我的大二下电磁波旧版

1、主讲：五136109 F / m0RF 4定律R30 q电场强度rEqQs 静电场的定理s0E l静电场的电位E dl 02lexum 2 0 E 0 E0电偶极子介质极化电荷介质定理介质中的场方程静电场边界条件电位微分方程3lexum电偶极子 一种电荷分由间距很小的一对等值异号的点电荷所的由迭加原理，r处产生的电位为：q4011 r()lr 2因为，故可将上式开，略去一些次要项，：1r l1r l11(1r)(1)r2 r 22 r 2l2lr r 2l称为电偶极子的矩，简极矩4lexum r4 r 3 0r l2电偶极表示偶极子的大小和空间取向它定义为荷q乘有向距离l电偶极子的电场E 电场

2、强度与电位关系：5lexum 1 3 13 rEr p4r 53 43 r 200 r4 r30BBB( A )B Ax x Ay y Az z( A B) B ( A) (B ) A A( B) ( A )B E r p r4 r30r 1 , ql是r3rp球坐标下电极子的电场强度： p球坐标系:az p cospsinrNote1：电偶极子的电位电场分别与r 2 和r3 成反比；而点电荷的电位和电分别与r和 r 2成反比；这是由于电偶极子的正负电荷在远场的贡献有一部分相互抵消。Note2：电偶极子的场分布具有轴对性6lexumpE a 2 cos a sin4 r 3r0外电场对电偶极子

3、的作用q当电偶极子放入外电中，其两端均受到电力的作外电场对电偶极子总作用力 ll F qEr2 2 -q如果外电场是均匀的，即E 处处相等，F 0则电偶极子所受的力显然，电偶极子中心不会发生位移。7lexum F qE r l q2 E E rl q2 外电场电偶子中心的力矩q FM l 2lq l2 E lllq E r q E r 22 2 ql E -q pE 0 0显然，M故电偶极子将围其中心转动，直至M即 p 的取向与电场方向平行8lexum从电特性讲，物有导电与不导电之分：导电的物质之为导体：其有大量电荷，在外电场作用下可做宏观运动。不导电的物质(绝缘)称为电介质或介质：介质中的带

4、电粒子被约在介质分子中，不能做宏观运动，在外加电场作用下介质内带电粒子会做微观位移，使分子产生极化。9lexum介质的分子可分为两类：正、负电荷中心不合，其本身即为一个电偶极子，具有固有偶极矩，这类子称为有极分子。没有外电场时固有偶极矩的取向是随机的，所有偶极子的作用相互抵消，对外不显电性。在外加电场的作用下每个分都受到一个力矩，向外电场方向转动，但由于热动和分之间的相互作用，并不是所有的分子都转到与电平行的向，这样，每个分子在电场方向有一平均偶极矩正、负电荷中心在无外电场时合，偶极矩为0，称为无极分子。在外电场作用下，分子的正、负电荷受电场力的作用而在电场方向上发生相对位移，这时分子相于两个

5、等量的正、。负电荷离开一个小距离，一个电偶极10lexum不论是有下，其分子还是无极分子的介质，在外电场作用分子中的、负电荷都沿电场方向重新排列，形成一系列等效偶极子，这种现象叫介质的极化。在一定的外电场下，在不同外电场作用下的同介的极化程度不同；同一介质化程度不同。为定量描述介质的极化程度中 处的极化强度定义为该处引入极化强度矢量 ，介质体积内的偶极矩，即： 2 p limVV011lexum在各向同的外电场强的电质中，某点处的分子平均偶极矩与该处成正比，而在很小的体积元内，可看作是均匀的，故电极化强度矢量也与该处的电场强度成正比，可表示为：P E0e其中 xe称为介质的电极化率是一无量纲的

6、常数。Note：若介质是非各向同性，则 p 与电场方向不一致， 不成立，故 p 与EEp不同向；12lexum介质极化，其电荷的重新排列，出现沿电场方向的一列等效电偶极子。若外电场和介都是均的，则电偶极正负电荷相子排列的结果使介质互抵消，在介质表面出现一面电荷。若介质或外加电场不均，则介质出现体电荷，这些电荷被紧地在电荷。分子内，不能移动，称为电荷在空间激发电场，介质中的总电场是外加电场与电荷产生的场之和，因此，介质中的电场。的电场不同于真空13lexum设极化介质的体为V，表面积是S，极化强度是P，现在计算介质外任一点的电位。在介质中r处取一积元V， 因|r-r|远大于V的线度，故可将V中介

