分数阶微积分理论

1、分数阶微积分理论2.1引言一般我们熟知的微积分理论都是整数阶的，比如一阶微分方程，二阶微分方 程，一重积分、二重积分等等，而分数阶微积分，指的是微积分的阶次可以为包 括整数以内的其它任意数，比如小数、有理数、无理数等，可以说分数阶微积分 可以描述任何对象，它的作用要远超常规整数阶微积分。虽然在无数的学者前赴后继地努力下，分数阶微积分理论方面的研究成果丰硕，而关于分数阶微积分的定义，不同的学者表述上有所区别，综合各个理论层面的评估，同时具有实际工 程上的应用可行性的分数阶微积分定义只剩下三种，分别是Gru nwaldLetnikov定义，Caputo定义，Riemann-Liouville 定义

2、64。2.2分数阶微积分的定义分数阶微积分的研究对象是分数阶微分和分数阶积分，分数阶微积分定义是整合和统一分数阶微分和分数阶积分得到的。 首先介绍常用的三种分数阶微分定 义，具体为：Gru nwaldLetnikov分数阶微分定义若f(t)函数在区间a,t存在m 1阶连续导数，当0时，m至少取到,则其次数为(m m 1)的分数阶微分定义为：(t a)/h TOC o 1-5 h z aDt f(t) lim0hi f(t ih)(2.1)i 0其中， 表示阶次，h为采样步长，a表示初始时间，|表示取整，i = (-1)i是多项式系数，=(一22业一5 ,我们可以用以下ii!递推公式直接求出该系

3、数：+1 0 1, i 1 i 1,i 1,2,.,n(2.2)i进一步又t式(2.1)求极限，可得到其详细定义:a。 h0*ah i f(tih)(it(t1) a(2.3)fm ( )d其中， 为欧拉gamma函数，(z) e ttz 1dt ,当也称为Gru nwaldLetnikov分数阶微积分定义。若：fi(t)=0, q, p R,则微分算子D满足式(2.4):aDtq(aDtPf(t) aDtq+pf(t)Riemann-Liouville分数阶微分定义对于m 1 m,m N ,有aDt f(t)1 dm t f()/ m m a m 1(m) dt a (t )(2.5)其中，

4、当 R,上述定义也称为Riemann-Liouville分数阶微积分定义。通常情况下，为了方便使用 Riemann-Liouville分数阶微积分定义，要对其 取拉普拉斯变换，假设F(s)表示f(s)的原函数，则式(2.5)经过拉普拉斯变换 后的结果如下：m 1 TOC o 1-5 h z _k 1 _L aDt f(t) sF(s) aDtf (t) |t 0(2.6)k 0在零初始条件下，上式的结果变为：LDtf(t) s F(s)(2.7)进一步由式(2.7)得到 阶微积分算子的传递函数表示为：1H(s) (2.8)sCaputo分数阶微分定义在工程实际中，不能用物理含义诠释的数学概念是

5、不能应用于实际的，所以,在针对实际问题研究分数阶微积分时，我们需要着重关注它能与实际应用相接轨 的部分，这正是分数阶 Riemann-Liouville微分定义的不足。如式(2.5)尽管在 初始条件下具备数学理论层面的可解释性，但不具备实际工程上的物理意义可解释性65,正因为如此，于是就有了 Caputo分数阶微分定义，其形式为：aDt f(t)(m )fm()(i)1d ,(m 1m)(2.9)同理，当 R,上述定义也称为Caputo分数阶微积分定义，该定义也有对应的拉普拉斯变换，其形式为：m 1 k i dkf (t) TOC o 1-5 h z L aDt f(t) s F(s) s-I

6、t 0(3.1)k 0dt其次，分数阶积分定义为：,t -1 J 、 1 一、,Ia = aDt =-() a(t ) f()d ( R)(3.2)其中，I定义为积分符号。分数阶微积分的性质根据上述三种分数阶微积分的定义，可以得到分数阶微积分一些性质如下 66:(1)记忆属性。当t在时刻时，函数f的分数阶微分值由初始时刻到t时 刻的所有时刻的函数值取值。(2)当aDt1算子的1是整数时，整数阶微积分和分数阶微积分二者为等 同关系，1为任意阶时，整数阶微积分被包含在分数阶微积分内。(3)分数阶微积分算子aDj是线性的，符合线性系统中的齐次特性和迭 加特性，即对任意常数a,b均满足：0Dt1af(

7、t) bg(t) a0Dt1f(t) b0Dt1g(t)(4)解析函数f分数阶导数0Dt1f(t) Xtt和a都是可以解析的。分数阶系统的模型描述实际生活中，大多数的对象的内在特性都能通过整数阶微分方程的形式来表 征，比如物理特性、化学特性等。但往往存在一些特别的对象其特性无法靠整数 阶微分方程精确表征，但分数阶次的微分方程刚好能考虑到整数阶次微分方程所 忽略的特性，所以，用分数阶微分方程描述的系统，其内在特性反应更真实、更 全面。Damu n-D一bn一个典型的单输入单输出分数阶线性系统的微分方程可用如下形式来表示： aQ,y a2D-2y(t)为口一3丫。) =6d 1u(t) b2D 2

8、u(t) b2D 3u(t)其中，a(i 1,2, Q,m)E(j 1,2jn)分别表示输出和输入相应的系数，一1 一2 I“ -m； 一2 I”;分别表示输出和输入分数阶的阶次，u(t)、y 分别表示系统的输入和输出。结合前面的式(2.6)和式(2.10)对系统进行拉普拉斯变换，得到系统的传递函数模型为:G(s)6s 1b2s 2| |bns n01s-1a2s 2 |ams-(2.11)若-i-(i 1,2,|,m) , 一i i(i 数阶系统，则上式进一步可表示为：1,2,|,n),该系统可称为“同源次”分bf(2.12)G(s) j1i-aisi 1分数阶近似方法要实现分数阶控制，分数阶模型必须近似相应的整数阶模型或者差分输入输 出模型，再配合传统的整数阶控制理论的运用。使用分数阶定义可将分数阶模型直接近似为差分输入输出模型，而间接近似中，通常使用 Oustaloup近似法将分 数阶模型近似为高阶整数阶模型，下面介绍Oustaloup近似法67:(2.13)N s Wnn 1 S Wn其中，1为表示分数阶阶次，0 1 1 , N表示近似阶次，K 1 Wh1 , Wn WbWu(2n 1 1)/N,Wn WbWu(2n1+ 1)/n,wj JWJWb, Wh,W.分别表示上限