（精品）高二第二学期期中考试数学试卷含答案(共5套,word版)

1、1高二下学期期中考试数学试卷一、选择题：(本大题共30 小题，每小题 4 分,共 120 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合U = 1,3,5,7,9 ， A = 1,5,7 ，则C A = ( )U(A) 1,3 (B) 3,7,9 (C) 3,5,9 (D) 3,9 2若sin a 0 是，则a 是( )A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角133. 设 M 和 m 分别表示函数 y= cosx1 的最大值和最小值，则M+m 等于( )2 2 4A. B. C. D.2 3 3 34在等比数列a 中，若a = 4 ， a = 32 ,则公比

2、应( )n 2 51A 2 B 2 C2 D 25.函数 f (x) = lg(x _ 1) 的定义域是( )A. (2,+w) B. (1,+w) C. 1,+w) D. 2,+w)6平面a 面b = m ，直线 la ，lb ，则( )A m l B m l C m 与 l 异面 D m 与 l 相交7设平面向量a = (1,2), b = (_2, y) ，若ab ，则| 3a+ b |等于( )A 5 B 6 C 17 D 268.在等差数列a 中，已知a = 1,a + a = 10, a = 39, 则n =( )n 1 2 4 nA 19 B 20 C 21 D 22(x2 _

3、1 0lx2 _ 3x c a B. b a c C a b c D. c b a13函数 y = sin x + cos x 的最小值和最小正周期分别是( )A _ 2 , 2 B _2, 2 C _ 2 , D _2, |x + 2y 共 3,(|2x + y 共 3,315. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于( )A 3 B 2 C 2 3 D 6A. 1 B. C.2 D.3216已知向量a = (3,4),b = (sina, cosa),且a b, 则tana 为( )3 4 3 4A B C _ D _ 4 3 4 317设等差数列 a n 的前 n

4、项和为 Sn ，若S3 = 9pS 6 = 36 ，则 a7 + a8 + a9 等于( )A 63 B 45 C 36 D 2718若 0a 0 ， y 0 ， x + y = 1 ，则 x + y 的最大值是( )2 3A 2 B 1 C D2 222不等式(a 一2)x2 +2(a 一2)x 一4 0 对于x = R 恒成立，那么a 的取值范围是( )A (一2,2) B (一2,2 C (一 ,2 D (一 ,一2)23为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班 60 名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图(如图所示)，已知从左到右各长方形高的比为 2：3 ：5 ：6 ：3 ：1，

5、则该班学生数学成绩在(80，100)之间的学生人数是( )A. 32 人 B. 27 人C. 24 人 D. 33 人224函数 f (x) = ln(x+1) 一 的零点所在的大致区间是( )xA (0,1) B (1,2) C (2, e) D (3,4)25在区间一 , 上随机取一个数x ，cos x 的值介于 0 到 之间的概率为( )几 几 12 2 21A. 32B. 几1C. 22D. 326设函数 f (x) = sin(2x + 几 ) ，则下列结论正确的是( )3A f (x) 的图像关于直线x = 几 对称 3B f (x) 的图像关于点(几 ,0) 对称 4C把 f (

6、x) 的图像向左平移 几 个单位，得到一个偶函数的图像124甲 乙D f (x) 的最小正周期为 ，且在0, 上为增函数 627在ABC 中， a,b,c 分别为三个内角A,B,Cur r所对的边，设向量m = (b c, c a), n = (b, c + a) ，ur r若m n ,则角 A 的大小为( )2A. B. C. D. 63236 528已知cos(x + ) = 3 ， x (0, )，则 sin x 的值为( )A.4 3 310B.4 3 3101C. 23D.229在数列a 中，a = ca (c 为非零常数)，且前n 项和为S = 3n + k ，则k 等于( )n

7、n+1 n nA 0 B 1 C - 1 D 230直线x +(a2 +1)y +1 = 0(a R) 的倾斜角的取值范围是( )A 0 ， B 3 ， )4 4C 0， ( ， ) D ， ) 3 ， )4 2 4 2 4二、解答题：(本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分.解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤. )31已知圆C : x2 + y2 4x 6y +12 = 0 的圆心在点C ， 点A(3,5) ，求；(1)过点 A 的圆的切线方程；(2) O 点是坐标原点，连结OA ， OC ，求 AOC 的面积S 32在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6 次测试，测

8、得他们的最大速度(单位： m/s)的数据如下：2733382930383734352831365(1)用茎叶图表示甲，乙两个成绩；(2)根据茎叶图分别计算两个样本的平均数x 和方差 s2 ，并根据计算结果估计哪位运动员 的成绩比较稳定。S33设 an 为等差数列， Sn 为数列 an 的前 n 项和， 已知 S77，S1575，Tn 为数列 nn n的前 n 项和，求 T 6参考答案一 选择题1-30、DCDAB AABCD BAACD DBABD ABDBA CBBCB二解答题31解：(1) C： (x 一 2)2 + (y 一 3)2 = 1当切线的斜率不存在时，对直线x = 3,C(2,

