算法初步、推理与证明易考点知识点总结及高考真题解析

1、考点47 算法初步1算法的含义、程序框图（1）了解算法的含义，了解算法的思想.（2）理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.2基本算法语句理解几种基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.一、算法的基本结构1算法的含义与程序框图（1）算法：算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤（2）程序框图：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形（3）程序框图中图形符号的含义图形符号名称功能终端框(起止框)表示一个算法的起始和结束输入输出框表示一个算法输入和输出的信息处理框赋值、计算判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标

2、明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”流程线连接程序框2.程序框图的结构类型及作用名称内容顺序结构条件结构循环结构定义由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤，反复执行的步骤称为循环体程序框图【注】(1)注意区分处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息(2)循环结构中必有条件结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分(3)注意区分当型循环与直到型循环直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时

3、终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反二、算法的基本语句1三种语句的一般格式和功能语句一般格式功能输入语句INPUT“提示内容”；变量输入信息输出语句PRINT“提示内容”；表达式输出结果赋值语句变量表达式将表达式的值赋给变量【注】关于赋值语句，有以下几点需要注意：赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3m是错误的赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Yx，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为xY.因为后者表示用Y的值替代变量x的值在一个赋值语句中

4、只能给一个变量赋值，不能出现多个“”2条件语句（1）条件语句与程序框图中的条件结构相对应（2）条件语句的格式及框图IFTHEN格式IFTHENELSE格式3循环语句（1）算法中的循环结构是由循环语句来实现的（2）循环语句的格式及框图UNTIL语句WHILE语句【注】语句中“IFEND IF”，“DOLOOP UNTIL”，“WHILEWEND”一定成对出现考向一 程序框图高考中对程序框图的考查，主要是顺序结构、条件结构、循环结构，其中循环结构为重点，考查程序运行后的结果，或考查控制循环的条件，主要以选择题或填空题的形式出现.三种基本逻辑结构的常见问题及解题策略：(1)顺序结构顺序结构是最简单的

5、算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的(2)条件结构利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足(3)循环结构已知程序框图，求输出的结果可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断.典例1 执行如下的程序框图，则输出的是ABCD【答案】A【解析】成立，执行第一次循环，；成立，执行第二次循环，；成立，执行第三次循环，；成立，

6、执行第四次循环，；成立，执行第五次循环，；成立，执行第六次循环，；成立，执行第七次循环，；成立，执行第八次循环，；不成立，跳出循环体，输出的值为，故选A【名师点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.1执行如图所示的程序框图，若输入，则输出s的值为AB0CD典例2 南宋数学家秦九韶在数书九章中提出的秦九韶，算法至今仍是多项式求值比较先进的算法.已知，下列程序框图设计的是求的值，在“”中应填的执行语句是A BC D【答案】C【解析】初始值该程序的计算方式：第一步：计算，空白处的结果应为；第二步：计算，空白处的结果应为综合分析可

7、得：空白处应填，故选C2九章算术卷七盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”翻译为：现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少，为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填ABCD考向二 算法语句1输入语句的要求(1)输入语句要求输入的值是具体的常量(2)提示内容提示用户输入的是什么信息，必须加双引号，提示内容“原原本本”地在计算机屏幕上显示，提示内容与变量之间要用分号隔开2输出语句的要求(1)表达式是算法和程序要求输出的信息(2)提示内容提示用户要输出的是

8、什么信息，必须加双引号，提示内容和表达式要用分号分开(3)输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能，不同的表达式之间可用“，”分隔；输出语句还可以是“提示内容1”；表达式1，“提示内容2”；表达式2，“提示内容3”；表达式3，的形式，例如，PRINT“a，b，c”；a，b，c；PRINT“a”；a，“b”；b，“c”；C典例3 如图程序中，输入，则输出的结果为ABCD无法确定【答案】B【解析】该程序是求的最大值，因为，故的最大值为，故选B【名师点睛】本题考查条件语句，为基础题注意对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数

9、比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.3如图是一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为ABCD1下面的框图是已知直角三角形两条直角边，求斜边的算法，其中正确的是ABCD2执行下面的程序，则输出的s的值是A11B15C17D193阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为1，则输出的值为AB2C0D无法判断4执行如图所示的程序框图，输出的值为A42B19C8D35执行如程序框图所示的程序，若输入的x的值为2，则输出的x的值为A3B5C7D96如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入，分别为2，8，则输出的等于

