2000-2021全国高中数学联赛分类汇编 专题08 立体几何

1、 2000-2012全国高中数学联赛分类汇编（立体几何）K（2001-2）檢方体中，必存在到各顶点距高相等的点.命題空长方体中，隔锂1各条艇离相等的囱命題3=訓中，必存厨各乍面距离相等的点.決t三个命題中正碗的有（）-A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B解析】由于炫体的中倔各顶点的距离相等，砂命題1正甌对于命題2和命題3,TR的长方协（除正方体如中不存在到各条棱距禽相等的点，也不存在到各个而距禽相等的点.因毗本題只有命題1正确，选B.2、（2002试6）由曲线X2=4y,x2=4y,x=4,x=4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V,满足x2+y2W16,x2+（y-2）2N4,

2、x2+（y+2）2N4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）2(C)V1=V2(D)V1=2V212V=2V2（B）V1=3V2【答案】CK解析】如图，两图瞬歹轴旗转所得的晞体吏在两相距为s的平齐平面之间，用任盍与y轴垂直的平面截这两卡旋转体，设8E面与启点距离淘bl则所得戡面面积s（4=4|y|）,S-（4;土）4（2|y|）1=（44|y|）.-s：=s,由祖嘔鏡理Sb两个几何体体和相等.故远3、（2003试6）在四面体ABCD中，设AB=,CD=；，直线AB与CD的距离为2,夹角为3,则四面体ABCD的体积等于（）（A）卑（B）2（C）3（D）【答案】B【解

3、析】如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积=1.3XsinX2=3.而四面体ABCD的体积=x平行六面体体积=2.故选B.4、（2004试6）顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，0为底面圆圆心，AB丄0B,垂足为B,0H丄PB,垂足为H,的中点，则当三棱锥OHPC（）_A逅A3的体积最大时，且PA=4,C为PAOB的长为B宇D字而窪面积在00勿列血取得最丈值徐随毛的直角三角舷）.当can/血，由用匚r/L知zoreo。，5、（2005一试4）如图，ABCD-ABCD为正方体。任作平面a与对角线AC垂直，使得a与正方体的每个面都有公共点，记这

4、样得到的截面多边形的面积为S,周长为l.则A.S为定值，l不为定值B.S不为定值，l为定值C.S与1均为定值D.S与1均不为定值【答案】B【解析将正方体切去两个正三棱A-ABD与C-DBC后，得到老CDr曲ABDA,一个以平行平面AABD与DC为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱AAB剪开，展平在一张平面上,得到一个AABAB1A1,而多边形W的周界展开后便成为一条与AAA平行的线段（如图中EAE）,显然”E耳=AAA,故1为定值。兀TOC o 1-5 h z6、（2006试4）在直三棱柱ABC-ABC中，Z

5、BAC=-,AB二AC二AA二1.已iii2i知G与E分别为AB和CC的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）.iii若GD丄EF，则线段DF的长度的取值范围为（）C.1,近）【解析】建立直角坐标系，以点酋坐标原点，査B为工轴，AC）tjy轴，AAL）bz轴.風jr（4=0=0）（01）,丄审，皑卫1）-D（C:r2：0）C0：r.31故6cC10,匚貝能取玄8.76.若=9,ffla=-b-=94-9:=13.易知痕=2,3=4得七解恥）=（加若匚=S,3:-b:=94-64=30b30j即沁4从而弘4或6若&=5则圧=5无鹏若4，则农=14无解.因#t冃时无解.若c=:,则

6、肝一肝=gi-斗9=43,有I唯一解眾=3,S=&.若匚“，则口丄-占：=94-56=58,此时2沪上丸，即沪注9故呢&但bc=6,所取巧二&此时/二爺36二22无解-综上，共有两组解奴虹）=23刃或上=&血7”体积为片=2弓十罗十于=7&4（O或巴二泸-冷-卞二5（工）故选直9、（2000试11）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是.【答案】至賦24【解析】如图，设球补角0,半径为r,体和角也面BCD的中心対棱BC的中心点关E,10、（2001试9）正方体ABCD-AiBiC1i的棱长为1,则直线A】C与BD“】的距离是6【答案】一【解析】这是一道求两条异面

7、直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法为了保证所作出的表示距离的线段与AC和BD都垂直，不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内.为此，作正方体的对角面BDDiBi，则AC|丄面BDDiBi，且BD匚面BDDB-.设ACABD=0,在面BDDB内作OH丄BD，垂足为1111111111H,则线段OH的长为异面直线A1C1与BD】的距离.在RtBB1D1中，OH等于斜边BD1上高的一半，即OH=庞/6.11.（3003-K11）将八于半径都为1的球分放两层嵐宜在内.并使得毎1帶都和其相邻的四个球相切，且与葩的一r底面及伺面都相切，TOC o 1-5 h z则此园柱的高等于.【答案】沁

