4)2 + y 2 = 0.3、求下列各球面的方程： 圆心(2,-1,3)，半径为R = 6 ； (2)圆心在原点，且经过点(6,-2,3)；(3)一条直径的两端点是(2 - 3,5)与(4,1,-3)( 4 通过原点与(4,0,0),(1,3,0),(0,0,-4)解：(1)所求的球面方程为：(x - 2)2 + (y +1)2 + (z - 3)2 = 36由已知，半径R =、：62 +(-2)2 + 32 = 7，所以球面方程为x2 + y2 + z2 = 492

3、+ 4-3 +15 3 ,由已知，球面的球心坐标a =工=3,b = 3+1 = -1,c = = 1 ,222，球的半径R = !；(4 - 2)2 + (1 + 3)2 + (5 + 3)2 = *1，所以球面方程为：(x - 3)2 + (y +1)2 + (z - 1)2 = 21设所求的球面方程为：x 2 + y 2 + z 2 + 2 gx + 2hy + 2kz +1 = 0因该球面经过点(0,0,0), (4,0,0), (1,3,0), (0,0,-4) 所以 Jl = 016 + 8 g = 010 + 2 g + 6h = 016 - 8k = 0l = 0h = -1g

4、 =-2k = 2二所求的球面方程为x 2 + y2 + z 2 - 4x 2 y + 4z = 0.4、将ya坐标面上的抛物线y2 = 2z绕z旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：X2 + y2 = 2z (旋转抛物面).5、将zQx坐标面上的双曲线x2 -工=1分别绕X轴和z轴旋转一周，求所生成的旋转a 2 c 2曲面的方程.解：绕X轴旋转得E - yi = 1 绕z轴旋转得 M2!-工=1. TOC o 1-5 h z a 2c 2a 2c 26、指出下列曲面的名称，并作图：X 2 z 2(1)彳 + = 1 ; (2) y 2 = 2 z ;(3) x 2 + z 2 = 1 ;(

5、4)x 2 + y 2 + z 2 - 2 x = 0 ；X2 . y2 .(5) y 2 + x 2 = z 2 ;(6) 4 X2 - 4 y2 + z = 1 ;(7)+上 + z = 1 ;916(8)挡-+ z2 =-1 ;(9)兰 + + 三=1 ;(10) 2x2 + 2y2 = 1 + 3z249;433解：(1)椭圆柱面；(2)抛物柱面；(3)圆柱面；(4)球面；(5 )圆锥面；(6)双曲抛物 面;(7 )椭圆抛物面；(8)双叶双曲面；(9)为旋转椭球面；(10 )单叶双曲面.7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？(1) y = x + 1；(2)

6、x2 + y 2 = 4 ；(3 ) x2 - y2 = 1 ；(4) x 2 = 2 y .解：(1) y = x + 1在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；（2）X2 + J2 = 4在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；（3）x2 - j 2 = 1在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面;（4）x 2 = 2 J在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面8、说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）F F = 1 （ 2）X2 -F z2 =（3）X2 - J2 - z2 = 1 （ 4）（z - a）2 = X2 + J2 49

7、94解（1）XO平面上椭圆X2 + ! = 1绕X轴旋转而成;或者xOz平面上椭圆X2 +矽=14949绕x轴旋转而成（2）xO平面上的双曲线x 2 - ! =1绕轴旋转而成；或者 Oz平面上的双曲线4z 2 - 2 = 1绕轴旋转而成4（3）xO平面上的双曲线x2 - 2 = 1绕x轴旋转而成;或者xOz平面上的双曲线x2 - z2 = 1 绕x轴旋转而成（4）Oz平面上的直线z = + a绕z轴旋转而成或者xOz平面上的直线z = x + a绕z轴旋 转而成.9、画出下列各曲面所围立体的图形：（1）3x + 4 + 2z -12 = 0与三个坐标平面所围成；（2）z = 4 - x2，2x