9、3) 到直线的距离为 1，满足条件当k 存在时，设直线 y 一 5 = k (x 一 3) ，即 y = kx + 5 一 3k ， = 13得k = 43 11得直线方程x = 3 或y = x + 4 4(2) | AO |= 9 + 25 = 34 AD 所在直线l : 5x 一 3y = 01C 到了l 的距离d =34S = 1 | AO | d = 12 2 32解：(1)茎叶图如图所示甲 乙7 2 9 81 5 7 0 8 3 3 8 4 6 27 + 38 + 30 + 37 + 35 + 31 (2) x 甲 = 6 =33， x乙= 3347 38s2 = ， s2 = 甲

10、 3 乙 3乙稳定33.解：设等差数列an 的公差为 d，则1Sn=na1 2 n (n1) dS77 ，S1575，7(7a + 21d = 7, (a + 3d = 1,15a + 105d = 75, a + 7d = 5, 1 即 1 3 分1 1S 1 1解得 a1 2，d1 a1 2 (n1) d2 2 (n1) 4 分S S 1 - = 2 ， 6 分S 1数列 n 是等差数列，其首项为2，公差为 ， 8 分n 21 9T n2 n 10 分n 4 48高二下学期期中考试试卷数学试题一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是

11、符合题目要求的 )1若复数z 满足(3 一 4i)z = 4 + 3i ，则 z 的虚部为( )A 一44B 一5C 44D52用反证法证明命题“设a, b 为实数， 则方程x3 + ax + b = 0 至少有一个实根”时， 要做的假设是( )A方程x3 + ax + b = 0 没有实根B方程x3 + ax + b = 0 至多有一个实根C方程x3 + ax + b = 0 至多有两个实根D方程x3 + ax + b = 0 恰好有两个实根3曲线y = e一x 在点A(0,1) 处切线斜率为( )1A 1 B 一1 C e De4函数y = 2x 一 x2 的图象大致是( )A BC D5

12、由曲线 y = x ，直线y = x 一 2 及 y 轴所围成的图形的面积为( )910 16A B 4 C D 6 3 36设 f (x) 是定义在正整数集上的函数，且 f (x) 满足： “当 f (k) k2 成立时，总可推出f (k +1) (k +1)2 成立”那么，下列命题总成立的是( )A若 f (1) 1 成立，则 f (10) 100 成立B若 f (2) 4 成立，则 f (1) 1 成立C若 f (3) 9 成立，则当k 1 时，均有f (k) k2 成立D若 f (4) 25 成立，则当k 4 时，均有f (k) k2 成立(第 7 题图)7如图所示， 面积为S 的平面

13、凸四边形的第i 条边的边长记为a (i = 1,2,3, 4) ，此四边形内 i任 一 点 P 到 第 i 条 边 的 距 离 记 为 h (i = 1,2,3, 4) ， 若 a1 = a2 = a3 = a4 = k ， 则i 1 2 3 4h + 2h + 3h + 4h = 2S 类比以上性质，体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 1 2 3 4 kS (i = 1,2,3, 4) ，此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 H (i = 1,2,3, 4) ，若i iS S S S1 = 2 = 3 = 4 = K ，则H + 2H + 3H + 4H 等于( )1 2

14、 3 4 1 2 3 4V 2V V 3VA B C D 2K K 3K K8设函数 f ,(x) 是奇函数 f (x)(x R) 的导函数， f (1) = 0 ，当x 0 时，xf ,(x) f (x) 0 ，则使得 f (x) 0 成立的x 的取值范围是( )A ( , 1)U (0,1) B (1,0) U (1,+)C ( , 1)U (1,0) D (0,1)U (1,+)9已知函数f (x) 的定义域为1,5 ，部分对应值如下表， f (x) 的导函数y = f ,(x) 的图象如图所示 下列关于f (x) 的命题：x 1 0 4 510f (x) 1 2 2 1函数 f (x)

15、 的极大值点为0,4；函数 f (x) 在0,2 上是减函数；如果当x =一1,t 时， f (x) 的最大值是2 ，那么t 的最大值为4 ；当1 a c2 ，则C ；3几若a3 + b3 = c3 ，则C 2c ，则C ； 3若(a + b)c 几 2三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 (本小题满分 12 分)已知数列 a 满足a = 1 ， na = 2(n +1)a ，设b = an n 1 n+1 n n n(1)证明：数列b 是等比数列，求 a 的通项公式； n n(2)求 a 的前n 项和T 。 n n18 (本小题满分 12 分)已知函数 f