10、A4B0C2D147执行如图所示的程序框图，若输出，则输入的ABCD8执行下边的程序框图，如果输出的值为1，则输入的值为A0BC0或D0或19设为区间内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的值落在区间内的概率为ABCD10已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是A求首项为，公比为的等比数列的前项的和B求首项为，公比为的等比数列的前项的和C求首项为，公比为的等比数列的前项的和D求首项为，公比为的等比数列的前项的和11为了计算，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入ABCD12已知函数MOD是一个求余函数，记MOD(m，n)表示m除以n的余数，例如MOD(13，3)=1，下图是某个

11、算法的程序框图，当输入m的值为27时，则输出i的值为A2B3C4D513某程序框图如图所示，其中，若输出的，则判断框内应填入的条件为ABCD14若如图所示的程序框图的输出结果为二进制数化为十进制数(注：)，那么处理框内可填入ABCD15如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是A，B，C，D，16明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的孙子歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知已知正整数被除余,被除余，被除余，求的最小值按此歌诀得算法如图，则输出的结果为A53B54C158D

12、26317执行如图程序，如果输入的，那么输出的结果为_18定义某种运算，的运算原理如图所示：设则在区间上的最小值为_.1【2019年高考天津卷文数】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为A5B8C24D292【2019年高考北京卷文数】执行如图所示的程序框图，输出的s值为A1B2C3D43【2019年高考全国卷文数】如图是求的程序框图，图中空白框中应填入ABCD4【2019年高考全国卷文数】执行下边的程序框图，如果输入的为0.01，则输出的值等于ABCD5【2018年高考全国卷文数】为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A B C D6【2018年高考北京卷文数】执行如图所示

13、的程序框图，输出的s值为ABCD7【2018年高考天津卷文数】阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为A1B2C3D48【2017年高考全国卷文数】执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的 A2 B3C4 D59【2017年高考全国卷文数】下面程序框图是为了求出满足的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入AA1000和n=n+1BA1000和n=n+2CA1000和n=n+1DA1000和n=n+210【2017年高考全国卷文数】执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A5B4C3D211【2017年高考北京卷文数】执行如图所

14、示的程序框图，输出的值为A2BCD12【2017年高考天津卷文数】阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为A0B1C2D313【2019年高考江苏卷】下图是一个算法流程图，则输出的S的值是_14【2018年高考江苏卷】一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为_15【2017年高考江苏卷】如图是一个算法流程图，若输入的值为，则输出的值是_变式拓展1【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求s=sin+sin+sin的值.因为sin的取值以6为周期，且sin+sin+sin=0，又因为2015=3356+5，所以s=sin+sin+sin=

15、sin+sin+sin+sin+sin=0故答案为B【名师点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期性，模拟执行程序框图正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题2【答案】A【解析】模拟执行程序，可得x为人数，y为羊价，由题意可得：5x+457x+3，解得x21，即当x20，k20时，继续循环，当x21，k21时，退出循环，输出x，y的值，则判断框中应填入的内容为：k20？.故选A【名师点睛】本题考查了程序框图, 解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题求解时，根据题意可得x为人数，y为羊价，得5x+457x+3，解得x21，模拟程序的运行可得当x21

16、，k21时，退出循环，输出x，y的值，即可得解判断框中应填入的内容3【答案】B【解析】算法语句中的循环语句表示形式有2种：DoLoop语句，执行时，Until关键字用于检查 DoLoop语句中的条件条件不成立执行循环体，条件成立退出循环 while结构循环为当型循环（whenloop），一般用于不知道循环次数的情况维持循环的是一个条件表达式，条件成立执行循环体，条件不成立退出循环 由题意易得，.故选B【名师点睛】本题主要考查了循环语句的定义及表示形式，熟练掌握循环语句的格式是解答的关键，属于基础题由循环语句的定义及表示形式即可直接得解考点冲关1【答案】A【解析】由题意知应先输入，再由公式计算，