8、 + = 4及三 坐标平面所围成；（3）z = 0, z = a（a 0）， = x,x2 + 2 =1 及 x = 0 在第一卦限所围成；（4 ）z = x2 + 2, z = 8 一 x2 2 所围.解：（1）平面3x + 4 + 2 z -12 = 0与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；（2）抛物柱面z = 4 - x2与平面2x + = 4及三坐标平面所围成；（3）坐标面z = 0、x = 0及平面z = a（a 0）、= x和圆柱面x 2 + 2=1在第一卦限所 围成；（4）开口向上的旋转抛物面z = x 2 + 2与开口向下的抛物面z = 8 - x 2 - 2所围作图略.习

9、题641、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）t ；（2）h =4-x2-y2 ；（3）Jx2 + 声=a1y = 2x - y = 0 x2 + z 2 = a 2解：（1）是平面x = 1与y = 2相交所得的一条直线；（2）上半球面z = %. 4 - x2 - y2与平面x - y = 0的交线为4圆弧;（3）圆柱面x2 + y2 = a2与x2 + z2 = a2的交线.图形略.2、分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线J 2x2 + y 2 + Z2 = 16的柱面方程.x2 + z2 - y 2 = 0解：消去 = 1 + J3 cos 0(2) y = ”3 sin0(0 0

10、2兀).坐标得3y 2 - z2 = 16，为母线平行于x轴的柱面；消去y坐标得：3x2 + 2z2 = 16，为母线平行于y轴的柱面.3、求在yOz平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：Jy2+ z2 =1I x = 0 x2 + y2 + z 2 = 1 ； x=04、试求平面x- 2 = 0与椭球面W +若+亍=1相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程y2 z2 += 193x = 2，可知其为平面x = 2上的椭圆，半轴分别为3,.、.3，顶点分别为（2,3,0）,（2,-3,0）,（2,0,、3）,（2,0,-十3）.5、将下面曲线的一般方程化为参数

11、方程(2) J(x -1)2 + y2 +(z +1) = 4I z = 0解：（1）原曲线方程即：，化为3x = cos t23y = cos tv2z = 3sin t(0 t 2兀)；x = a cos 06、求螺旋线L = a sin0在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.乙=b0zx = a cos b.y=07、指出下列方程所表示的曲线（1） I X2 + y 2 + z 2 = 25| x = 3（3）J x2 - 4 y 2 + z2 = 25 .I x = 3解：（1）圆；（2）椭圆；（2）|x2 + 4y2 + 9z2 = 30 .I z = 1（4） J y 2 + z

12、 2 - 4 x + 8 = 0 ; （5）I y = 4z 2=194x 2 = 0（3 ）双曲线；（4）抛物线；（5）双曲线.8、求曲线J y2+z2 2x = 0在xOy面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线I z = 3解：原曲线即：J y 2 = 2x 9，是位于平面z = 3上的抛物线，在xOy面上的投影曲I z = 3线为匕2 x 一 9x 2 + y 2 + z 2 = 19、求曲线J1在坐标面上的投影.z =2x 2 + y 2 =解：（1）消去变量z后得x 2 + y 2 =_,在xOy面上的投影为J4,它是中心在| z = 0原点，半径为归的圆周.2f 1- 1z =

13、 J3（2）因为曲线在平面z =-上，所以在xOz面上的投影为线段.J2,IxIM*；（3 ）同理在yOz面上的投影也为线段.J10、求抛物面y2 + z2 = X与平面X + 2y - z = 0的交线在三个坐标面上的投影曲线 方程.解：交线方程为|y2 + Z2 = X ，（1）消去z得投影卜+如+ 4Xy-X = 0 x + 2 y - z = 0 z = 0（2）消去y得投影卜2 + 5z 2 - 2xz - 4 X = 0，（3）消去X得投影p2 + z 2 + 2 y 一乙=0 .y = 0 x = 0习题651、写出过点M0 G23）且以n = h,2,1为法向量的平面方程.解：