16、(x) = (x 一 1)2 + a(ln x 一 x +1) 其中a 共 2 ，(1)讨论 f (x) 的单调性；(2)写出 f (x) 的极值点。19 (本小题满分 12 分)如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A 一 CD 一 F 为60。， DECF ， CD DE, AD = 2 ，DE = DC = 3 ， CF = 6 (1)求证： BF平面ADE ；12试证明 1 3 为定值.1 4(2)在线段CF 上求一点G ，使锐二面角B EG D 的余弦值为ABEDC F20 (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : x2 + y2 = 1(a 1) ，离心率 e

17、 = 6 直线l : x = my +1 与x 轴交于点 A ，a2 3与椭圆C 相交于E, F 两点 自点E, F 分别向直线x = 3 作垂线， 垂足分1 1 .别为E , F(1)求椭圆C 的方程及焦点坐标；(2)记AEE , AE F , AFF 的面积分别为S , S , S ， 1 1 1 1 1 2 3S SS22yOEAFE1xF121. (本小题满分 12 分)已知函数f (x)= ln x +a (a 0).x(1) 若函数f (x) 有零点, 求实数a 的取值范围;131b 1 时, f (ln b) 。 b(2) 证明:当a 2 ， e22. (本小题满分 10 分)选

18、修 45：不等式选讲已知函数 f (x) = x - a+ 2x - 1 , a = R .(1)当a = 1 时，求不等式f (x)共 3 的解集；(2)若关于x 的不等式 f (x) 共 2x +1的解集包含集合 ,1 ，求实数 a 的取值范围.14() 的定义域为分由得或当时，由得由 得 在 上单调递减，在 上单调递答案1-12： DABAC DDABD CC13.A14.i15、16 a2a17、(1) na = 2(n + 1)a ， n+1 = n+1 n n +1n ，即b = 2b ， 3 分nn +1 nb 是首项为 1，公比为 2 的等比数列na b = b qn 1 =

19、2n 1 = n ， a = n 2n 1n 1 n n.4 分.6 分(2) ， . 8 分，两式相减可得化简可得12 分18 1，13 分.，增 5 分15当 时，由 得 ，或 ，由得， 在 上单调递增，在 上单调递减，在上单调递增 7 分当a = 2 时， 对任意x =(0,+w) 恒成立 在(0, +w) 上单调递增 9 分(2) 当 时， 的极小值点为 ，无极大值点。10 分 当 时 ， 的 极 小 值 点 为 ， 极 大 值 点 为。 11 分当a = 2 时， 无极小值点也无极大值点。 12分19解： (1)因为四边形ABCD为矩形， 所以BCAD .因为AD 仁平面 ADE ，

20、 BC 亿 平面 ADE ，所以BC平面 ADE 1 分同理CF平面 ADE 2 分又因为BC I CF = C ，所以平面BCF平面 ADE 3 分因为BF 仁平面BCF ，所以 BF平面 ADE 4 分(2)法一：因为CD AD, CD DE ，所以三ADE 是二面角A 一 CD 一 F 的平面角，即三ADE = 60。 5 分因为AD I DE = D ，所以CD 平面 ADE .因为CD 仁平面CDEF ,16得平面BEG 的一个法向量为m = (2 - t,3, 3t)， 8 分lz = 3t,所以平面CDEF平面 ADE .作 AO DE 于点O ，则 AO平面CDEF . 6 分

21、由AD = 2, DE = 3 , 得DO = 1 ， EO = 2 以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴， DE 所在直线为y 轴， OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O - xyz ，则A (0,0, 3 ), C (3,-1,0), D (0, -1,0), E(0,2,0), F(3,5,0) ， = + = + = (3,0, 3 )，7 分设 G ( 3 ，t ，0 )，- 1 共 t 共 5 ，则 = (- 3，2，- 3 )， = (0，t ，- 3 )设平面BEG 的法向量为m = ( x ，y，z )，lmgBG = 0, |lty - 3z = 0,

22、 |则由(m = 0, 得(|-3x + 2y - 3z = 0, ，取又平面DEG 的一个法向量为n = (0,0,1) ，9 分所以 cos = m . n = 3 t ， 10 分m n 4t2 - 4t + 13所以 = ，3 t 14t2 - 4t + 13 41 13解得t = 或t = - (舍去)， 11 分2 22CG 1 1 3此时 = ，得CG = CF = .CF 4 4 23即所求线段CF 上的点G 满足CG = 12 分2法二：作BO CF 于点O ，作OH EG 的延长线于点H ，连结BH 因为CD BC, CD CF, BC I CF = C ，17所以CD平面

23、BCF ，5 分三BCF 为二面角A _ CD _ F 的平面角， 三BCF = 60。 6 分A所以CD BO 因为CD I CF = C ， BE所以BO平面CDF ， BO EH 7 分D因为OH EH , OH I BO = O ，所以 EH 平面BOH 8 分 C O G M FH所以 EH BH ， 三BHO 为二面角B _ EG _ D 的平面角 9 分在Rt编BCO 中， BC = 2,三BCO = 60。，所以BO = 3, CO = 1 1 BO 5又因为cos三BHO = ，所以tan 三BHO = = 15 ， OH = 10 分4 OH 5作EM CF 于M ，则编O

