《1.3.1圆幂定理》教学案1

1、1.3.1圆幂定理教学案教学目标1知识与技能：（1）理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；（2）学会作两条已知线段的比例中项；2过程与方法：师生互动，生生互动，共同探究新知；3情感、态度、价值观：通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法教学重、难点重点：正确理解相交弦定理及其推论难点：相交弦定理及其推论的熟练运用教学过程前面讨论了与圆有关的角之间的关系.下面我们讨论与圆有关的线段的关系及其度量问题.下面沿用从特殊到一般地思路，讨论与圆的相交弦有关的问题.探究1如图2-20,AB是0O的直径，CD丄AB.AB与CD相交于P,线段PA、PB、PC、PD之间有什么

2、关系？PAPB=PCPD.（老师引导学生完成推导过程）探究2将图2-20中的AB向上（或向下）平移，使AB不再是直径（图2-21），探究1的结论还成立吗？连接AD、BC,请同学们自己给出证明.探究3如果CD与AB不垂直，如图2-22,CD、AB是圆内的任意两条相交弦，探究1的结论还成立吗？事实上，AB、CD是圆内的任意相交弦时，探究1仍然成立，而证方法不变.请同学们自己给出证明.由上诉探究和论证，我们有相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等探究4在图2-24中，使割线PB绕P运动到切线的位置（图2-25），线段PA（或PB）、PC、PD之间有什么关系？PA2=PCPD.（老

3、师引导学生完成推导过程）由上诉探究和论证，我们有切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线由切割线定理和相交弦定理不难看出，不论点P在圆内或圆外，通过圆的任条割线交圆于A，B两点，只要点P的位置确定了，则PAPB都是定值.设定植为k贝y：当点P在圆外时，如图，由切割线定理，可得k=PAPB=PT=P02-丫2（r表示0O的半径）当点P在圆内时，如图，过点P作AB垂直于0P,贝y：k=PAPB=PA已知：00和不在00上的一点P,过P的直线交00于A、B两点，若PAPB=24,0P=5,则00的半径长为.若PA为00的切线，A为切点，PBC割线交00于B、C,若B

4、C=20,PA=io希，贝怦C的长为.AB、CD是00切线，ABCD,00的切线EF和AB、CD分别交于E、F,贝ZE0F=r2PO2（r表示00的半径）当点P在圆上时，显然k=0.由上，我们可以得到：圆幂定理：已知0（0，r）,通过一定点的任意一条割线交圆于A，B两点，贝9：当点P在圆外时，k=P02-r2；当点P在圆内时，k=r2-P02；当点P在00上时，k=0.我们称定值k为点P对00的“幕”【自主检测】1.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4,则另一弦长为【例题解析】例1.已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段，第二条弦的长度为32cm

5、，求第二条弦被交点分成的两端的长.解：设第二条弦被交点分成的一端长为xcm,则另一段长为(32-x)cm,根据相交弦定理，有x(32-x)=12X16，即x2-32x+192=0.解得%厂8或x2=24.因此32-x1=24，32-x2=8.另一条弦被交点分成的两端长分别为8cm，24cm.例2已知：线段a,b(如图)求作：线段c，使c2=ab.作法：1.作线段AP=a；2延长AP到点B使PB=b；以AB为直径作半圆；过点P作PC丄AB,交半圆于点C.PC就是a,b的比列中项c.例3已知如图，在0O中，C是0O上异于A,B的一点，弦AB的延长线与过点C的切线相交于P,过B作0O的切线交CP于点D,且ZCDB=90,CD=3,PD=4.求0O的弦AB的长.因为ZCDB=90,PD=4，所以解：因为DC切0O于点C,DB切0O于点B,所以CD=BD=3,PB=JBD2+P