14、平面的点法式方程为2（x -1）+ 2（y - 2）+（z - 3）= 0.2、求过三点A。,。,。） B（01,0）, C（0,01）的平面方程.解：设所求平面方程为ax + by + c + d = 0将A, B, C的坐标代入方程，可得a = b = c = -d，故所求平面方程为X + y + z =1.3、求过点（0,0,1）且与平面3x + 4 y + 2z = 1平行的平面方程.解：依题意可取所求平面的法向量为n = 3,4,2，从而其方程为3（x - 0）+ 4（y - 0）+ 2（z 一1）= 0 即 3x + 4y + 2z = 2.4、求通过x轴和点（4, -3, -1）

15、的平面的方程.解：平面通过x辄一方面表明它的法线向量垂直于乂轴，即A=0；另一方面表明它必通过原点，即D=0.因此可设这平面的方程为By+Cz=0.又因为这平面通过点（4, -3,-1),所以有-3B-C=0,或C=-3B .将其代入所设方程并除以B （B出），便得所求的平面方程为y-3z=0.5、求过点（1,1,1），且垂直于平面尤-y + z = 7和3x + 2y -12z + 5 = 0的平面方程.解：n = L-1, n = 3,2，-12取法向量n = n xn = 10，15,5,所求平面方程为1212化简得：2x + 3y + z - 6 = 0.6、设平面过原点及点（1,1,

16、1），且与平面x-y + z = 8垂直，求此平面方程.解：设所求平面为Ax + By + Cz + D = 0,由平面过点（1,1,1）知平A + B + C + D = 0,由 平面过原点知D = 0， n 1,-1,1,.侦- B + C = 0 = A = -C,B = 0，所求平面方程为 x 一 z = 0.7、写出下列平面方程：（1）xOy平面；（2）过z轴的平面；（3）平行于zx的平面；（4）在x，y，z轴上的 截距相等的平面.解：（1）z = 0 ,（2）ax + by = 0（ a, b为不等于零的常数），、（3）y = c （c 为常数），（4）x + y + z = a（

17、a 0）.习题661、求下列各直线的方程：（1）通过点A（-3,0,1）和点B（2,-5,1）的直线；（2）过点&,1,1）且与直线三=工=三平行的直线.234（3）通过点M （1-5,3）且与x, y, z三轴分别成60。,45。,120。的直线；（4）一直线过点A（2, -3,4），且和y轴垂直相交，求其方程.（5通过点M （1,0,2）且与两直线 土！ = Z = 1和三=三 =1垂直的直线; TOC o 1-5 h z 11 11 10(6 )通过点M (2,3,5)且与平面6x 3 y 5z + 2 = 0垂直的直线.解：（1）所求的直线方程为：三3 =二=三即：三3 =上=三，亦即

18、 2 + 3 505 50 x + 3 y z 一 1=.1 10（2）依题意，可取L的方向向量为s = 2,3,4），则直线L的方程为 七！=匕1 = 三.234（3）所求直线的方向向量为：tos60。,cos45。,cos120=-, -1，故直线方程为： I 2 22 I（4）因为直线和y轴垂直相交，所以交点为B（0,3, 0）,取s =淑=2,0,4,所求直线方程x 2 _ y + 3 _ z 4 .204（5） 所求直线的方向向量为：bjJx S,T,0=七LT,2，所以，直线方程为：x 1 y z + 2 =.112（6） 所求直线的方向向量为：职,-3,-5，所以直线方程为：x2

19、 = 2 =旦5.6-3-52、求直线Jx + y + z = 1,的点向式方程与参数方程.I 2x y + 3z = 4解在直线上任取一点（x ,y ,z ），取x = 1 nJ0z ,解y = 0,z = 2.0 0 0，0 I y 3 z 6 = 00000所求点的坐标为（1,0,-2），取直线的方向向量is = ,1,1Ix ,-1,3= 12J k11 = 4i J 3k，所以直线的点向式方程为：1 3导=写=亏令亍=写=音=t,则所求参数方程-二冒z = 2 3t3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.（1）x - 2