24、GH : 编EGM ， EM = CD = 3,CM = DE = 3 ，5设OG = x ，则 OH = EM ，即 5 = 3 ， 11 分OG EG x 9 +(2 _ x )21 3解得 x = ，即所求线段CF 上的点G 满足CG = 12 分2 2c 6 a2 _ 1 220、解： (1)由题意可知b = 1 ，又 = ，即 = . 2 分a 3 a2 3解得a2 = 3 . 即a = 3 .所以c = a2 _ b2 = 2 .所以椭圆C 的方程为 + y2 = 1 ，焦点坐标为(士 2,0) . 4 分x23(2)由得(m2 + 3)y2 + 2my _ 2 = 0 ，显然m=

25、R .1 1 2 2 1 2 m2 + 3 1 2 m2 + 3设E(x , y ), F (x , y ) ,则 y + y = _2m , y y = _2 ，6 分则E (3, y ), F (3, y ) .1 1 1 218E 1xF 11 1因为S1S3 = 2 (3 一 x1 ) y1 . 2 (3 一 x2 ) y21= (2 一 my )(2 一 my ) y y 4 1 2 1 2= 4 一 2m(y + y ) + m2 y y y y 4 1 2 1 2 1 21yOEAF= (4 一 2m . + m2 . ) =1 一2m 一2 一2 3(m2 + 2)， 8 分4

26、 m2 + 3 m2 + 3 m2 + 3 (m2 + 3)21又因为S 2 = 人 2 y 一 y 22 2 1 2= (y + y )2 一 4y y 1 2 1 2= + = = . 10 分3(m2 + 2)S S (m2 + 3)2 1所以 23 = 12(m2 + 2) = 4 . 12 分2 (m2 + 3)221(1)法 1: 函数f (x)= ln x +a 的定义域为(0, +w).x由 f(x)= ln x + a , 得 f ,(x)= 1 一 a = x 一 a 1 分x x x2 x2 .因为a 0 ,则x 仁 (0, a)时, f ,(x)想 0 ;x 仁 (a,

27、 +w)时, f ,(x) 0 .所以函数f(x)在(0, a)上单调递减, 在(a, +w)上单调递增.2 分当x = a 时, f (x)min= ln a +1 .3 分当ln a +1 共 0 , 即0 想 a 共 1 时, 又 f (1)= ln1 + a = a 0 , 则函数 f (x )有零点4 分e所以实数a 的取值范围为|(0, e| .5 分( 1 法 2：函数 f(x)= ln x +a 的定义域为(0, +w).x19由 f(x)= ln x + a = 0 , 得a = _x ln x1 分x令 g (x)= _x ln x ，则 g,(x)= _ (ln x +1

28、).当 x = (|(0, )| 时, g,(x) 0 ; 当x = (|( , +w)| 时, g,(x) 0 .所以函数 g(x)在(|(0, )| 上单调递增, 在(|( , +w)|上单调递减. 2 分1 故 x = 时,e(e ) e e e函数 g (x)取得最大值g (| 1 )| = _ 1 ln 1 = 1 .3 分因而函数 f(x)= ln x + a 有零点, 则0 a 共 1 . 4 分x e所以实数a 的取值范围为|(0, e| .5 分( 1 (2) 令h(x)= x ln x + a , 则h,(x)= ln x +1 .当0 x 1 时, f ,(x)1 时,

29、f ,(x) 0 .e e所以函数h(x)在(|(0, )| 上单调递减, 在(|( , +w)|上单调递增.e min e当x = 1 时, h (x) = _ 1 + a .6 分于是,当a 之 2 时, h (x)之 _ 1 + a 之 1 . 7 分e e e令Q (x)= xe_x , 则Q ,(x)= e_x _ xe_x = e_x (1_ x).当0 x 0 ;当x 1 时,f ,(x) 0 时, Q (x)共 1 . 9 分e显然, 不等式、中的等号不能同时成立.故当x 0, a 之 2 时, x ln x +a xe_x .10 分e20因为b 1,所以ln b 0 .所以

30、ln b . ln(ln b)+a ln b . e lnb .11 分所以ln(ln b)+ a 1 , 即 f (ln b) 1 .12 分ln b b b22 (1)当 时， ，等价于即为所以不等式或 或3 分即 或 或 ，或或，解得 ，原不等式的解集为 5 分(2)不等式 的解集包含集合 ，当 时，不等式 恒成立， 6 分21即对恒成立，对恒成立，恒成立8 分 对5，所以1 a ， 2所以(x 2) a (x + 2)max min实数的取值范围为 10分2高二第二学期期中测试数学一选择题： 共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1从

