二项分布与泊松分布

1、二项分布与泊松分布第1页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日目 录 第二节 Poisson分布及其应用 第一节 二项分布及其应用第2页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日第一节 二项分布及其应用 一、二项分布的概念及应用条件 二项分布（binominal distribution） 是一种重要的离散型分布，在医学上常遇到属于两分类的资料，每一观察单位只具有相互独立的一种结果，如检查结果的阳性或阴性，动物试验的生存或死亡，对病人治疗的有效或无效等。 第3页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日二项分布 也称为贝努里分布（Bernoulli di

2、stribution）或贝努里模型，是由法国数学家J.Bernoulli于1713年首先阐述的概率分布。 第4页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日 如果已知发生某一结果（如阳性）的概率为，其对立结果（阴性）的概率为（1-），且各观察单位的观察结果相互独立，互不影响，则从该总体中随机抽取n例，其中出现阳性数为X (X=0,1,2,3,，n)的概率服从二项分布。第5页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日贝努里模型应具备下列三个基本条件 试验结果只出现对立事件A或，两者只能出现其中之一。这种事件也称为互斥事件。 试验结果是相互独立，互不影响的。例如，一个妇女生育

3、男孩或女孩，并不影响另一个妇女生育男孩或女孩等。 每次试验中，出现事件A的概率为 ，而出现对立事件的概率为- 。则有总概率 +（1- ）=1。第6页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日二、 二项分布的概率函数 根据贝努里模型进行试验的三个基本条件，可以求出在n 次独立试验下，事件A出现的次数X的概率分布。X为离散型随机变量，其可以取值为0,1,2,n。则X的概率函数为：X=0,1,2,n式中：01， 为组合数，上述公式称随机变量X服从参数为n，的二项分布，则记为XB(n,)。第7页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日三、 二项分布的性质 1. 二项分布的每种

4、组合的概率符合二项展开式，其总概率等于1 第8页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日二项展开式有以下特点： （1）展开式的项数为n+1。（2）展开式每项和（1- ）指数之和为n。（3）展开式每项的指数从0到n；（1- ）的指数从n到0。2. 二项分布的累积概率 设m1Xm2 （m1m2）, 则X在m1至m2区间的累积概率有： 第9页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日 至多有x例阳性的概率为： 至少有x例阳性的概率为： X=0,1,2，x (7.4) X=x，x+1，n分别为下侧累计概率，和上侧累计概率。 第10页，共74页，2022年，5月20日，8点31

5、分，星期日3.二项分布的概率分布图形 以X为横坐标，P（X）为纵坐标，在坐标纸上可绘出二项分布的图形, 由于X为离散型随机变量，二项分布图形由横坐标上孤立点的垂直线条组成。 二项分布的图形取决于与n的大小。当n充分大时，二项分布趋向对称，可以证明其趋向正态分布。 一般地，如果n之积大于5时，分布接近正态分布；当n5时，图形呈偏态分布。当 =0.5时，图形分布对称，近似正态。如果0.5或距0.5较远时，分布呈偏态。第11页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日图 二项分布示意图 第12页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日4.二项分布的数字特征 (这里的数字特征

6、主要指总体均数、方差、标准差等参数） （1）随机变量X的数学期望E（X），即指总体均数： n （2）随机变量X的方差D（X） 2 为： （3）随机变量X的标准差为:第13页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日四、二项分布展开式各项的系数 二项分布展开式的各项之前均有一个系数，用组合公式来表示。计算公式为： 第14页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日 该系数也可用杨辉三角来表示，国外参考书习惯称之为巴斯噶三角。 当试验次数n较小时，可直接利用杨辉三角将二项分布展开式各项的系数写出来，应用十分方便。 第15页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期

7、日图 杨辉三角模式图 第16页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日杨辉三角的意义：杨辉三角中每行有几个数字，表示展开式有几项。当试验次数为n 时，有n+1项。杨辉三角中每行中的数字表示展开式中每项的系数大小。杨辉三角中的各数字项及其数字的排列很有规律。可依照规律继续写下去。第一行的第一、第二项均为数字，以后每下一行的首项及末项均为，中间各项为上一行相邻两项数字之和。 第17页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日五、二项分布的应用 二项分布在医学领域中，主要应用在下列几个方面：总体率的可信区间估计，率的u检验，样本率与总体率比较的直接计算概率法。 第18页，共