20、 j + 2 z - 0 与 I x + 2 j - z -11 = 0 3x + 2 j - 6 = 0 12x + z -14 = 0 x = tc - i X 1 (2) j = 2t +1 与=z = t 2475解：（1）将所给的直线方程化为标准式为亨=3 = 4.二直线平行又点（2，30）与点（72,）在二直线上,向量7 3,2-3，0 = ?，5，0平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：242 4 IL 2,3,4k11，5,0 =，5,22,19，从而平面方程为 245(x 7) 22(j 2) +19(z 0) = 0，即 5x 22j +19z + 9 = 0.1 3

21、 0（2）因为1丰2主三，所以两直线不平行，又因为A= 1 2 1 = 0，所以两直线相交，4 7 5A r u4 7 5二直线所决定的平面的法向量为S,2 - 1x *,7,-5=七3,1,-1，.二直线所决定的平面的方程为：3x-j + z + 3 = 0 .设两直线的夹角为中，则23 TOC o 1-5 h z cos 中=_.=42 + 72 + (5)2 (12 + 22 + (1)26154、判别下列直线与平面的相关位置:(1)3 = =-与4x 2j 2z = 3 ；(2)x =二=与3x 2j + 7z = 8 ；2 733 2 7；15 x 3 j + 2 z 5 = 0 .

22、(3)与4x 3j + 7z 7 = 0 ；2 x j z 1 = 0 x =(4 ) y = 2t + 9 与 3x - 4) + 7 z 10 = 0. z = 9t 4解 1 ). (2) x 4 + (7) x (2) + 3 x (2) = 0，而 4 x 3 2 x (4) 2 x 0 3 = 17 丰 0 ,所以，直线与平面平彳丁.(2) 3 x 3 2 x (2) +17 x 7丰0,所以，直线与平面相交，且因为| =二| = 7 , 直 线与平面垂直.(3 )直线的方向向量为：*5,3,2x z,1，1=志，9 , 4 x 5 若 a x b = b x c 且 b 丰 0，

23、贝U a = c ；( x )解析 此结论不一定成立.例如a = i , b = j , c = (i + j),则a x b = i x j = k , b x c = j x (i + j) = k , a x b = b x c，但a 丰 c . 3、若 a c = 0，则 a = 0 或c = 0 ; x 9 + 7 x1 = 0，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点M (2,5,0)，显然点在M (-2,-5,0)也 在平面上(因为4 x (2) 3 x (5) 7 = 0)，所以，直线在平面上.(4)直线的方向向量为,2,9， 3 x1 4 x (2) + 7 x 9丰

24、0 直线与平面相交但不垂直.复习题A一、判断正误：1、若 a b = b - c 且 b 丰 0，则 a = c ；( x )解析 a b b -c = b -(a c) =0 时，不能判定b = 0 或a = c .例如a = i , b = j ,(x)c = k，有 a - b = b - c = 0，但 a。c .解析两个相互垂直的非零向量点积也为零.4、a x b = -b x a .( V )解析这是叉积运算规律中的反交换律.二选择题：1、当a与b满足(d)时，有a+b=a+bi ；(A)a b ；(B) a = xb (人为常数)；(C) a 11 b ；(D) a -b = |

25、a|b .解析 只有当a与b方向相同时，才有|a+b| = |a|+|b| .(A)中 a , b夹角不为0,(B), (C)中 a ,b方向可以相同，也可以相反.2、下列平面方程中，方程(C )过y轴；(A)尤 + y + z = 1 ； (B)尤 + y + z = 0 ； (C) x + z = 0 ； (D) x + z = 1 .解析 平面方程Ax + By + C + D = 0若过y轴，则B = D = 0，故选C.3、在空间直角坐标系中，方程z = 1 - x2 - 2 y2所表示的曲面是(B )；(A)椭球面；(B)椭圆抛物面；(C)椭圆柱面；(D)单叶双曲面.解析 对于曲面

