层次分析法案例资料

1、TV /Wiw） w T右乘矩阵A,则有：1 1AW = 31M EV 八町121 AAiw、/ w, 4/ HSIM?71V=hW层次剖析法的应用层次剖析法由美国有名运筹学家萨蒂于1982年提出，它综合了人们主观判断，是一种简洁、适用的定性剖析与定量剖析相联合的系统剖析与评论的方法。当前，该方法在国内已获得宽泛 的推行应用，宽泛应用于能源问题剖析、科技成就评选、地域经济发展方案比较，特别是投入 产出剖析、资源分派、方案选择及评选等方面。它既是一种系统剖析的好方法，也是一种新的、 简短的、适用的决议方法。层次剖析法的基来源理人们在平时生活中常常要从一堆相同大小的物件中精选出最重的物件。这时，一

2、般是利用两两比较的方法来达到目的。假定有n个物件，其真切重量用w ,.,.12n表示。要想知道w , w, w的值，最简单的就是用秤称出它们的重量，但假如没1 2n有秤，能够将几个物件两两比较，获得它们的重量比矩阵AoW一 ,I Vj / W f/司1V TVIV / W, n II假如用物件重量向量W= w ,由上式可知，n是A的特点值，W是A的特点向量。依据矩阵理论，n是矩阵A 的独一非零解，也是最大的特点值。这就提示我们，能够利用求物件重量比判断矩阵 的特点向量的方法来求得物件真切的重量向量W o进而确立最重的物件。将上述n个物件代表n个指标（因素），物件的重量向量就表示各指标（因素）

3、的相对重要性向量，即权重向量；能够经过两两因素的比较，成立判断矩阵，再求 出其特点向量便可确立哪个因素最重要。依此类推，假如n个物件代表n个方案，依据这类方法，就能够确立哪个方案最有价值。应用层次剖析法进行系统评论的主要步骤以下:1 ）将复杂问题所波及的因素分红若干层次， 成立多级递阶的层次结构模型（目标层、判断层、方案层）。2 ）标度及描绘。 同一层次随意两因素进行重要性比较时， 对它们的重要性之比做出判断，赐予量化。3 ）对同属一层次的各因素以上一级的因素为准则进行两两比较， 依据评论尺度确立其相对重要度，据此建立判断矩阵 A 。4 ）计算判断矩阵的特点向量，以此确立各层因素的相对重要度（

4、权重）。5 ）最后经过综合重要度 （权重）的计算，依据最大权重原则， 确立最优方案。详细事例：市政部门管理人员需要对修筑一项市政工程项目进行决议，可选择的方案是修筑通往旅行区的高速路（简称建高速路） 或修筑城区地铁 （简称建地铁）。除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多准则决议问题，考虑运用层次剖析法解决。解决问题的详细步骤：1. 成立递阶层次结构应用 AHP 解决实质问题，第一明确要剖析决议的问题，并把它条理化、层次化，理出递阶层次结构。AHP 要求的递阶层次结构一般由以下三个层次构成：目标层（最高层）：指问题的预约目标；准则层（中间层）：指影响目标实现的准则；举措层（

5、最低层）：指促进目标实现的举措；经过对复杂问题的剖析，第一明确决议的目标，将该目标作为目标层（最高层）的元素，这个目标要求是独一的，即目标层只有一个元素。而后找出影响目标实现的准则，作为目标层下的准则层因素，在复杂问题中，影响目标实现的准则可能有好多，这时要详尽剖析各准则因素间的互相关系，即有些是主要的准则，有些是隶属于主要准则的次准则，而后依据这些关系将准则元素分红不一样的层次和组，不一样层次元素间一般存在隶属关系，即上一层元素由下一层元素构成并对下一层元素起支配作用， 同一层元素形成若干组， 同组元生性质邻近，一般隶属于同一个上一层元素 （受上一层元素支配），不一样组元生性质不一样， 一般