8、74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日（一）应用二项分布计算概率 例 如出生男孩的概率=0.5，出生女孩的概率为（1-）=0.5。在一个妇产医院里有3名产妇分娩3名新生儿，其中男孩为X=0,1,2,3的概率按公式计算的结果列于表7-1的第（3）栏中。分析：根据题意，已知生育男孩为事件A，其概率P(A)=0.5（即=0.5）；生育女孩为事件A -，其概率为P(A-)=1-P(A)=1-0.50.5（即1- =0.5）。 第19页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日第20页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日 三个妇女生育一个男孩，两个女孩的概率为：

9、 三个妇女生育均为女孩（即无男孩）的概率为：余类推第21页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日(二)样本率与总体率的比较的直接概率法 此法适用n和n(1-)均小于5的情形。 应注意： 当样本率大于总体率时，应计算大于等于阳性人数的累积概率。 当样本率小于总体率时，应计算小于等于阳性人数的累积概率。第22页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日 例 A药治疗某病的有效率为80。对A药进行改进后，用改进型A药继续治疗病人，观察疗效。如果用改进型A药治疗20例病人，19例有效。如果用改进型A药治疗30例病人，29例有效。试分析上述二种情形下，改进型A药是否疗效更好。

10、 分析: A药有效率为80，可以作为总体率，即00.8 。治疗20例病人的样本有效率为（1920）10095；治疗30例病人的样本有效率为（2930）10096.67。两个样本率均大于总体率80，故应计算大于等于有效例数的单侧累积概率。第23页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日情形一：治疗20例病人的疗效分析 （1）建立检验假设H0：改进型A药的疗效与原A药相同，00.80H1: 改进型A药的疗效高于原A药， 0 0.80单侧 0.05（2）计算概率值 根据二项分布有： = 0.0548+0.0115=0.0663 第24页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星

11、期日情形二：治疗30例病人的疗效分析（1）检验假设同情形一。（2）计算单侧累积概率有： （3）推断结论 本例P0.06630.05,在0.05检验水准上,不拒绝H0。尚不能认为改进型A药的疗效优于原A药。 =0.008975+0.001238=0.0102 第25页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日（3）推断结论 本例P0.0102,在0.05水准上,拒绝H0,接受H1。可以认为改进型A药的疗效优于原A药。 注意：治疗20例病人的有效率为95，治疗30例病人的有效率为96.67，两个样本有效率很接近。但最终得出的结论却不相同。一般地，临床上观察疗效，样本含量不能太小。随着观

12、察例数的增加，疗效的稳定性及可靠性也相应增加，受到偶然因素影响的机会也变得较小。 第26页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日分析:本例总体率1。调查人群样本反应率为（1300）1000.33。由于样本率小于总体率，故应计算小于等于阳性人数的累积概率。 例 一般人群对B药的副作用反应率为1。调查使用B药者300人，其中只有1人出现副作用。问该调查人群对B药的副作用反应率是否低于一般人群。 第27页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日（1）建立检验假设H0：调查人群反应率与一般人群相同， 00.01H1: 调查人群反应率低于一般人群， 0 0.01单侧 0.0

13、5（2）计算单侧累积概率 :（3）推断结论 本例 P0.1976,在0.05水准上,不拒绝H0。尚不能认为调查人群的B药副作用反应率低于一般人群。 第28页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日第二节 Poisson分布及其应用一、Poisson分布的概念及应用条件 (一)Poisson分布的概念Poisson分布由法国数学家S.D.Poisson在1837年提出。该分布也称为稀有事件模型，或空间散布点子模型。在生物学及医学领域中，某些现象或事件出现的机会或概率很小，这种事件称为稀有事件或罕见事件。稀有事件出现的概率分布服从Poisson分布。 第29页，共74页，2022年，