17、最后输出，结束，B中的顺序错误；C中的起止框错误；D中的处理框错误，A正确，故选A.【名师点睛】本题主要考查了流程图的识别与应用问题，是基础题2【答案】B【解析】当i3时，s7，当i5时，s11，此时仍满足条件“i6”，因此再循环一次，即i7时，s15，此时不满足“i0，这与假设矛盾，即原命题成立.【名师点睛】用反证法，假设都小于或等于0，推出的值大于0,出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证.反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论

18、的情况很复杂，而反面情况较少6已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列1有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”的结论显然是错误的，这是因为A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误2用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是A假设三内角都不大于60度B假设三内角至多有两个大于60度C假设三内角至多有一个大于60度D假设三内角都大于60度3用演绎法证明函数是增函数时的小前提是A函数满足增函数的

19、定义B增函数的定义C若，则D若，则4现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个正方形的某顶点在另一个正方形的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为ABCD5有一个奇数列1，3，5，7，9，现进行如下分组：第1组为，第2组为；第3组为；试观察每组内各数之和与该组的编号数n的关系为A BC D6沈老师告知高三文数周考的附加题只有6名同学A，B，C，D，E，F尝试做了，并且这6人中只有1人答对了同学甲猜测：D或E答对了；同学乙猜测：C不可能答对；同学丙猜测：

20、A，B，F当中必有1人答对了；同学丁猜测：D，E，F都不可能答对若甲、乙、丙、丁中只有1人猜对，则此人是A甲 B乙C丙 D丁7设为椭圆的左焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆短轴上的一个顶点，当时，该椭圆的离心率为，将此结论类比到双曲线，得到的正确结论为A设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲线的离心率为2B设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲线的离心率为4C设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲线的离心率为2D设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲

21、线的离心率为48A4纸是生活中最常用的纸规格A系列的纸张规格特色在于：A0、A1、A2、A5，所有尺寸的纸张长宽比都相同在A系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A0纸对裁后可以得到2张A1纸，1张A1纸对裁可以得到2张A2纸，依此类推这是因为A系列纸张的长宽比为：1这一特殊比例，所以具备这种特性已知A0纸规格为84.1厘米118.9厘米.118.984.11.41，那么A4纸的长度约为A厘米B厘米C厘米D厘米9甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求.甲：我不跑第一棒和

22、第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是A丁 B乙C丙 D甲10我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为A4072B2026C4096D204811若，都是正整数，且，则由下列不等式：；归纳推广出一个一般不等式为_12求“方程的解”有如下解题思路：

23、设，则在上单调递增，且，所以原方程有唯一解.类比上述解题思路，方程的解集为_.13已知的内角，对应的边分别为，三边互不相等，且满足.（1）比较与的大小，并证明你的结论；（2）求证：不可能是钝角.14已知函数，.（1）用分析法证明：；（2）证明：.1【2019年高考全国I卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A165 cmB175 cmC

24、185 cmD190 cm2【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A 1010.1B 10.1C lg10.1D 1010.13【2017年高考全国II卷文数】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成

25、绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩4【2016年高考北京卷文】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳（单位：次）63a7560637270a1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A2号学生进入30秒跳绳决赛 B5号学生进入30秒跳绳决赛 C8号学生进入30秒跳绳决赛 D9号学生进入30秒跳绳决赛5

26、【2016年高考新课标II卷文】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 .6【2017年高考北京卷文数】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（）男学生人数多于女学生人数；（）女学生人数多于教师人数；（）教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_该小组人数的最小值为_7【2019年高考全国II卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一

27、印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_（本题第一空2分，第二空3分）变式拓展1【答案】C【解析】由题意可得，解得故选C【名师点睛】本题考查了推理与证明中的类比推理，属中档题.2【答案】35；【解析】观察可得，第一个四面体数为1；第二个四面体数为；第三个四面体数为；第四个四面体数为；由此可归纳，第个四面体数为，即为，设该式中的每个数从左