31、某工厂生产的 P,Q 两种型号的玻璃中分别随机抽取 8 个样品进行检查，对其硬度系数 进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)，则 P 型号样本数据的中位数和 Q 型号样本数据的众数分别是( )A 21.5 和 23 B 22 和 23C 22 和 22 D 21.5 和 22.52已知某一随机变量 X 的分布列如下,且 E(X)=6.3,则 a 的值为( )a0.140.5XP9bA 5 B 6 C 8 D 73执行如图所示的程序框图，则输出的A 74C 177B 83D 166234抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为 3 的概率是( )ABDC5在区间 内随机取两个数分别记

32、为 ， ，则使得函数 有零 点的概率为( )A B C D6港珠澳大桥于2018 年 10 月 24 日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的 桥隧工程，桥隧全长 55 千米，桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速 100 km/h. 现对 大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图(如图) .根据直方图估计 在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90 km/h 的概率分别为A 、 B 、C 、 D 、7从 人中选出 人分别参加 年北京大学的数学、物理、化学、生物暑期夏令营，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数共有 ( )A

33、 B C D8若 展开式中含 项的系数为 21，则实数 的值为( )A 3 B -3 C 2 D -224恰有两个极值点， 则实数 的取值范围为9设某种动物由出生算起活到 10 岁的概率为 0.9，活到 15 岁的概率为 0.6.现有一个 10 岁的这种动物，它能活到 15 岁的概率是( )3 3 2 27A. B. C. D.5 10 3 5010从 1 、2 、3 、4 、5 这五个数字中任取 3 个组成无重复数字的三位数，当三个数字有 2和 3 时，则 2 需排在 3 的前面(不一定相邻)，这样的三位数有( )A9 个 B15 个 C45 个 D51 个11已知双曲线 ：满足的左、右焦点

34、分别为 ， ，.若 为等腰三角形，则双曲线 的离心率为( )A B C D12若函数 ( )A B C D二填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13曲线 在 处的切线方程为_14已知3Cx一7 = 5A2 , 则x = x一3 x一415如果生男孩和生女孩的概率相等，则有 3 个小孩的家庭中至少有 2 个女孩的概率是16已知抛物线 y=x21 上一定点 B(1 ，0)和两个动点 P、Q，当 P 在抛物线上运动时， BPPQ，则 Q 点的横坐标的取值范围是_25三、解答题(共 6 小题， 17 题 10 分， 18、19、20、21、22 各 12 分，共 70 分)17 (10

35、 分)从 2016 年 1 月 1 日起，广东、湖北等18 个保监局所辖地区将纳入商业车险改 革试点范围， 其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率， 具体关系如下表：4 5 次以上(含 5 次)175% 200%连续两年没出险打 7 折，连续三年没出险打 6 折上一年出险次数下一年保费倍率2125%3150%1100%085%经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的 8 组数据(其中 (单位： 万元)表示购车价格， (单位： 元)表示商业车险保费)：(8，2150)，(11，2400)， (18，3140)， (25，3750)， (25，400

36、0)， (31，4560)， (37，5500)， (45，6500)，已知由这 8 组数据得到的回归直线方程为 (1)求 的值；(2)广东李先生 2017 年 1 月购买了一辆价值 20 万元的新车，估计李先生购车时的商业车险保费；若该车 2017 年 3 月已出过一次险， 5 月又被刮花了，李先生到汽车维修 店询价，预计 修车费用为 500 元，理赔专员建议李先生自费维修(即不出险)，你认为李先生是否应该接受 该建议？请说明理由 (假设车辆 2017 年与 2018 年都购买相同的商业车险产品)18 (12 分)在 中， a,b, 分别是角 ， ， 的对边，且()求 值；()若 ，且 ，求

37、 的面积.2619. (12 分)如图，已知多面体 ABCDEF 中，ABCD 为菱AB=AE=1，AFBE.(1)20(12 分)在一个盒子中，放有标号分别为1 ，2 ，3 的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得 两张卡片的标号分别为x 、 y ，记 = x 2 + y x ()求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率；()求随机变量 的分布列和数学期望21(12 分)已知点 ， 是圆 ： 上的一个动点， 为圆心，线段 的垂直平分线与直线 的交点为 .(1)求点 的轨迹 的方程；(2)设 与 轴的正半轴交于点 ，直线 ： 与 交于 、 两点(不经过 点)，且 .证明：直线

38、经过定点，并写出该定点的坐标.22(12 分)设函数f (x) = (1 + x)2 2 ln(1 + x)0 0(I)若存在x =0,1使不等式 f (x ) m 0 能成立，求实数m 的最小值；(II)关于x 的方程 f (x) = x 2 + x + a在0,2 上恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围.元高二数学答案一、选择题(每题 5 分，共 60 分)题号答案1A2D3C4B5B6D7C8A9C10D11B12D二、填空题(每题 5 分，共 20 分)14. 1113.15 .0.5 16 . ( ,3 1,+)17 (1) ；(2) ，李先生应接受理赔专员的建议(1) (万元)，