8、卜才解析】如图AffCJ）是下层四个球的球b冋口是1层的四个药球4每个球心与其相切的球的球心距离电曲翅在平面如滋、胪.上的射謀i正右瓶是把正方形中案其中心旋转4中而产-遠得.设眉的射矮渝JE则MiV/2-1.EMf/L故ENF-i込一了二2击.孙矗.所求园柱的高二2+胡.12（2004试9）如图,正方体ABCDABCD中,二面角ABDA的度数是113、（2006一试10）底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四2个球两两相切，【解析】设四个实心铁球的球心为o皿45其中q=6为下层两球的球O,F見ECD分别为四个球心在底面的射鬆则如是一长消的正方形.所以注水高術1-並.故应

9、注水胚1-14、（2007试9）已知正方体ABCDACR的棱长为1,以顶点A为球心，芈为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于【答案】甞6【解析】如图，球面勻正方体的汽个面都相交所得的交建分为两羌一芙在顶点A所在的三伞面上，Bffi皿感撰面価和面解妙上;另一类在不过顶点的三个面上，Bffi軀&G面CCJU）和面QLG且上.在面血贯E上”交錢为孤23时且在过球心A的大圜上.因为話丘=土G込才同理皿I?砲丄心錘环3的长角主-匚二至花，而这样的弧鑿有三条在面皿必上趣锁用且在距球心为TOC o 1-5 h z3591的平面与球面相奁所需的小凰上，OJ,小圆册圆心沖M半径決仝，FBG

10、=-t所32以弧皿B9长为这祥的羸也有三条.于是.所得的曲线长为 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 32603,.73灵尽rx-3x址=.966第12题图1)15、（2008试12）个半径为1的小球在一个内壁棱长为4,6的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.【答案】723【解析】如图1,考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面ABC平面ABC，与小球相切于点D，则小111球球心O为正四面体P-ABC的中心，PO丄面ABC，垂足111111D为ABC的中心因V=1S-PD=4-V=4丄-S-O

11、D111P-A1B1C13AA1B1C10-A1B1C13AA1B1C1故尸D=OD=r从而尸O=PD-OD=3r.记此时小矇勾面PAB的切点齒，连協0P，则朋=专虑中球与正四面体ttJTW仟妨取为谢占）相切时的情况，扇知寸裁在面凹用上最靠近边的切点的轴迹仍为正三角形记为尸，如图汉记正回面体的棱长为a，过卫作-PA于取-因4护三=彳，有PM=F-coJ/FF=品，故小三角形的边PE=PA-2PM=a-l_小球与面丑迈不能接阙的韶分的而秧为（如圈2中阴影又;=1,a=4托，所以耸注-匚辛，招=1曲由对称性，且1E四面体共4个面，所凶J糜不能JMI倒的容器内壁的面积共为卫逛-16、（2010试7）

12、正三棱柱ABC-A1B1C1的9条棱长都相等，P是CC1的中点，二面角BAPB=a，则sina=【答案】斗04【解析】解法一：如图，以AB所在直线为x轴，线段AB中点O为原点，OC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则B（1，0,0）,By，0,2）,A/-心）,恥出，1），从而,j!(IBA=(2,0,2),BP=(1小3,1),BA=(2,0,0),BP1111BPCCim-BA=2x+2z=0,111m-BP=x+悩3y+z=0,J111n-BA=2x=0,112n-BP=x+J3yz=0,J1222由此可设m=(1,0,1),n=(0,1,J3)，所以m-n=mn

13、|cosa|，即17、（2011试6）在四面体ABCD中，已知ZADB=ZBDC=ZCDA=60。,AD=BD=3,CD=2，则四面体ABCD的外接球的半径为【答幕】忑匕解析】设四面体ASCD的夕陽球球心次6则0在过A丄血的夕皿.V且垂直于平面ASD的垂绘匕由題设知，A曲雄正三角形，则点-V为厶灵加的中心.设PA-1分别为越C2?的中点，则-肓在。戸上，且GW_d,0.W-CD-因为上CAi=ZCDS=ZAD=60D,设CD与平面ABD所成角为B,可求得在刀胚V中DM由余弦艇得=12-故.V.V=j2.四边形口3牛曲夕陽囲的直径OOr,=L=.故球口的丰径?=JL18、（2012试5）设同底的

14、两个正三棱锥P-ABC和Q-ABC内接于同一个球.若正三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的角为45,则正三棱锥Q-ABC的侧面与底面所成角的正切值是.14【解析】如图连结戸么则戸0平面朋匚垂泉耳为正MFC的中心且PQ过球心0j连结CH并延长交AS于点M3则M为AB的中点且CM._AS,易知上QMH分别为正三换锥P-ABC:Q-ABC面与底面所成二角的平面亀则仝负=45=,从而PH=S1H=AH,因再厶旳？=9AH_PO=所以且戸二FHQH=即血厂=AH-OH.所踐QH=AU=AMH.a故tan但=脣=4北环律师事务所BEIHUANLAWFIRMP2THarUiRingCenterB18funiiiiRand,lirbrngDistrict.BeaJinj;P-lLCTelOkSZSS-rOTT.FaAzDOM-1.0-82252反盗版维捉声明北麻聲日常拐科枝韦醍舍司法律硬冋.北京市北环悴艸事务所诵海诱律邯郑專岌表如下声明：一以上竇料文章，由北京夺日学昜科技有限处司（旗下辛科网：屮山和弭町诧須証营规捌，去抻专项经费.俎駅喀校名师创作完成.北京今日学易科技有肚心