28、至右的排列为数列，即为1，3，6，10，得到递推关系为，相加后得，故数列的和 ，当时，.故答案为：35；.【名师点睛】本题考查归纳推理，累加法求通项，分组法数列求和，考查图形分析能力，逻辑推理能力，找到数字的演变规律是解题关键.求解时，通过观察图形，先将图形的规律转化为数字规律，通过观察发现，相邻的数字差分别是3，6，10，即第项应为，那么就把问题转化为求数列的和，为1，3，6，10，根据这些数字可以发现， ， ，利用累加法可以得到，再利用题目所给已知，求出前项和，即为第个四面体数，当时，即为第5个四面体数.3【答案】B【解析】根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论

29、成立的依据，由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论，大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形，故选B【名师点睛】本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题.根据题意，用三段论的形式分析即可得答案4【答案】A【解析】首先考查选项A：若今天是周四，五辆车分别在周一、周三、周二、周五、周四，满足题意，据此可排除B，C，D，故选A【名师点睛】本题主要考查推理案例的处理方法，特殊值法处理选择题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1），解得，同理解得，即. （2）要证时，只需证，只需证，只需证，只需证，只需证， 根据基本不等式得

30、，当且仅当，即时等号成立.所以原不等式成立【名师点睛】本题考查实数值的求法，考查数列的递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档题求解时，（1）推导出，解得，从而，由此能求出的值；（2）利用分析法，只需证，只需证，只需证，根据基本不等式即可得到结果6【答案】（1）；（2）见证明.【解析】（1）当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减得，所以an是首项为1，公比为的等比数列，所以.（2）(反证法)假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN*)，则2aq1ap1+ar1，即，所以22rq2rp1.又因为p

31、qr，rN*，所以rq，rpN*.所以式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立所以假设不成立，原命题得证【名师点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.求解时，（1）利用项和公式求数列an的通项公式；（2）利用反证法证明.考点冲关1【答案】A【解析】在推理过程“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”中，直线平行于平面，则平行于平面内所有直线为大前提，由线面平行的性质易得直线平行于平面，则直线可与平面内的直线可能平行、也可能异面，这是一个假命题，故这个推理过程错误的原因是：大前提错误.故选A【名师点

32、睛】由三段论的一般模式，可得结论.三段论是演绎推理的一般模式：（1）大前提已知的一般原理；（2）小前提所研究的特殊情况；（3）结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断.2【答案】D【解析】根据反证法的步骤可知，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定为“一个也没有”即“三角形三个内角都大于60度”，故选D【名师点睛】本题主要考查了反证法的概念，以及命题的否定的应用，着重考查了逻辑推理能力，属于基础题.求解时，根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，即可求得，得到答案.3【答案】A【解析】证明函数是增函数，依据的原理是增函数的定义，因此，用演绎法证明函数是增函数时，大前提是：增函数的定义

33、；小前提是函数满足增函数的定义.故选A.【名师点睛】本题主要考查演绎推理，熟记概念即可，属于基础题型.大前提提供了一个一般性的原理，小前提提出了一个特殊的对象，两者联系，即可得出结果.【名师点睛】（1）归纳推理和演绎推理会出现错误的原因是由合情推理的性质决定的，但演绎推理出现错误，有三种可能，一种是大前提错误，第二种是小前提错误，第三种是逻辑结构错误（2）在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误.仔细分析“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”的推理过程，不难得到结论4【答案】C【

34、解析】由题意，因为同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠的部分的面积恒为，类比到空间中由两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体的重叠部分的体积为，故选C.【名师点睛】本题主要考查了类比推理的应用，解答的关键是根据正方形的性质类比推理出正方体的性质特征，难度不大，属于基础题，着重考查了推理与论证能力求解时，根据正方形中，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠的部分的面积恒为，结合正方体的结构特征，即可类比推理出两个正方体重叠部分的体积，得到答案5【答案】B【解析】由题意可得，第一组数字之和为；第二组数字之和

35、为；第三组数字之和为，依次类推，按照规律，归纳可得，第组数字之和为.故选B.【名师点睛】本题主要考查了归纳推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).由题意可得，第一组数字之和为；第二组数字之和为；第三组数字之和为，观察规律，归纳可得，第组数字之和与其组的编号数之间的关系.6【答案】D【解析】若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则甲或丙猜