6、隶属于不一样的上一层元素。在关系复杂的递阶层次结构中，有时组的关系不显然，即上一层的若干元素 同时对下一层的若干元素起支配作用，形成互相交错的层次关系，但不论如何，上 基层的隶属关系应当是显然的。最后剖析为认识决决议问题（实现决议目标）、在上述准则下，有哪些最后解决方案（举措），并将它们作为举措层因素，放在递阶层次结构的最下边（最低层）。明确各个层次的因素及其地点，并将它们之间的关系用连线连结起来，就构 成了递阶层次结构。【事例剖析】市政工程项目进行决议：成立递阶层次结构在市政工程项目决议问题中，市政管理人员希望经过选择不一样的市政工程项目，使综合效益最高，即决议目标是“合理建设市政工程，使综

7、合效益最高”。为了实现这一目标，需要考虑的主要准则有三个，即经济效益，社会效益和环境效益。但问题绝不这么简单。经过深入思虑，决议人员以为还一定考虑直接经济效益、间 接经济效益、方便平时出行、方便假日出行、减少环境污染、改良城市相貌等因素 （准则），从互相关系上剖析，这些因素隶属于主要准则，所以放在下一层次考 虑，而且分属于不一样准则。假定本问题只考虑这些准则，接下来需要明确为了实现决议目标、在上述准 则下能够有哪些方案。依据题中所述，本问题有两个解决方案，即建高速路或建地 铁，这两个因素作为举措层元素放在递阶层次结构的最基层。很显然，这两个方案 于全部准则都有关。将各个层次的因素按其上下关系摆

8、放好地点，并将它们之间的关系用连线连接起来。同时，为了方便后边的定量表示，一般从上到下用A、B、C、D。代表不同层次，同一层次从左到右用1、2、3、4。代表不一样因素。这样构成的递阶层次结构以下列图目标层A准则层B举措层D准则层C建高速路（D1）I建地铁（D2）图1递阶层次结构表示图2.结构判断矩阵并赋值依据递阶层次结构就能很简单地结构判断矩阵。结构判断矩阵的方法是：每一个拥有向下隶属关系的元素（被称作准则）作为判断矩阵的第一个元素（位于左上角），隶属于它的各个元素挨次摆列在后来的第一行和第一列。重要的是填写判断矩阵。填写判断矩阵的方法有：大多采纳的方法是：向填写人（专家）频频咨询：针对判断矩

9、阵的准则，其中两个元素两两比较哪个重要，重要多少，对重要性程度按1-9赋值（重要性标度值见下表）。表1重要性标度含义表重要性标度135792, 4, 6,表示两个元素对比，拥有相同重要性 表示两个元素对比，前者比后者稍重要 表示两个元素对比，前者比后者显然重要 表示两个元素对比，前者比后者激烈重要 表示两个元素对比，前者比后者极端重要 表示上述判断的中间值倒数若兀素I与兀素j的重要性N比为aj ,则兀素j与元素I的重要性之比为热=1/a j设填写后的判断矩阵为A=(aj ) n,判断矩阵拥有以下性质：a j0a ji =1/ a jia ii =1依据上边性质，判断矩阵拥有对称性，所以在填写时

10、，往常先填写aii =1部分，而后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的n(n-1)/2个元素就能够了。在特别状况下，判断矩阵能够拥有传达性，即知足等式： aj *a jk =aik当上式对判断矩阵全部元素都成即刻，则称该判断矩阵为一致性矩阵。【事例剖析】市政工程项目建设决议：结构判断矩阵并请专家填写接前例，征采专家建议，填写后的判断矩阵以下：表2 判断矩阵表B1C1C2B2C3C4C111C313C21C41C3D1D2D111/5D213.层次单排序(计算权向量)与查验关于专家填写后的判断矩阵，利用必定数学方法进行层次排序。层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重，所以实质上是

11、计算权向量。计算权向量有特点根法、和法、根法、哥法等，这里简要介绍和法。和法的原理是，关于一致性判断矩阵，每一列归一化后就是相应的权重。对于非一致性判断矩阵，每一列归一化后近似其相应的权重，在对这n个列向量求取算术均匀值作为最后的权重。详细的公式是：1 n aj Wi = -E -nn j=i 汇 a klk= 1需要注意的是，在层层排序中，要对判断矩阵进行一致性查验。在特别状况下，判断矩阵能够拥有传达性和一致性。一般状况下，其实不要求判 断矩阵严格知足这一性质。但从人类认识规律看，一个正确的判断矩阵重要性排序 是有必定逻辑规律的，比如若A比B重要，B又比C重要，则从逻辑上讲， A应当比C显然

