复杂图形的比例与面积

1、复杂图形的比例与面积基础知识：1.三角形面积由两个因素决定：底和高两个三角形，底相等，面积比等于高的比；两个三角形，高相等，面积比等于底的比。2在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点0,sl_sl_ad(2)十虽AQCO(1)(3)3如图，在梯形ABCD中，存在以下关系:左、右部分的面积相等，即S=S；34S：S：S:s=&护：必：处12344.燕尾定理：在三角形曲。中，ad,珈，防相交于同一点。，那么%窗r九亡厂例1.图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍.那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?答疑编号50572147010

2、1【答案】22.5【解答】AABD,ABC等高，所以面积的比为底的比,有icBDBCO碗口二XX碗G=TX，所以180=90（平方厘米）.同理有（平方厘米），仏二答也二gX30=22.5（平方厘米）.即三角形AEF的面积是22.5平方厘米.答疑编号505721470102【答案】10【解答】比较有相同底边的两个三角形ABC和BCD,它们的高的比是3:2,因此60 x2=40三角形BCD的面积是经.于是三角形ACD的面积是60+40=100.注意ACD的底边是小正方形边长的2倍，而高就是小正方形的边长，所以它的面积与一个小正方形的面积是相等的，应该都是100，所以小正方形的边长就是10（因为10

3、X10=100）.例3如图2,在15个小正方形拼成的长方形中，三角形ABC的面积是120（其中C是大长方形的对角线与B所在竖线的交点）那么小正方形的边长是答疑编号505721470103【答案】10【解答】如下图，三角形ABC与三角形BCD的底边都是BC,而高的比是3：2,2120 x_=SO所以三角形BCD的面积是？，那么三角形ABD的面积就是120+80=200。三角形ABD的面积是大三角形ADG的面积减去三角形ABE、长方形BEGF、三角形BDF的面积，也就是等于个小正方形的面积，因此每个小正方形的面积是200三2=100,那么边长为10。B例4.如图，四边形土地的总面积是52公顷，两条

4、对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷.那么4个小三角形中最大的一个三角形的面积是多少公顷?答疑编号505721470104答案】21解答】，所以，三角形ABO的面积是18公顷,三角形BOC的面积是21公顷所以，最大的三角形的面积为21公顷.例5.已知ABCD是一个梯形，BO=3OD，AD=4,SAB=12，则梯形的高是多少？梯形的下底BC是多少?静答疑编号505721470105【答案】12【解答】由于AB0和4A0D是等高的三角形，并且B0=30D,可得S“=3S“，ABOAOD因此SAAOD=4,这样S=12+4=16。换一个角度去观察钝角三角形ABD,

5、将AODABDAD作为它的底，将B作为它的顶点。从而根据Saard=16和AD=4可知AABD在ABD底边AD上的高为16X224=8，而这个高也是梯形的高。由于AABC和厶DBC是同底等高的三角形，所以S=S，从而S=SABCDBCABODOC=12。由于ADOC和OBC是等高的三角形，并且B0=30D,可得Saobc=3Sadoc，因此S=36，这样S=12+36=48。oBCDBC下面可以用两种方法去求BC的长度，如果把AD看成AABD的底边，把BC看成ADBC的底边，那么AABD和ADBC是等高的，由于S是S“的3倍，所ADBCAABD以BC=3AD，从而BC=12。或者可以利用梯形面

6、积的计算公式去求BC的长度，由于梯形的面积=4+12+12+36=64，梯形的高为8，梯形的上底AD=4，于是下底BC=64X2284=12。例6.如图，ABCD是梯形，三角形ADE面积是1.8,三角形ABF的面积是9,三角形BCF的面积是27.那么阴影部分面积是多少?答疑编号505721470106【答案】4.8【解答】设AADF的面积为“上”，ABCF的面积为“下”，AABF的面积为“左”，ADCF的面积为“右”.左=右=9；上X下=左右=9X9=81，而下=27,所以上=81三27=3.AADE的面积为1.8,那么AAEF的面积为1.2,贝VEF：DF=:=1.2：3=0.4.ACEF与

7、ACDF的面积比也为EF与DF的比，所以有亍0.4X九=0.4X(3+9)=4.8.即阴影部分面积为4.8.例7.如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE,F是DG的中点阴影部分的面积是多少平方厘米?筛答疑编号505721470107【答案】12【解答】如下图，连接FC,ADBF、ABFG的面积相等，设为x平方厘米，1AFGC.ADFC的面积相等，设为y平方厘米，那么ADEF的面积为y平方厘米.21E血页=2x+2y=1,比噩耳=x+Wy=lxW=W.x+y=0.5CD所以有仏忙1比较、式，式左边比式左边多2x，式右边比式右边大0.5,有2x=0.5，即x=0.25,y=0.25.

