历届北方数学奥林匹克试题

1、目录TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark02005年北方数学奥林匹克2 HYPERLINK l bookmark22006年北方数学奥林匹克4 HYPERLINK l bookmark42007年北方数学奥林匹克6 HYPERLINK l bookmark62008年北方数学奥林匹克7 HYPERLINK l bookmark82009年北方数学奥林匹克10 HYPERLINK l bookmark102010年北方数学奥林匹克13 HYPERLINK l bookmark122011年北方数学奥林匹克15 HYPERLINK l bookmark142012年

2、北方数学奥林匹克172005年北方数学奥林匹克AB是。O的一条弦，它的中点为M,过点M作一条非直径的弦CD,过点C和D作。O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点.求证：PA=QB.(裘宗沪供题)定义在R上的函数f(x)满足:叮(0)=0;D对任意兀兀e(一8,-1)U(1,+8),都有f(】(+f=f(x+y)；D当xe(-1,0)时，都有f(x)0.求证：f(1(+f(1(+19291n2+7n+11f(1(f(1)，其中neN+.、肝2+7肝丄11、2十刘贵谭祖春供题)在公差为d(d0)的整数等差数列幻伽，a3n(n2)中，任取n+2个数.证明：1nn其中必存在两个数a.、a.(i主

3、j)，满足不等式I丿(刘康宁安振平供题)已知n位数的各位数字只能取集合123,4,5中的元素，设含有数字5且在5的前面不含3的n位数的个数为/(n).求f(n).(蒋西明供题)如果三个正实数x、y、z满足X2+xx+X2=25，x?+xy+y2=36，y2+yx+x2=169.求44xx+xy+yx的值.张同君供题)设0a.B、yn,ccc2a+ccc20+ccc2y=1.求证：22(1+ccc2伉)2cin4a+(1+ccc20)2c加40+(1+ccc2y)2c加4y(1+ccc2伉)(1+CCC2B)(1+ccc2y)(谭祖春供题)2006年北方数学奥林匹克如图1,AB为。O的直径，非直

4、径的弦CC丄44,E是OC的中点，连结AE并延长交。O于点P,连结DP交BC于点F.求证：F是BC的中点.A图1设p是大于2的质数，数列a满足nan+1=(n+1)an(p)4求2证：当珀=5时，16|a8.已知AD是ABC的边BC上的高，且AC+AC=AA+AC.求乙4的取值范围.设函数f(x)=x2+ax+(a、eR).若存在实数m，使得|f(m)|1，且|f(m+1)|S七求力=a2-4的最大值和最小值.44已知正数a、b、c满足a+c=3.求证：a2+9+2+9+2a2+(+c)222+(c+a)2c2+95.2c2+(a+)2组委会说明试题有误.是否可以将正整数12,64分别填入8x

5、8的64个方格，使得凡具备“”形的四个方格(方向课以任意转置)内的数之和都能被5整除？已知数列a满足口如=a上+1a2，a0=1，keM求证：200621-1200820061.2007年北方数学奥林匹克1.在锐角ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M,在BD上取点N是AN=AM.证明：AN丄CN.2.设ABC三边长分别为a、b、c，且a+b+c=3.求f(a,b,c)=a2+&2+c2+4abc的最小值.33.在数列a中，打+1：=an(nEW).求证：当0n0,nEZ.设n是正整数，a=J/nJ(其中x表示不超过x的最大整数)，求同时满足下列条件的n的最大

6、值：(l)n不是完全平方数；(2)a3In2&ABC的内切圆半径为1，三边长AC=a，CA=b，AA=c.若a、b、c都是整数，求证：44C为直角三角形.2008年北方数学奥林匹克1.如图1,QO是梯形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H,ABCD.作BPAD交DC的延长线于点P,AO的延长线交CP于点Q.若4E=AE，求证：CAQ=PAQ.图1（张利民供题）已知乙4、乙4、乙C是44C的三个内角.证明：如2+如2+如2二V36ltart2A+tart2A+tart2c97398994195719719912392396788张雷供题）100222给定三角形数表如图2：1-23-58-2

7、0M图2其中,第一行各数依次是1,2,-,100,从第二行起,每个数分别等于它上面一行左、右两数的和.求M的值.焦和平供题）证明：（1）存在无穷个正整数n使兀2+1的最大质因子小于n（2）存在无穷个正整数n使/+1|加.（张雷供题）5.如图3,已知口ABCD,过A、B、C三点的0O分别交AD、BD于点E、F,过C、D、F三点的。02交AD于点G,设O1O2的半径分别为R、R.求证：eg=吧.12EDR1（吕建恒刘康宁供题）设a、b、c为直角三角形的三边长,其中,c为斜边长.求使得a3+b3+c3二k成立的k的最大值.abc（李铁汉供题）设n是正整数，整数a是方程兀4+3ax2+2ax-2x3n

