冀教版九年级数学上册《垂径定理》

1、垂径定理第二十八章 圆 第一页，共十九页。情景导入问题 赵州桥的半径是多少？ 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？第二页，共十九页。获取新知知识点一：垂径定理问题1 如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E沿着CD所在的直线折叠，你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？第三页，共十九页。OABCDE线段：AE=BE弧：AD=BD，AC=BC理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，根据前面的说理，点A与点B重合，AE与BE重合，AD和BD,AC与BC重合第四页，共十九页。OABCED证明:如

2、图所示,连接OA,OB.在OAB中,OA=OB,OEAB,AE=BE,AOE=BOE.AOC=180-AOE,BOC=180-BOE,AOC=BOC.如图所示,在O中,CD为直径,AB为弦,且CDAB,垂足为E.求证：AE=BE，AD=BD，AC=BCAD=BD.AC=BC.第五页，共十九页。垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.几何语言： CD是直径，CDAB， AE=BE, AC =BC,AD =BD.OABCDE第六页，共十九页。例题讲解例1 已知：如图， CD为O的直径，AB为弦，且ABCD，垂足为E. 若ED=2，AB=8，求直径CD的长.解：如图，连接OA.设O的半

3、径为r. CD为O的直径，ABCD， AE=BE. AB=8， AE=BE=4， 在 RtOAE 中，OA2=OE2+AE2， OE=ODED，即r2 = (r2)2+42. 解得r=5，从而2r=10. 所以直径CD的长为10.第七页，共十九页。获取新知知识点二：垂径定理的推论如图所示,在O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.【思考】(1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗?AD与BD(或AC与BC)相等吗?说明你的理由.(2)若AD=BD(或AC=BC),能判断CD与AB垂直吗?AE与BE相等吗?说明你的理由.第八页，共十九页。解:(1)CDAB, AC=BC(或AD=BD).理由

4、是:连接OA,OB,如图所示,则OAB是等腰三角形,AE=BE,CDAB.由垂径定理可得 AC=BC，AD=BD. (2)CDAB,AE=BE.又OA=OB,AE=BE,CDAB.理由是：AD=BD,AOD=BOD,第九页，共十九页。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理推论1几何语言：OABCDE你还有其他的结论吗？你发现了什么？ CD是直径，AE=BE， CDAB, AC =BC,AD =BD.第十页，共十九页。平分弦（不是直径）的所对的两对弧，则垂直平分这条弦.垂径定理推论2OABCDE几何语言： CDAB, AE=BE, CD是直径，AC =BC，第十一页，

5、共十九页。垂径定理的本质是:知二得三（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分不是直径的弦（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧第十二页，共十九页。例题讲解例2 解决求赵州桥拱半径的问题：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m第十三页，共十九页。解得R27.9.ODABCR在RtOAD中

6、，由勾股定理，得即 R2=18.72+(R7.2)2因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m.OA2=AD2+OD2OD=OCCD=R7.2AB=37.4 m，CD=7.2 m，在图中第十四页，共十九页。随堂演练1.如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，下列结论不成立的是()ACMDM B. CBDBCACDADC DOMMBD第十五页，共十九页。2.如图，AB是O的弦，AB的长为8，P是O上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OCAP于点C，ODPB于点D，则CD的长为_4第十六页，共十九页。3.已知：O中弦ABCD,求证：ACBD.证明：作直径MNAB.ABCD，MNCD.则AMBM，CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AMCMBMDMACBD.MCDABON第十七页，共十九页。4. 如图，AB，CD是O的弦，M，N分别为AB，CD的中点，且AMNCNM.求证：ABCD.证明：如图，连接OM，ON，OA，OC.M，N分别为AB，CD的中点，AB2AM，CD2CN.OMAB， ONCD.OMAONC90.AMNCNM，OMNONM.OMON.又OAOC，RtOAMRtOCN.AMCN.ABCD.第十八页，共十九页。课堂小结垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:（“知二推三”）过圆心;垂直于弦; 平分弦（不是直径）; 平