8、例8.如图，正方形ABCD的边长是12,BF=CE=4,则四边形ABOD的面积是.A和答疑编号505721470108【答案】7【解答】如图，假设卩和厶0EC的面积分别为x和y，那么OCF和厶OED的面积就分别为2x和2y.根据BEC和厶OCF的面积，可以列方程组得：X十2兀十j/=12x(123)2|_2+2=12(1232)2化简即得：女十丿=24勿+氐=4呂解得1，7.所以四边形ABOD的面积为:例1.已知EF=2BF，AD=3BD,三角形ABC的面积为36,那么四边形ADFE的面积是多少？分析：四边形ADFE是一个不规则的四边形，无法直接计算它的面积。做辅助线连接D和E,将四边形ADF

9、E分成2个三角形厶ADE和厶DFE，三角形的面积就比较好求了。请大家想一想，除了公式以外，还可以利用什么方法去求三角形的面积？题目中给出的条件是线段与线段之间的关系，一定要将线段与线段的关系转化成图形与图形的关系，这样才有助于计算面积。比如：由EF=2BF，可知Sadfe=2Sadrf。这是连接D和E做辅助线的DFEDBF另外一个优点，它将线段之间的倍数关系转化成了三角形面积之间的倍数关系，这就使得线段与图形相互联系了起来。答疑编号505721470201答案】11【解答】由EF=2BF,可知S=2S,S=2S，从而S=2S。由于TOC o 1-5 h zDFEDBFEFCFBCEDCDBCA

10、D=3BD,可知S=3S。如果设S=“1”，那么S=“2”，S=“3”，ADCDBCDBCEDCADC所以Lde=T，Lbc=“4”。由于大三角形ABC的面积为36,所以de=“1”=36三4=9。下面求DFE的面积。由于AD=3BD，可得Sade=3Sdbe，因此S&be=9三3=3。因为S=2S，而S+S=S，所以S=3三3X2=2。由SDFEDBFDFEDBFDBEDFEAD=9，S=2,可知四边形ADFE的面积是11。DFE总结：在直线形计算的问题中，如果碰到一个不规则的图形，通常需要添加辅助线将它分割成若干个可以计算面积的图形，例如分割成三角形、平行四边形或者梯形。如果题目中的条件给

11、出了线段与线段之间关系，也可以利用添加辅助线的方法将线段与三角形（或者其它的图形）联系起来，这样线段之间的关系就变成了三角形（或者其他图形）之间的关系，从而有助于计算图形的面积。例2.如图1,在rABC中，DC=3BD，rABC的面积是84,DE=EA，则阴影部分的面积,答疑编号505721470202【答案】36【解答】连结DF,因为DE=EA,所以三角形ACE的面积与三角形CDE的面积相等，三角形AEF的面积与三角形DEF的面积相等.因此阴影部分的面积等于三角形CDF的面积，也等于三角形ACF的面积.又因为CD=3XBD，所以三角形DEF的面积是三角形CDF面积的因此阴影部分的面积囲2答疑

12、编号505721470203【答案】97.5【解答】连DE.由BF=3FE二久观=3久謳由AF=F片兀w=兀吨记w=2a,贝fg=6a,SDAB=8a皿亡_配_血cs11_4&而&齟好口kCDS，即1-呦1-8=1一加=1一1血+24(?二力=24护二/二巨a十从而阴影部分的面积是8(7)=17(2=BDAFAE2=+=例4.如图，AABC的面积是1,且UDF劳配彳，贝yOAB的面积是答疑编号505721470204【答案】肝解答】0AB的面积是刁于站.例5.在长方形ABCD中，E是AD的中点，F在CE上且EF：FC=3：1,已知三角形BFD的面积是60,则长方形ABCD的面积是.答疑编号50

13、5721470205【答案】192【解答】OE:OC=1：2,EF:FC=3：1,1：=4:5三角形BED的面积：三角形BFD的面积=?吃,因为三角形BFD的面积是60，所以，三角形BED的面积是48,则长方形ABCD的面积是48X4=192.例6.如图，梯形ABCD外有一点E,使得ABE、AADE和厶EDC的面积相等.AD!/说证明：AAB卩和厶AFD的面积相等；证明：AAD卩和厶AHD的面积相等；如果已知人匕卩和厶DGH的面积分别为3和1,求梯形ABCD的面积.*答疑编号505721470206【答案】18【解答】（1）证明：因为ABE与厶ADE都是以AE为底且面积相等，所以AABE在边A

14、E上的高与ADE在边AE上的高相等.因为ABF与厶AFD同底（AF）等高，所以ABF与厶AFD的面积相等。（2）证明：由（1）同理，AAHD与厶HDC面积相等，所以ADF是厶ABD面积的一半，AAHD是厶ACD面积的一半.因为梯形ABCD中，AABD与厶ACD的面积相等，所以人。卩和厶AHD面积相等.（3）解：由AABF的面积是3，可得ADF、AHDC面积都是3,所以AGD的面积是3-1=2.因为ABG与厶ADG有相同的高，且面积分别为4和2,所以BG是DG的2倍.因为CBG与厶CDG有相同的高，所以CBG的面积是厶CDG的2倍，为8,所以梯形ABCD的面积为2+4+4+8=18.例7.如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点三角形ABC由这6部分组成，其中比多6平方厘米.那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？需答疑编号505721470207【答案】48【解答】因为E是DC中点，F为AC中点，有AD=2FE且平行于EF,贝四边形ADEF为梯形.在梯形ADEF中有