26、z = 1 - x2 - 2y2 ,垂直于，轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x轴或y轴 的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面.4、空间曲线z = x2 * y2 - 2,在xOy面上的投影方程为(C )；I z = 5(A) X2 + y2 = 7 ； (B) x2 + y2 =7 ；(D)I解析 曲线|X 2 + y 2 = 7与xOy平面平行，在xOy面上的投影方程为JX 2 + y 2 = 75 .直线三Z1 = y = 1与平面X - y + z = 1的位置关系是(B ). TOC o 1-5 h z 21-1nn(A)垂直； (B)平行；(C)夹角

27、为-；(D)夹角为-.44解析 直线的方向向量s =2,1, -1，平面的法向量孩=1,-1,1, s -n =2-1-1=0 , 所以，s -L n，直线与平面平行.三填空题：1、若 Hl =、2，(他)=n，则 |a x b = 2 , a - b =0；人解 a xb = |a|bl sin(a,b) = 2 sin - = V2 , a - b = |a|b| cos(a,b) = x/2cos - =0 .2、与平面x - y + 2z - 6 = 0垂直的单位向量为161,-1,2.6；解 平面的法向量n =1,-1, 2与平面垂直，其单位向量为n0 = 1 + 1 + 4 = V

28、6 , 所以，与平面垂直的单位向量为W1,-1,2.3、过点（-3，1，-2）和（3,0,5）且平行于x轴的平面方程为7 y + z - 5 = 0解 已知平面平行于x轴，则平面方程可设为By + Cz + D = 0，将点（-3,1, -2）壬rim n 匚、/4 x 仁壬口 若 B 2C + D = 0, 不U(3,U, 5)1代入万不王，有5c + d = 07B = D,715 得-Dy - - Dz + D = 0 ,C = -D,5554、过原点且垂直于平面2y-z + 2 = 0的直线为三=y =-z ;0 2解 直线与平面垂直，则与平面的法向量n =0,2, -1平行，取直线方

29、向向量, ,. xys = n =0,2, -1,由于直线过原点，所以直线方程为 石=令=-z .5、曲线= 2X2 + y2,在xOy平面上的投影曲线方程为|2X2 + y2 Tz = 1 z = 0.解：投影柱面为2X2 + y2 = 1，故+ y2 T为空间曲线在xOy平面上的投影曲线方程.四、解答题：1、已知 a = 1,-2,1 , b = 1,1,2,计算(a) a x b ； (b)(2a - b) - (a + b) ； (c)a - bF ；ijk解:(a) a xb = 1 - 2 1 = -5-13.112(b) 2a-b = 2,-4,2 1,1,2 = 1,-5,0

30、, a + b = 1,-2,1 + 1,1,2 = 2,-1,3, 所以(2a -b) - (a + b) = 1,-5,0 2,-1,3 = 7 .(c) a -b = 1-21 - 1,1,2 = 0-3-1，所以|a -b|2 = (9 +1)2 = 10 .2、已知向量pp的始点为（2,-2,5），终点为p（-1,4,7），试求：（1）向量pp的坐标表示；向量P1 p的模；（3）向量P1 p的方向余弦；（4）与向量P1 p方向一致的单位向量. TOC o 1-5 h z 解 ：(1) pp = (-1 - 2,4 - (_2),7 一5 = (-3,6,2；(2) p p = J(3

