几何专题-辅助线

1、 几何专题辅助线平面几何是初中教学的重要组成部分，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但许多初中生对几何证实题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证实题，往往束手无策。一、辅助线的定义：为了证实的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。二、几种常用的辅助线：连结、作平行线、作垂线、延长等注意：1）添加辅助线是手段，而不是目的，它是沟通已知和未知的桥梁，不能见到题目，就无目的地添加辅助线。一则没用、二则辅助线越多，图形越乱，反而妨碍思考问题。2）添加辅助线时，一条辅助线只能提供一个条件三、正确添加辅助线歌人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？

2、把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证实有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度

3、的计算，勾股定理最方便。要想证实是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆假如碰到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证实题目少困难。辅助线，是虚线，画图注重勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时把握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。几

4、何证题难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线；线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘；全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办；四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线；两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便；非凡角、非凡边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，数学建模帮你忙；圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，碰到直径周角连；切点圆心紧相连，切线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦；切割线，连结弦，两圆三圆连心线；基本图形要熟练，复杂图形多

5、分解；以上规律属一般，灵活应用才方便。五、总结常见添加辅助线的方法（一）定义类：1、和角平分线有关的问题，通常可以作这个角的两边的平行线例1：在厶ABC中，AD是ZBAC的角平分线，与BC交于D,求证：AB:AC=BD:CD解析：这个习题的证实方法很多，但均离不开添加ZBAC的两边的平行线。过D做DEAC与AB交于E。过D做DFAB与AC交于F。过B做BHAC与AD交于H。过C做CGAB与AD的延长线交于Go2、如遇垂直平分线的问题，往往构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质解题例2：已知在三角形ABC中，BD,CE分别是AC,AB边上的高，G、F为分别为ED、BC的中点，求证：FG丄ED分析：

6、G是ED的中点，要证实FG丄ED，说明FG必为ED的垂直平分线，自然考虑添加辅助线DF与EF,只要证得DF与EF相等，就可利用等腰三角形的三线合一定理推出结论。（二）、梯形问题。梯形没有平行四边形、矩形等特殊四边形有那么多性质，所以有关梯形的证明题、计算题，常有一定的难度，假如能巧借辅助线，则能有效地化难为易。1、移腰Q、移动一腰例1：梯形两底长分别为14cm和24cm,下底与腰的夹角分别是60和30，求较短腰长。解析：如图，在梯形ABCD中，AD/BC,AD=14cm,BC=24cm,ZB=60,ZC=30o过点A作AE/DC交BC于E,得到平行四边形AECD和厶ABE,故AE=DC,AD=

7、EC,ZC=ZAEB=30。这样，梯形的两腰，两底之差，下底与腰的两个夹角都集中于RtABE中，于是得到较短腰。、移动两腰例2：如图，梯形ABCD中，AD/BC,E、F分别是AD、BC的中点，且EF丄BC。求证：ZB=ZC。 #分析：过点E作EM/AB,EN/DC,分别交BC于点M、N。梯形两腰、下底与腰的两个夹角集中于AEMN中，由E、F分别是AD、BC的中点轻易得到，又由EF丄BC,得EM=EN,故ZEMN=ZENM，所以ZB=ZCo # #2、移对角线例3：已知梯形ABCD中，AD/BC,AB=DC,对角线AC、BD互相垂直，梯形的两底之和为8。求梯形的高与面积。 # #解析：过点D作D

8、E/AC交BC的延长线于点E,过点D作DM丄BC于点M,这样得到平行四边形ACED，所以AC=DE,AD=CE。由AC丄BD,得BD丄DE。这样将两对角线，两底和，两对角线夹角集中于ABDE中。轻易得到DM为等腰直角BDE的BE边上的高，所以，即梯形的高为4o # #3、移底例4：如图，梯形ABCD中，AB/CD,E为腰AD的中点，且AB+CD=BC。 求证：BD丄CE。分析：延长CE交BA的延长线于点F,因为点E为AD的中点，可得DCEAAFE,故CE=FE,CD=AF，由AB+CD=BC，得BC=BF，故BE丄CE。4、作高例5：如图，在梯形ABCD中，AB/CD，两条对角线AC=20cm