39、(元)，由于回归直线 经过样本点的中心 ，即 ，所以，解得(2)价值为 20 万元的车辆的商业车险保费预报值为由于该车已出险一次，若再出险一次，则保费要增加25%，元即保费增加因为 ，若出险， 2018 年增加的保费大于 500 元，所以李先生应接受理赔专员的建议18 () ()，二面角 B-AF-D 的余弦值为 .20 解： () x 、 y 可能的取值为1 、 2 、3，：x 2 1 ， y x 2 ，： 3 ，且当 x = 1 , y = 3 或x = 3 , y = 1 时， = 3因此，随机变量 的最大值为3 有放回抽两张卡片的所有情况有33 = 9 种，：B( = 3) = 921

40、答：随机变量 的最大值为4 ，事件“ 取得最大值”的概率为 9() 的所有取值为0 , 1 , 2 , 3 = 0 时，只有x = 2 , y = 2 这一种情况， = 1 时，有x = 1 , y = 1 或x = 2 , y = 1 或x = 2 , y = 3 或x = 3 , y = 3 四种情况， = 2 时，有x = 1 , y = 2 或x = 3 , y = 2 两种情况：B( = 0) = ， B( = 1) = ， B( = 2) = 9 9 91 4 2则随机变量 的分布列为：329149229019B1 4 2 2 14因此，数学期望E = 0 + 1 + 2 + 3

41、= 9 9 9 9 921 (1) ；(2)直线 经过定点 .(1)圆 的圆心 ，半径由垂直平分线性质知： ，故为焦点的椭圆，由椭圆定义知，点 的轨迹 是以 、当 时，设则得设 ： ， 焦距为 ，则， ， ， ，所以 的方程为 .(2)由已知得， 由 得， ，由，即，所以，解得或，当 时，直线 经过点 ，不符合题意，舍去.当 时，显然有 ，直线 经过定点 .22解： (I)依题意得 f (x) m min f (x) 2(1 x) 21x , 令f (x) 0得x 2,0 y f (x)的定义域为x | x 1,当x 0,1时f (x) 0, 故f (x)为增函数 f (x) 1, m 1,

42、即m的最小值为1min(II)依题意得， (1 x) 2ln(1 x) a在0,2 上恰有两个相异实根，令 g(x) (1 x) 2ln(1 x) 得g(x) x 1x1当x 1时, g(x) 0, 当1 x 1时, g(x) 0,故 g(x) 在0 ，1上是减函数，在(1,2 上是增函数， g(0) g(2),：g(1) a g(2)：2 一 2ln 2 a 3 一 2ln 3, 即a (ln e2 , ln e3 4 9高二级第二学期期中考试试题数学满分 150 分。考试用时 120 分钟。第卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

43、求的. 1.若集合 A = x 0 x 4， B = x - 4 -1 的x 的取值范围是A 1,5 B 1,3 C 3,5 D -2,26 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间(单位： min)绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确的是3 C5 +1D 22 34 3ABCDA. 第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80 分钟B. 第二种生产方式比第一种

44、生产方式效率更高C. 这 40 名工人完成任务所需时间的中位数为 80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80 分钟.7. 如图，网格纸上虚线小正方形的边长为 1，实线画出的是某几何体 的三视图，则该几何体的体积为64D 5631 C 53B 52A38某班星期五上午安排 5 节课，若数学 2 节，语文、物理、化学各 1 节，且物理、化学不相邻， 2 节数学相邻，则星期五上午不同课程安排种数为A 6 B 12 C 24 D 489. 过双曲线 x2 y2 = 1(a 0,b 0) 两焦点且与 x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形， 则该 a2 b2双曲线的离

45、心率为A 5 1 B2210. 右图为中国古代刘徽的九章算术注中研究“勾股容方”问题的图形， 图中ABC 为直角三角形，四边形 DEFC 为它的内接正方形，记正方形为区域，图中阴影部分为区域，在ABC 上任取一点，此点取AD EC F B自区域、的概率分别记为p 、 p ，则1 2A p = p B p p C p p 1 2 1 2 1 211已知ABC 中， AB=AC=3， sin 三ABC = 2sin A3 3A 23 10 B23 6 C2D p p 1 2，延长 AB 到 D 使得 BD=AB，连结 CD，则 CD 的长为D 3 612.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点(

46、0 ，1) ，(0 ，3)，且与 x 轴正半轴相切，若圆 C 上存在点M ，使得直线OM 与直线y = kx (k 0 )关于y 轴对称，则k 的最小值为2 33. 3 . . .第卷二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13命题“对x 1,1,x2 3x 1 0 ”的否定是 _；2x y 0；14.已知变量x, y 满足 x 3y 3 0 ，则 z x y 的最小值为y 0 15在曲线 f (x) sin x cos x ， x ( , ) 的所有切线中，斜率为 1 的切线方程为 ；2 216已知圆锥的顶点为S ，底面圆周上的两点A 、B 满足SAB 为等边三角形，且面积