31、)2 + 62 + 22 = V49 = 7 ；pp在X, y, z三个坐标轴上的方向余弦分别为362cos以=一 ,cos P= ,cosy =；777 ；pp- 3i + 6j + 2k362 .(pp )。= f =*= - i + -j + k .i 2 职 77773、设向量a = h,-l , b = 1,1,1，求与a和都垂直的单位向量.解：i jk令c = a xb = 1 -11 = o,2,2,1 1-11c = c/故与a、b都垂直的单位向量为c o = 0,4、向量d垂直于向量a = 2,3,-1和b = 1,-2,3，且与c = 2,-1,1的数量积为一 6 ,解：d

32、垂直于a与b，故d平行于a x b，存在数人使d =人x b ）=人2,3,-1 x 1,-2,3 = 7人,一7人,一7人因 d - c = -6 ,故 2 x 7入 + (-1) x (-7入)+1 x (-7入)=-6 , X = - ,3.d = -3,3,3.5、求满足下列条件的平面方程:过三点p(，l，2) , P2 (1,2,1)和弓(3,0,4) ;(2)过%轴且与平面J如+ 2 y + z = 0的夹角解解1 :% - 0用三点式.所求平面的方程为1-03 - 0% - 5 y - 4 z +13 = 0 .解2:用点法式.PP=1,1,-1/P P3=3,T，2，由题设知，

33、所求平面的法向量为ijk11-13-12=i - 5/ - 4k ,n = PP x PP =1 21 3又因为平面过点4(0,L2),所以所求平面方程为(% - 0) - 5(y -1) - 4(z - 2) = 0，即% - 5 y - 4 z +13 = 0 .解3 :用下面的方法求出所求平面的法向量n = (A,B, C,再根据点法式公式写出平 面方程也可.因为n PP ,n PP ,所以二A + B-泊入解得B = -5A,C = -4A，于是所求1 21 33 A B + 2C = U,平面方程为A(% - 0) - 5A( y -1) - 4 A( z - 2) = 0，即 %

34、- 5 y - 4z +13 = 0 .(2 )因所求平面过%轴，故该平面的法向量n = A,B,C垂直于%轴，n在%轴上的 投影A = 0，又平面过原点，所以可设它的方程为By + Cz = 0，由题设可知B。0 (因为 B = 0时，所求平面方程为Cz = 0又C。0，即z = 0 .这样它与已知平面气5% + 2 y + z = 0 所夹锐角的余弦为0 x 必 + 0 x 2 + 1x1,所以B。),令，=C,，则有B1 n 1 公 cos V02 + 02 + 12 ：(0 + 22 + 12103 2 y + Cz = ，由题设得“ x 焰 + 1 x 2 + Cx 1cos = ,

35、. _,32 + 12 + C，2 ：(.(5)2 + 22 + 12解得C = 3或C = -3，于是所求平面方程为y + 3z = 或3y - z = .6、一平面过直线jX + 5y + z = 0,且与平面x-4y-8z +12 = 垂直，求该平面方程; x z + 4 0解法1 ：直线x + 5y + z = 0,在平面上，令x =0 ,得y = -4 , z =4 ,则(0 ,-4 , x - z + 4 = 05， 一，54)为平面上的点.设所求平面的法向量为n = A,B, C相交得到直线的两平面方程的法向量分别为n广1,i j k5,1, n =1,0, -1,则直线的方向向

36、量s = n x n = 1 51 =-5 ,2,-5，由于之12 1 0 -1所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即s - n =-5 , 2 , -5A, B, C = - 5A + 2B - 5C =0 ,因为所求平面与平面 x - 4 y - 8 z +12 垂直，则A, B, C - 1,-4,-8 = A - 4B - 8C =0,解方程组 5A - 2B + 5C = 0,= J A = -2C,A - 4 B - 8C = 0, B = -： C,2所求平面方程为2C(x 0) C(y + ) + C(z 4)= 0 即 4x + 5 y 2z +12 0 .25解法2:用平面束(略)7、求既与两平面兀1:x-4z = 3和兀2 ： 2x- y -5z =1的交线平行，又过点(-3,2,5)的 直线方程.解法 1： n = 1,0, 4 , n =2,-1, -5), s