8、=0的根.求所有满足条件的数对（n,a）.李铁汉供题）给定由n(n+1)个点组成的正三角形点阵(如图4),记以点阵中三2个点为顶点的所有正三角形的个数为f(ri)，求f(n)的表达式.*图4张利民供题)2009年北方数学奥林匹克设数列xn满足叫=1,九=/欝_+xn-1+xn-1（n2）.求数列兀的通项公式.（张雷供题）如图1,在锐角AABC中，已知44AC,cccA+cccC=1,E、F分别是AB、AC延长线上的点，且满足AAF=ACE=90.（1）D求证：AE+CF=EF；（2）DiEAC的平分线与EF交于点P,求证：CP平分ACF.（刘康宁吕建恒徐庆金供题）已知有26个互不相等的正整数,

9、其中任意六个数中都至少有两个数,一个数整除另一个数.证明：一定存在六个数,其中一个数能被另外五个数整除.（张同君供题）船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配：水手1、水手2、水手3每人写下一个正整数分别为2、3，满足123,且1+*+3=2009;船长在不知道水手写的数的情况下，将2009枚金币分成3堆，各堆数量分别为,、，2、，3，且,，2，3.对于水手k（k=1,2,3）,当上%时，可以从第k堆拿走上枚金币，否则不能拿.最后所有余下的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数，船长总可以确保自己拿到n枚金币.试确定n的最大值，并证明你的结论.张利供题）

10、如图2,在给定的扇形AOB中，圆心角为锐角.在弧AB上取异于A、B的一点C，在线段OC上取一点P，连结AP，过点B作直线BQ/AP交射线OC于点Q.证明：封闭图形OAQPBO的面积与点C、P的选取无关.图2徐庆金供题）6.设X、y、z0，且%2+X2+Z2=3，求证：为2009_2008(x-1)1(兀+z+z2X+z).（杨海滨贾应红供题）记m为不超过实数m的最大整数.设x、y均为正实数，且对所有的正整数n，都有xnx=n1成立.证明xy=1，且y是大于1的无北方数学奥林匹克理数.（刘康宁供题）求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.（张雷供题）北方数学奥林匹克北方数学奥林匹克

11、2010年北方数学奥林匹克已知数列满足=2，九=22n-i+2n2n（n=2,3，）求通项九（n=1,2,）.（吴树勋供题）已知PA、PB是。O的切线，切点分别是A、B,PCD是。O的一条割线，过点C作PA的平行线，分别交弦AB、AD于点E、F.求证：CE=EF.（李新焕供题）求所有的正整数（兀,x,z），使得1+2xX3z=5z成立.（张雷供题）在7X7的方格表的64个网格线交点（称为“结点”）处放棋子，每点至多放1枚，一共放了k枚棋子.若无论怎样放，总存在4枚棋子，它们所在的结点构成一个矩形（矩形的边平行于棋盘网格线）的四个顶点.试求k的最小值.（张利民供题）设正实数a、b、c满足(+2b

12、)(b+2c)=9.求证：Ja2+b2+23Ib3+c323.张雷供题）已知。O是ABC的内切圆，D、E、N是切点，连结NO并延长交DE于点K连结AK并延长交BC于点M.求证：M是BD的中点.（康春波供题）求比X,z=(x,X)+(x,Z)+X)满足兀%z,(x,X,Z)=1的所以正整数解，其中，m,对和(me)分别表示正整数m、n的最小公倍数和最大公约数.(王全供题)设兀、x、zE0,1,且|xx|1,|%z|1,|zx|2）满足A.AA.=0（怀工瀀），A1UX2U-UXn=4，则称4,X2，,An是集合A的一个分划.张雷供题）若正整数a、b、c满足2+b2=C2,则称（,b,c）为勾股数

13、组.求含有30的所有勾股数组.（杨春宏供题）如图2,过点P引的切线PA和割线PBC,4D丄PP,垂足为D.证明：AC是AABD外接圆的切线.A吕建恒供题）在ABC中，证明：1+1+1S2.1+CCS2A+ccs2A1+ccs2A+ccs2D1+ccs2D+ccs2A安振平供题）已知n是正整数，实数x满足1|2l(n1)nx|卜.|=x.求x的值.张利民供题）2012年北方数学奥林匹克1.如图1,在ABC中，乙C=90。，I是内心.直线BI交AC于D,作DE平行于AI交BC于E,直线EI交AB于F.证明：DF垂直于AI.图1正整数兀,x，,x(nN+),满足兀2+x2+X2=111,求12八丿12nS=X1+X2+xn的最大可能值.n设S=xlx=a,2+ab+&2,a,be%.求证：设n是正整数，证明(1+1(1+1(.(1+1(AE,若乙BBC=ACBE，且恥=bb，求证：AC平分线段BE.图28.设p是奇素数，如果存在正整数a使p!ap+1，证明:(1)(a+1,aP+1(=p.a+1aP+1没有小于P的素因子.a+1p!a+1.北方数学奥林匹克(1)若meS,3|m，则3eS;m(2)若m,neS，则mneS.平面上有n(n4)条直线，对于