36、对，与题意不符，故乙猜错；若丙猜对，则乙猜对，与题意不符，故丙猜错；甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，丁猜对故选D【名师点睛】本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查命题的真假判断及应用，是中档题求解时，分别假设甲对、乙对、丙对、丁对，由已知条件进行推理，由此能求出结果7【答案】C【解析】对于双曲线而言，排除A，B由，得，故选C【名师点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和双曲线离心率的计算，考查类比推理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，先排除A，B，再根据求出双曲线的离心率得解.8【答案】C【解析】由题意，A0纸的长与宽分别为11

37、8.9厘米，84.1厘米，则A1纸的长为，A2纸的长为，A3纸的长为，A4纸的长为29.7（厘米）故选C.【名师点睛】本题考查的是图形的变化规律，根据题意正确找出图形变化过程中存在的规律是解题的关键.9【答案】C【解析】由题意知，乙、丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁是第一棒，甲是第四捧，符合题意，当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，丁只能跑第四棒，甲跑第一捧，不符合题意，故跑第三棒的人是丙，故答案为丙.【名师点睛】本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这

38、类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.10【答案】A【解析】由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为Sn2n1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则Tn，可得当n10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S122121，则此数列前55项的和为S12234072，故选A【名师点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关

39、系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大求解时，利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可11【答案】【解析】利用归纳推理发现左边的次幂为，右边两项相加，且次幂和为，的次幂呈2倍的关系，所以.故填：.【名师点睛】归纳推理的一般步骤是两步，一是通过观察个别情况发现某些相同性质；二是从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.12【答案】【解析】，即，设，则在上单调递增.又，解得或1，故方程的解集是.故答案为.【名师点睛】本题主要考查类比推理，结合题中条件，找出适当的规律即可，属

40、于常考题型.求解时，先由得到，构造，进而得出结果.13【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）大小关系为.证明如下：要证，只需证，由题意知，只需证，（已知条件）故所得大小关系正确.（2）假设是钝角，则，而，这与矛盾，故假设不成立.所以不可能是钝角.【名师点睛】本题考查分析法与反证法，考查基本求证能力，属基本题.求解时，（1）利用分析法，将所证不等式转化为已知条件，即得结论；（2）利用反证法，先假设，再结合余弦定理得矛盾，即否定假设即得结论.14【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）由，得，要证，只需证，只需证， 只需证，因为恒成立， 所以成立.（2）因为，当且仅当时取等号，又

41、，所以由（1）得.【思路点拨】（1）要证原不等式成立，先将函数的表达式代入原不等式，两边乘以，可以得到一个显然成立的结论，由此证得原不等式成立.（2）利用（1）的结论，将（1）右边的二次函数配方，求出其最小值，由此可证得，而，由此可得.直通高考1【答案】B【解析】方法一：如下图所示.依题意可知：， 腿长为105 cm得，即，所以AD169.89.头顶至脖子下端长度为26 cm，即AB26，所以.综上，.故选B.方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则，得又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178

42、.22，接近175cm故选B【名师点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取类比法，利用转化思想解题2【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选：A【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识信息处理能力阅读理解能力以及指数对数运算.3【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩故选D【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合

43、情推理常常能为证明提供思路与方向合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)4【答案】B【解析】将确定的30秒跳绳成绩按从大到小的顺序排列，分别是3，6，7，10，1、5并列，4，其中，3，6，7号进入立定跳远的决赛，此时可确定3，6，7号进入30秒跳绳比赛决赛的名单，现还需3个编号为18的同学进入决赛，而1、5并列，2与8的成绩仅相隔1，故只能1，5进入30秒跳绳的决赛，故选B.5【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理

44、，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.6【答案】6 12【解析】设男生人数、女生人数、教师人数分别为，则.，【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件.7【答案】26，【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，即该半正多面体棱长为【名

45、师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形考点49 数系的扩充与复数的引入（十九）数系的扩充与复数的引入1复数的概念（1）理解复数的基本概念.（2）理解复数相等的充要条件.（3）了解复数的代数表示法及其几何意义.2复数的四则运算（1）会进行复数代数形式的四则运算.（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.一、复数的概念二、复数的几何意义1复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应