47、为4 3 ，又知圆锥轴截面的面积为 8，则圆锥的表面积为 .三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17(本小题满分 12 分) 在ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c .已知b sin C c sin B 0 . 3 ( )求角 C 的值；()若a 4，c 2 7 ，求ABC 的面积.18(本小题满分 12 分) 设数列 a 的前 n 项和为s ，已知3s 4a 4 ，n N * n n n n(1)求数列 a 的通项公式； n1n log a glog a n(2)令b ，求数列 b 的前 n 项和Tn.2 n 2 n119. (本小题满分 12 分)

48、如图，三棱台ABC 一 EFG 的底面是正三角形，平面ABC 平面 BCGF ， CB = 2GF ， BF = CF .( )求证： AB CG ；()若BC = CF ，求直线 AE 与平面 BEG 所成角的正弦值.20. (本小题满分 12 分)6 x2 y2已知点P( ,1) 在椭圆C : + = 1(a b 0) 上，椭圆C 的焦距为 2.2 a2 b2(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为定值 k 的直线l 与椭圆C 交于 A、B 两点，且满足|OA |2 + | OB |2 的值为常数，(其中 O为坐标原点)(i)求 k 的值以及这个常数；x2 y2(ii)写出一般性结论(不用证明

49、)：斜率为定值 k 的直线l 与椭圆 + = 1(a b 0) 交于 A 、B a2 b2两点，且满足|OA |2 + | OB |2 的值为常数，则 k 的值以及这个常数是多少？21. (本小题满分 12 分)1设函数 f (x) = ax 一 ln x + + b (a、b R) ，x(1)讨论 f (x) 的单调性；(2)若函数 f (x) 有两个零点x 、 x ，求证： x + x + 2 2ax x 1 2 1 2 1 222 (本小题满分 10 分)已知 f (x)= 3x + 2 .()求 f (x) 1的解集；()若 f(x2) a x 恒成立，求实数a 的最大值.(x 一 3

50、 0(x 一 3 一 1 得 f (x 一 3) f (2) 或 f (x 一 3) f (一2) ， 即 亭 3 共 x 共 5 或lx 一 3 共 HYPERLINK l _bookmark2 2lx 一 3 一2 亭 1共 x 2ab (当且仅当a = b 时取等号)10. 法一：设ABC 两直角边的长分别为a, b ，其内接正方形的边长为x ，由 = 得 x = ，1 (a + b)2 2 1 (a + b)2 (a + b)2 (a + b)22 4 4 5法二(特殊法)：设BC = 1,AC = 2, CD = x ，则 x = ，故 p = , p = 1一 = ，从而排除 A

51、、D，当3 1 9 2 9 9ABC 为等腰直角三角形时p = p ，排除 B，故选 C1 21 311. 由 sin 三ABC = 2sin A 结 合 正 弦 定 理 得 BC = AC = ， 在 等 腰 三 角 形 ABC 中 ， 2 23 1 1 1cos三ABC = 根 = ， 从 而 cos 三DBC = 一 4 3 4 4CD2 = BD2 + BC2 一 2BD . BC . cos三DBC = ，故CD =272， 由 余 弦 定 理 得 ：3 62 .12. (略)二、填空题14 15一3 x 一 y 一 1 = 0 (或y = x 一 1 )133x =一1,1,x2+

52、 3x 一 1 共 0168( 2 +1)爪题 序答案解析： 15.设切点为(x , y ) ，则由 f (x ) = cos x + sin x = 1 且x = (一 爪 , 爪 ) ，得x = 0 ， y = 一 1 ，故0 0 0 0 0 0 2 2 0 0所求的切线方程为x 一 y 一 1 = 0 (或y = x 一 1 ) .316. 设圆锥母线长为 l ,由编SAB 为等边三角形，且面积为4 3 得 l2 = 4 3 亭 l = 4 ，又设圆锥底面半 4径为 r ，高为h ，则由轴截面的面积为 8 得rh = 8 ，又 r2 + h2 = 16 ，解得 r = 2 2 ，(或设轴

53、截面顶角为 S，则由 1 l 2 sin S = 8 得S = 90。，可得圆锥底面直径2r = 4 2 ，)故 S =爪 rl + 爪 r2 = 8( 2 +1)爪 .2 表三、解答题17. (本小题满分 12 分)解: ( ) b sin (|(C 一 )| 一 c sin B = 0 ，( 1 3 )sin B|( 2 sin C 一 2 cosC)| 一 sin C sin B = 0 ， sin C + 23 cosC = 0 ， sin (|(C + )| = 0 .C =(0，爪 ) ， C = 2爪 .36 分() c2 = a2 + b2 一 2ab cosC ， b2 +