7、质当 一偶极子，其偶极矩为p=PV，它在r处生的电位是 P(r )V rr(r) 43r r 0则V内所有电偶极子产生的电位： P(r ) (r 1r ) dV V(r) 43r r 014lexum表示对源微分运算.坐标的微分运算，而表示对场点坐标的 1 4V0S是包围体积V表面，n是S的 P1P1外法线矢量。SV dV dS 4141rrrr00 PP nSVdS dV 44rrrr0015lexum11P P P u A uA1P Vd利用 1 1 r r 3r rr rr r回顾分布荷电位：体电荷电位r(r) 面电荷电位 由电荷的电位可知 相当于面电荷密度P相当于体电荷密度16lexu

8、m1P n dS4S0 rr1 PVdV 40r r1 s (r ) ds 40S r r 1 r ) dV V40定义：介极化在其表面出现的面电荷密度和其内部产的体电荷密度分别为： P nS p PpNote：略去算符上一撇是因此处只涉及源点坐标，不会引起。电荷的电位表达式pS p 114SV SdVd40rr0rr17lexum在以上分中，是以场点选在介质外部为出发点引出的，但得到的结果对算也同样适用；极化介质任一点的电位计通过电位表达式可以求出极化介质产生的电场；此处得到的电位电场是仅考虑的，空间的总电场需要再加上生的场。电荷的贡献而得到电荷(外加电荷)产18lexum例1 一个半径为a

9、的均匀极化介质球，极化强度是P0 az ，求极化荷分布及介质球的电偶极矩。解取球坐标系，让球位于坐标原点，则：cos )zdS a2 sin d d (r) P(r) 0极化电荷体密度为SPcos P nP0 az ar P0极化电荷面密度为p D rdq分布电荷对于原点的偶极矩： 积分区域D是电荷分布的区域， 因此 prdSSPS4 a3p az：P0319lexum介质中的电场是电荷和电荷共同激发的；极化介质可合，所以介质看作有秩序地排列在真空中的电偶极子的集化的效可认为在真空中相应位置上放置荷。了与电荷数值相等的dQ 1 0E pS其中Q为S内的Qp电荷；Qp为S内电荷 p dV PV

10、dSVVSQ1SSP dS S(0 E P) dS QE dS 0021lexum电感应强度 0感应强P/米称为电位移或，是介质中的定理，其意是：电位移矢量D 穿过介质中某一闭合曲面S的量等于S内包围的电荷。 D dS 0在真空中，由于，则，此时上式为P 0真空中的空中的定理，所以它是定理的一般形式，真定理只是它的一个特例22lexum微分形式真空中介质定理微分定理式中的电荷是指电荷。在电介质中，极化介质产生的定理的微分形式写为场等效于电荷的影响， 1 ( PE)Pp0 D (0 E P) 电位移矢量（电感应强度矢量）D 0 E P显然，其散度即为电荷密度23lexum介电常数极化强度表征电介

11、的极化性质，它与电场强度之间的关系是由介质关系。固有特性决定的，这种关系称之为组成若P与E同向，则称之向异性介质；若P与E成正比，则称之为线介质。各向性介质，反之，称之为各介质反之称之为非线性实际上，大多数介质都是线形各向性介质24lexum系： 0e E各向同性线性质的组成关其中，e为极化率，量纲，从而有：D 0E P 0E 0 xe E 0 1 xe E r EE0 r0 r而 1xe为介质的对介电数，称为为法拉/米 0,r 1, 0介电常数，在真空中xe。当电荷分布具有某种对称性时求解介质中的场。可应用介质中的定理25lexum例2 在个半径为a的导体球面上均匀分布着总量为Q的电，其周围

12、充满均匀介质，介电常数为，求介质中一点的 D, E，以及球与介质的交界面上体电荷密度p。的电荷，以及质内解由对称性知，D 是球对称的，且指向ar方向。面S，由如图做定理：SD darQ4 r 2Dar E Qar4 r 2D 4 r 2 Q D S aQQQ4rrrr rdrrrd4r 24r 226lexumQar4 r 21 1 PQar4 a21P D E 1r a0r r球面上电荷度为a11 rQ4 a2 PnParS p S p Sr1 1dS S QpSpSpSSSrrr 21 P Qa1Q2 r 2 1p4 r 24r rrNote：介质中 E,与真空中的区别仅于将o换成，如果已