46、的，即（1）复数z=abi复平面内的点(a，bR)（2）复数z=abi(a，bR)平面向量.2复数加、减法的几何意义（1）复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量不共线，则复数z1z2是以为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数（2）复数减法的几何意义：复数z1z2是所对应的复数三、复数的代数运算1复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则设，则加法：；减法：；乘法：；除法：（2）复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有（3）复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3C，有，.2常用结论（1）；eq f(1i

47、,1i)=；eq f(1i,1i)=.（2）（3）（4）（5）模的运算性质：；.考向一 复数的有关概念求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi(a，bR)的形式，再根据题意求解.典例1 已知是虚数单位，复数，复数的共轭复数.（1）若，求实数的值；（2）若是纯虚数，求.【答案】（1）4；（2）.【解析】.（1）由已知得.（2）由已知得，是纯虚数，,解得，.【名师点睛】本题主要考查复数的计算和复数的概念，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基

48、础题.熟记结论：若z=abi(a，bR)，则b=0时，zR；b0时，z是虚数；a=0且b0时，z是纯虚数对于本题，（1）先求出，再根据，求出实数的值；（2）由已知得，再根据是纯虚数求出a的值即得解.1设是虚数单位，如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数的值为 ABCD考向二 复数的几何意义复数的几何意义及应用：(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z=abi(a，bR)Z(a，b).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观【注意】|z|的几何意义：令z=xyi(x，yR)，则|z|=eq

49、 r(x2y2)，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离.典例2 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】,对应点为,位于第二象限.故选B.典例3 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0，32i，24i.试求：（1）所表示的复数；（2）对角线所表示的复数；（3）求B点对应的复数【答案】（1）所表示的复数为32i，所表示的复数为；（2）52i；（3）16i.【解析】（1），所表示的复数为.，所表示的复数为.（2）eq o(CA,sup6

50、()=eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，eq o(CA,sup6()所表示的复数为.（3）eq o(OB,sup6()=eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()=eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，eq o(OB,sup6()所表示的复数为(32i)(24i)=16i，即B点对应的复数为16i.【名师点睛】结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解2复数，则的共轭复数在复平面内的对应点在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3如果复数满足，那么的最小值是_.考向三 复数的四则运算复数代数形式的四则运算是每年高考考查

51、的一个重要考向，常利用复数的加减乘运算求复数，利用复数的相等或除法运算求复数等，题型为选择题或填空题，难度较小，属容易题，复数代数形式的运算问题常见题型及解题策略：(1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则，利用此法则后将实部与虚部分别写出即可(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简(3)利用复数的相关概念解题时，通常是设出复数或利用已知联立方程求解(4)复数的运算与复数几何意义的综合题先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合复数的几何意义解答(5)复数的综合运算分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，

52、有括号要先算括号里面的.典例4 A1i B1iC1i D1i【答案】D【解析】.故选D.典例5 已知为虚数单位，则等于ABCD【答案】D【解析】由于，则的周期为4，且，所以原式=.故选D.【名师点睛】本题主要考查复数的计算和的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.对于本题，利用的周期求解即可.4若，则A2B2CD1ABC1D12若，则ABC1D13设i为虚数单位，“复数是纯虚数”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A第一象限B第二象限C第二象限D第四象限5已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a

53、等于A2B2CD16已知，则ABC2D7已知复数的实部为1，且的模长为2，则ABCD8设复数在复平面内对应的点为，若复数的实部与虚部的和为，则ABCD9已知a，bR，i为虚数单位，(2a+i)(1+3i)=3+bi，则a+b=A22B16C9D910若复数（）不是纯虚数，则ABCD且11已知，是关于的方程的一个根，则ABCD12若复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则AB CD13设是复数，则下列命题中的假命题是A若，则B若，则C若，则D若，则14下列命题正确的是A复数不是纯虚数B若，则复数为纯虚数C若是纯虚数，则实数D若复数，则当且仅当时，为虚数15欧拉公式(为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明

54、的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，表示的复数的模为ABCD16_17复数的虚部为_.18已知复数，为虚数单位，若在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围是_19若复数是虚数单位)，且为纯虚数，则实数=_20设是复数，表示满足时的最小正整数，是虚数单位，则_.1【2019年高考全国卷文数】设，则ABCD2【2019年高考全国卷文数】设，则ABCD3【2019年高考全国卷文数】若，则ABCD4【2019年高考北京卷文数】已知复数，则ABCD5【2018年高考全国卷文数】设，则ABCD6【2018年高考全国卷文数】ABCD7【