54、4b 一 12 = 0 ， b 0 ， b = 2 ，1 1 32 2 2 S = ab sin C = 根 2根 4根 = 2 3 .12 分2 21 1 1 1 1 1 1 118(本小题满分 12 分)解：(1) 3s = 4a 4 ， n n 当 n2 时， 3S = 4a 4 2 分n1 n1由 得3a = 4a 4a ，即 a = 4a (n2) 3 分n n n1 n n1当 n=1 时，得3a = 4a 4 ，即 a = 4 1 1 1 数列a 是首项为 4，公比为 4 的等比数列 5 分n 数列an的通项公式为an = 4n 6 分1 1n log2 an . log2 an

55、+1 log2 4n . log2 4n+11 1 1 1(2) b = = = ( ) 8 分2n . (2n + 2) 4 n n + HYPERLINK l _bookmark3 1 数列bn的前 n 项和Tn = b1 + b2 + b3 + . + bn= (1 ) + ( ) + ( ) + . + ( ) 4 2 2 3 3 4 n n +1= 1 (1 1 ) = n 12 分4 n + 1 4(n + 1)19. (本小题满分 12 分)解： ( )取BC 的中点为D ，连结 DF .由 ABC EFG是三棱台得，平面ABC平面EFG，从而 BC / FG . CB = 2G

56、F ， CD /GF ，四边形CDFG为平行四边形，CG /DF . BF = CF ， D 为 BC 的中点， DF BC ， CG BC .平面ABC 平面BCGF，且交线为 BC ， CG 仁 平面BCGF ， CG 平面ABC，而 AB 仁 平面ABC ， CG AB . 5 分()连结AD .由 ABC是正三角形，且D 为中点得， AD BC .由( )知， CG 平面ABC ， CG /DF ， DF AD，DF BC ， DB，DF，DA两两垂直.以 DB，DF，DA分别为x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz .设 BC = 2 ，则 A (0，0， 3 )，

57、E ( ， 3， )， B (1，0，0)，G (-1， 3 ，0)，1 33l 2 2uuur ( 1 3 ) uuur ( ) uuur ( 3 3 ) AE = |(- 2 ， 3，- 2 )| ， BG = -2， 3，0 ， BE = |(- 2 ， 3， 2 )| .设平面BEG 的一个法向量为 = (x，y，z ).( -2x + 3y = 0，由(| . = 0 可得， 3 3 .|- x + 3y + z = 0|lBE . n = 0令 x = 3 ，则 y = 2，z = -1 ， = ( 3，2，- 1).设 AE 与平面BEG所成角为9 ，则 sin9 = cos =

58、 = 46 .12 分20. (本小题满分 12 分)3 1解：(1)由点 P 在椭圆上得 + = 1 ，2c=2 ，-1 分2a2 b2：3b2 + 2a2 = 2a2b2 ，c=1，又 a2 = b2 + c2 ，：3b2 + 2(b2 +1) = 2(b2 +1)b2 ，：2b4 - 3b2 - 2 = 0 ，解得b2 = 2 ，得 a2 = 3，椭圆C 的方程为 + = 1 ；-4 分x2 y23 2(2)(i)设直线l 的方程为 y = kx + t ，联立 x2 + y2 = 1， 3 2得(3k 2 +2)x2 + 6ktx + 3t2 - 6 = 0 ，1 2 3k2 + 2

59、1 2 3k2 + 2 x + x = - 6kt L L (1)x x = 3t2 - 6 L L (2) -5 分又 y 2 = 2(1- x12 ) ， y 2 = 2(1- x2 2 ) ，1 3 2 3| OA |2 + | OB |2 = (x 2 + y 2 ) + (x 2 + y 2 )1 1 2 2= (x 2 + x 2 ) + 4 = (x + x )2 - 2x x + 4 3 1 2 3 1 2 1 21 13 3k2 + 2 3k2 + 21 (18k2 - 12)t2 + 36k2 + 24= 1 ( 6kt )2 - 2 根 3t2 - 6 + 4= 3 根

60、(3k2 + 2)2 + 4 8 分要使| OA |2 + | OB |2 为常数，只需18k2 - 12 = 0 ，得k2 = 2 ， 9 分1 24 + 24 | OA |2 + | OB |2 = 人 + 4 = 5 ，3 (2 + 2)22 6 k = 士 = 士 ，这个常数为 5 ；- 10 分3 3b(ii) k = 士 ，这个常数为a2 + b2 - 12 分a21. 解： (本小题满分 12 分)1 1 ax2 一 x 一 1(1) f (x) = a 一 一 = (x 0) ， - 1 分x x2 x2设g(x) = ax2 一 x 一 1( x 0) ，当a 共 0 时，