9、,BD=15cm，梯形高为12cm,求梯形ABCD的面积。解析：此题有两种解法。法一：如图6，分别过点C、D作CE丄AB于点E，DF丄AB于点F，得矩形DCEF，在RtACE中，AC=20cm，CE=12cm，可得AE=16cm。同理BF=9cm，显然BF+AE=AB+CD=25,可求梯形面积为。如图6法二：如图7,过点D作DE/CA交BA的延长线于点E,过点D作DF丄BA于点F，在RtADEF中，DE=AC=20cm,DF=12cm,由勾股定理可得EF=16cm。同理，FB=9cm,所以AB+CD=AB+AE=EF+FB=25，进而求得梯形面积为。Eg通过添加辅助线，将梯形问题转化为平行四边

10、形和三角形问题，从而解决问题。梯形添加辅助线的规律可归纳为以下几点：1、当两腰具备非凡关系时，移腰，构造等腰三角形或直角三角形。2、当涉及面积时，作高，构造直角三角形。3、当涉及腰的中点时，可添加辅助线构造全等三角形。4、当涉及两底的和或差时，可灵活利用上述三点，将两底移到同一直线上。（四）涉及到圆的辅助线可以归纳如下：遇有直径，常把圆上的一个点和直径的两个端点连接，构成直角三角形；有关弦的问题常做弦心距和将圆心与弦的两个端点连接；两圆相切或相交，贝何以按以下规律进行：“相切做条公垂线，相交做条共弦；相切相交连心线，必定过切点，垂直公共弦”。例、，是圆中的两弦，相交于，且丄，求证：等于定值。例

11、：已知直角4中，Z96，以为圆心，长为半径画圆交斜边于，求的长。解：过作丄于依垂径定理有由勾股定理得 )Cs答：长为例3：已知在中以为直径作。交证明：连结、为。的直径Z即Z丄=Z丄Z丄VZ丄丄。，9ZZ。丄/在0上：丄丄是0上是0的切线。例4：已知和0相切于，交0于、,丄，为垂足。求证:XX分析：要证XB,P，X,只要证=即要证由于，问题转化为证：X。在这里就想要到连，由，只需要X。而是切线，即丄，又丄，有X，成立.例5：如图0和0相交于、，在0上取一点，连结，,交0于,、丄两点，求证与过点的切线平行。证明：连接/在。上/所以丄,又乙.-.Z例6如图，已知O和。相切于过证明：过切点作外公切线A

12、Z丄丄作大圆的弦为。的切线/分别交小圆于丄同理/为了便于记忆，把上述六例编一个顺口溜：与圆有关辅助线加添规律人可循遇弦就添弦心距遇有直径找直角。 切线切点连圆心，两圆连心关系好。相切两圆公切线相切两圆公弦妙解题方法有多样并非一定限此道。（五）和线段的中点有关的问题往往可以联系到三角形和梯形的中位线例如：如图四边形ABCD是圆的外切四边形，其周长是S,E,F分别是AD,BC的中点，求证：4EFWS证实方法：连接AC,N是AC和EF的交点1）若N是AC的中点，则EFDCAB,四边形ABCD是梯形，那么EF是梯形ABCD的中位线，则有4EF=2（DA+BC）=AB+BC+CD+DA=S2）若N不是A

13、C中点则可以做出AC的中点M,连接EM,FM,则有2EM=DC,2FM=AB,从而可以得出4=2=S，而在三角形EMF中EFEM+MF,可得4EFVS。（六）暗示类：1、截长补短：一条线段等于另外两条线段的和差。例如：已知RtABC中，ZC=90,AC=BC,AD是ZBAC的角平分线，求证：AB=BC+CD方法一：截长，在AB上截取AE等于AC,连接DE从而就有了AEDAACD,可得DE=DC,因为zc=Z90,从而又可得Abed是等腰三角形，因此有de=dc=be,得出ab=ac+cd方法二：补短延长AC到F,使CF=CD,连接D、F,可证ABDAFD,可得AF=AB,得出结论。2、当比例式

14、不能直接证实时，往往可以考虑“中间比”或等线段，为此往往需要添加平行线或寻找等线段实现这种比的转移。例：已知在三角形ABC中，D在CB的延长线上，E在AC上，BD=AE,DE交AB于F,求证：DF:EF=AC:BC。AB分析：所证实的四条成比例线段，构不成两个相似三角形，因此考虑作EGAB,将DF:EF转化为DB:BG,最后转化为AC:BC。A3、一条线段等于另外一条线段的倍分。例：已知在三角形ABC中，ZB=2ZC,AD为高，E为BC的中点，求证：AB=2DE。证：取AC中点F,连接EF，DF，则EF为中位线，且EFAB、ZFEC=ZB=2ZC，在直角三角形ACD中，F是斜边AC的中点，所以有DF=CF、可得ZDEF=ZC，即有2ZFDC=ZFEC,从而有ZEFC=ZFD