55、2018年高考全国卷文数】ABCD8【2018年高考北京卷文数】在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限9【2018年高考浙江卷】复数(i为虚数单位)的共轭复数是A1+iB1iC1+iD1i10【2017年高考全国卷文数】下列各式的运算结果为纯虚数的是Ai(1+i)2Bi2(1-i)C(1+i)2Di(1+i)11【2017年高考全国卷文数】 A BC D 12【2017年高考全国卷文数】复平面内表示复数的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限13【2017年高考北京卷文数】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是ABCD14【20

56、19年高考天津卷文数】是虚数单位，则的值为_15【2019年高考浙江卷】复数（为虚数单位），则=_16【2019年高考江苏卷】已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_17【2018年高考天津卷文数】是虚数单位，复数_18【2018年高考江苏卷】若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为_19【2017年高考浙江卷】已知，（i是虚数单位），则_，_20【2017年高考天津卷文数】已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为_21【2017年高考江苏卷】已知复数，其中i是虚数单位，则的模是_变式拓展1【答案】D【解析】=，复数的实部与虚部互为相反数，即a=故选D【名师点睛】本题考查了复数代数

57、形式的乘除运算，考查了复数的实部与虚部的概念，属于基础题求解时，由复数代数形式的乘除运算化简复数，再由已知条件列出方程，求解即可得答案2【答案】A【解析】，在复平面内的对应点为，故选A.【名师点睛】本题考查复数，属于基础题.求解时，化简，写出共轭复数即可根据复平面的定义选出答案.3【答案】【解析】设，由复数模的三角不等式可得，所以复数在复平面的轨迹是连接点和的线段，的几何意义为复数对应的点到点的距离，如下图所示：当时，则取得最小值.故答案为：.【名师点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题，解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题

58、.求解本题时，先得出复数对应的点的轨迹为复平面内连接点和的线段，的几何意义为复数对应的点到点的距离，利用数形结合思想可得出的最小值.4【答案】C【解析】因为，所以，所以，故选C【名师点睛】本题主要考查了复数模的性质，共轭复数的性质，属于中档题.求解时，根据共轭复数的性质可知，直接利用复数模的性质即可求解.考点冲关1【答案】A【解析】，故选A【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程由题意利用复数的运算法则计算所给的复数即可.对于此类问题，要熟记下列公式：设，则，.2【答案】D【解析】由.故选D.【名师点睛】本题考查复数的基本运算，处理技巧在于变

59、形成除法运算形式.求解时，需对运算公式进行变形，再进行化简即可.3【答案】B【解析】复数是纯虚数，则或，所以“复数是纯虚数”不是“”的充分条件；当时，复数为，是纯虚数，“复数是纯虚数”是“”的必要条件，所以“复数是纯虚数”是“”的必要不充分条件故选B【名师点睛】本题考查复数的基本概念，属于基础题，直接利用复数的基本概念以及充要条件判断即可求解时，先求得“复数是纯虚数”时的值，再根据充分、必要条件的判断依据，判断出正确选项.4【答案】A【解析】，所以，故选A【名师点睛】本题考查复数运算，共轭复数及其坐标表示.属于基础题.求解时，化简计算出，写出其共轭复数，即可选出答案.5【答案】C【解析】是纯虚

60、数，所以，故选C6【答案】D【解析】因为且，所以，所以，故选D【名师点睛】本题考查了复数的基本运算，复数的模，复数相等的概念，属基础题.求解时，先由复数相等的定义得到，再求值.7【答案】D【解析】设z1+mi（mR），则|，解得mz1故选D【名师点睛】本题主要考查复数的定义以及复数模的公式应用.求解时，由已知设z1+mi（mR），代入，再由模长为2列式求得m值，则z可求8【答案】C【解析】因为，复数的实部与虚部的和为，所以，故选C【名师点睛】本题考查复数的四则运算及实部、虚部的概念，属于基础题.根据复数的乘法运算和复数的概念求解.9【答案】A【解析】（2a+i）（1+3i）3+bi，2a3+（