13、知某种电荷分布在真空中的场将o换成即得该电荷分布在介质中的场27lexum例3一无限长同电缆，中间有二层介质 1,2，内、外导体分别带有 l间的电位。的电荷，尺寸如图，求内外导体解在介质1中，图选面lD 2 rh h D1 2 r ar1llE1lE2 22arrarrU 同理21cbcE drE dr E2 dr1aabl2 1rl2 2rbcdrdrabl 1 ln b ln c 12 b a 1228lexum静电场是（穿过闭合种矢量场，场的性质由场矢量通量特性面的通量）和环量特性（沿闭合曲线积分）描述。静电场的这两种特可表示： D d静电场是 0源场，场源即为电荷S静电是保守ldEl另

14、外，场又与介质的特性有关： 介质的本构方程此程为描述静电场特性的积分形式的基本方程29lexum微分形式的场方程由散度定理 dS d dV D dV Q 0DSVVV因为V是任意的S 0l由公式lS因为S是任意的静电场的微分形式的基本方程组30lexumD E 0 E 0D 如果电场存在两种或两种以上的介质，由于极化效应，在不同介质的交界面产生一层面电荷，这层面电荷在分界面两边产生的场是一样的，因此在分界面上电场强度和电位移都将发突变。介质分界面上各个场量发突变的规律即为边界条件。推导边界条件应从积分形式的基本方出发 D dl 0Sl31lexum电场强的边条件在界面上某点处取合矩形回路l，其

15、长边分别位于介质1和介质2中，紧贴界面，即 h0；t为该点处切线方向n为该点处法线方向，显然有 t / l矢矢量；nt界面两侧的电场强度分别静电场电场强度满足：E , E12介质2l 0l介质132lexum由于h0，路径l在h方向的两条边上的积分0由于l足够小，电强度在 l 上可看作；l lE dlE1 dlE2 dll12 lE1 t dlE2 (t )dll12 E1 t l E2 t l E1t E2t l 0 E1t E2t在介质交界面上，电场强度的切向分量连续33lexum 12电位移边界件设界面上某点处取个很小的柱面S，两底面分别处于介质1、2中，其底面积为S矢量 n 从介质1指

16、向介质2；法向柱面侧面平行于 n柱面上下底面紧贴界面h0界面两侧的电位移分别为 D1, D2静电场电位移满足：n介质2 D dS介质134lexum由于h0，电位在侧面的积分0；S 很小，面上的位移可看作； SD1 dS SD2 dS 侧面 D dS QD dSS12D2D1 dS S dSS12D n dS D2 ndS1SS12D n D n S Q21Q为S所包含的电荷，若界面上有密度为s的电Q S S D2n D1n S荷，则电位移法向分量在有面电荷的介质交界面上不连续，在无面电荷的介质交界面上连续35lexumn (D2 D1 ) s导体的边界条件 0, D1n 0电场为0，因而E1

17、tn导体 S Dn S D2n E E 0 02tt在导体表面上：电场强度只有法向分量电位移的法向分量等于导体表面上的电荷密度36lexum电位的边界条件DD nnnnSnn紧贴边界的两点之间的电位：dh0hh2E 0E121n2n22137lexum 0 1 2 12S在导体与 在导体表面质的有界面上，因为导体表面是等位面，所以 另外，利用电位移法边界条件： D即在导体与介质分界面上：38lexum nS C nS C例4 同心电容器内外半径分别为a和b，其间填充两种介质，上半部分电常数为1 ，下半部分介电常数，内外导体带分别为q和-q，求各部分电位移为 2矢量和电场强解两极板间求解区的场分

18、需要满足介质分界面边界条件以及导边界条件。表面ar12由于内外导体是等位面，以假定b电场沿径向方向（通过边界条件验证）任取r，以r为半径作面S39lexumE E(r)ar由介质界面上电场强度切向分量连续的边界条件，可知在r处上两部电场强度满足：在面上应用定理12arb电位移矢量为：40lexumD1(r) 1E(r)D2 (r) 2 E(r)2 r 2 E (r) 2 r 2 E (r) q1122 2 r 2 E(r) q12 E(r) q2 r 212：S D dS QE1 (r)ar ar E2 (r)ar ar E1 (r) E2 (r) E(r)边界条验证介质边界上任取一，显然电场强度切向连续；电位移矢量向连续界面上无电荷）：导体边界上任取一点，显然电场强度无切向分量，即切向电场强度连续；内导体边界电位移矢量满足：41lexumqnD1 ar ar1E(a) 1 s12a212n a a E(a) 2q D2rr2 2 a2s 212D2n D1n 0根据静电微分方程。的微分形式的基本方程，可导出电位所满足的媒质中：D E D E E 在各向同性的均 E 电位定义：42lexum2泊松方程(Poisson)方