12、重要，若两两比较时出现A比C重要的结果，则该判断矩阵违犯了一致性准则，在逻辑上是不合理的。所以在实质中要求判断矩阵知足大概上的一致性，需进行一致性查验。只有 经过查验，才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的，才能持续对结果进行剖析。一致性查验的步骤以下。第一步，计算一致性指标C.I. (consistency index )，条 max In C.I .二n 1第二步，查表确立相应的均匀随机一致性指标R.I. (random index )据判断矩阵不一样阶数查下表，获得均匀随机一致性指标R.I.。比如，关于5阶的判断矩阵，查表获得表3均匀随机一致性指标R.I.表( 1000次正互反矩阵计算结果)矩

13、阵阶数12345678R.I.00矩阵阶数9101112131415R.I.第三步，计算一致性比率C.R. (consistency ratio )并进行判断C.I .C.R. _ 一 R.I .C.R.0.1时，以为判断当C.R.0.1时，以为判断矩阵的一致性是能够接受的, 矩阵不切合一致性要求，需要对该判断矩阵进行从头修正。【事例剖析】市政工程项目建设决议：计算权向量及查验上例计算所得的权向量及查验结果见下：表4 层次计算权向量及查验结果表B1B2B3CRC1D1D2CR单(总)排序权B1C1C2CR单排序权值C2D1D2CR单排序权值B2C3C4CR单排序权B3C5C6CR单排序权单排序

14、权值C3D1D2CR单排序权C4D1D2CR单排序权C5单排序权值C6单排序权值D1D1D2D2CR能够看出，全部单排序的C.I. j* * * * * * * * * * (k) = (C.I.1(k),C.I.R.I. j(k) = (R.I.1(k),R.I.(k)2, ? , C.I.2(k) , ? , R.I.(k)(k-1)m) w(k)(k-1)m) w(k)C.R.C .I .(k )R.I .( k )当 C.R. (k) 0.1 时,以为判断矩阵的整体一致性是能够接受的。【事例剖析】市政工程项目建设决议：层次总排序及查验上例层次总排序及查验结果见下：表5 C 层次总排序（

15、CR = 0.0000） 表C1C2C3C4C5C6经过对排序结果的剖析，得由最后的决议方案。【事例剖析】市政工程项目建设决议：结果剖析从方案层总排序的结果看，建地铁（ D2）的权重（0.6592 ）远远大于建高速 路（D1）的权重（0.3408 ）,所以，最后的决议方案是建地铁。依据层次排序过程剖析决议思路。关于准则层B的3个因子，直接经济效益（B1）的权重最低（0.1429 ）,社会 效益（B2）和环境效益（B3）的权重都比较高（皆为0.4286 ）,说明在决议中比较 看重社会效益和环境效益。关于不看重的经济效益，其影响的两个因子直接经济效益（ C1）、间接带动效 益（C2）单排序权重都是

16、建高速路远远大于建地铁，关于比较看重的社会效益和环 境效益，其影响的四个因子中有三个因子的单排序权重都是建地铁远远大于建高速 路，由此能够推出，建地铁方案因为社会效益和环境效益较为突出，权重也会相对 突出。从准则层C总排序结果也能够看出，方便平时出行 （C3）、减少环境污染（C5）是权重值较大的，而假如独自考虑这两个因素，方案排序都是建地铁远远大于建 高速路。由此我们能够剖析出决议思路，即决议比较看重的是社会效益和环境效益， 不太看重经济效益，所以关于详细因子，方便平时出行和减少环境污染成为主要考虑因素，关于这两个因素，都是建地铁方案更佳，由此，最后的方案选择建地铁也就有理有据。CRC.R.0.1 ,以为每个判断矩阵的一致性都是能够接受的4.层次总排序与查验总排序是指每一个判断矩阵各因素针对目标层(最上层)的相对权重。这一权重的计算采纳从上而下的方法，逐层合成。很显然，第二层的单排序结果就是总排序结果。假定已经算出第k-1层m个(k-1)(k-1)(k-1)(k-1) T元素有关于总目标的权重w =(W1,w 2 , ,w m )，第k层n个元素关于上一层j (k) 1j (k) 2j (k)nj (k) t(第k层)第j个元素的单排序权重是P =(p ,P , ,P ),此