14、5月20日，8点31分，星期日Poisson分布的直观描述：如果稀有事件A在每个单元（设想为n次试验）内平均出现次，那么在一个单元（n次）的试验中，稀有事件A出现次数X的概率分布服从Poisson分布。 Poisson分布属于离散型分布。在Poisson分布中，一个单元可以定义为是单位时间，单位面积，单位体积或单位容积等。如每天8小时的工作时间，一个足球场的面积，一个立方米的空气体积，1升或1毫升的液体体积,培养细菌的一个平皿，一瓶矿泉水等都可以认为是一个单元。一个单元的大小往往是根据实际情况或经验而确定的。若干个小单元亦可以合并为一个大单元。第30页，共74页，2022年，5月20日，8点3

15、1分，星期日(二)常见Poisson分布的资料在实际工作及科研中，判定一个变量是否服从Poisson分布仍然主要依靠经验以及以往累积的资料。以下是常见的Poisson分布的资料：1.产品抽样中极坏品出现的次数；2.枪打飞机击中的次数；3.患病率较低的非传染性疾病在人群中的分布；4.奶中或饮料中的病菌个数；5.自来水中的细菌个数；6.空气中的细菌个数及真菌饱子数；7.自然环境下放射的粒子个数；第31页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日8.布朗颗粒数；9.三胞胎出生次数；10.正式印刷品中错误符号的个数；11.通讯中错误符号的个数；12.人的自然死亡数；13.环境污染中畸形生物

16、的出现情况；14.连体婴儿的出现次数；15.野外单位面积某些昆虫的随机分布；16.单位容积内细胞的个数；17.单位空气中的灰尘个数；18.平皿中培养的细菌菌落数等。第32页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日二、Poison分布的概率函数及性质 定义 其中0，则称X服从参数为的Poisson分布。记为XP()。式中：为总体均数，n或=np；X为稀有事件发生次数；e为自然底数，即e =2.71828 。 （X=0,1,2,）如果稀有事件A在每个单元（设想为n次试验）内平均出现次，那么在一个单元（n次）的试验中，稀有事件A出现次数X的概率分布服从Poisson分布。 第33页，共

17、74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日亦可用下列公式计算 P（0）= e 第34页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日(二) 性质1. 所有概率函数值（无穷多个）之和等于1，即2.分布函数 （X=0,1,2,x） 第35页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日（0 x1x2） 3.累积概率 4.其它性质总体均数:方差：标准差： n (或np) 2第36页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日（三）Poisson分布的图形一般地，Poisson分布的图形取决于值的大小。值愈小，分布愈偏；值愈大，分布愈趋于对称。当20时，分布接近正态分

18、布。此时可按正态分布处理资料。当50时，分布呈正态分布。这里通过计算一个具体实例来观察Poisson分布的概率分布趋势。 第37页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日图 Poisson分布的概率分布图 第38页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日例 计算Poisson分布XP(3.5)的概率。 第39页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日余类推。经计算得到一系列数据，见表。 表 XP（3.5）的 Poisson分布 第40页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日（四）Poisson分布的可加性 从同一个服从Poisson分布

19、的总体中抽取若干个样本或观察单元，分别取得样本计数值X1，X2，X3，Xn，则Xi 仍然服从Poisson分布。根据此性质，若抽样时的样本计数X值较小时，可以多抽取几个观察单元，取得计数Xi,将其合并以增大X计数值。 第41页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日三、Poisson分布与二项分布的比较 Poisson分布也是以贝努里模型为基础的。实际上，Poisson分布是二项分布的一种特殊情形，即稀有事例A出现的概率很小，而试验次数n很大，也可将试验次数n看作是一个单元。此时， n或np =为一个常数，二项分布就非常近似Poisson分布。p愈小，n愈大，近似程度愈好。 设1

20、。当n=100, =0.01时，及n=1000, =0.001时，按照二项分布及Poisson分布计算概率P（X）。第42页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日表 二项分布与Poisson分布计算的概率值比较 第43页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日余类推。 1.按二项分布计算已知： n=100, =0.01, 1 =0.99 ，代入公式有： 第44页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日2.按Poisson分布计算 代入公式有： 余类推。 第45页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日（四）Poisson分布的应用 Po

21、isson分布有多种用途。 主要包括总体均数可信区间的估计， 样本均数与总体均数的比较， 两样本均数的比较等。 应用Poisson分布处理医学资料时，一定要注意所处理资料的特点和性质，资料是否服从Poisson分布。第46页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日（一）总体均数的估计 总体均数的估计包括点估计和区间估计。 点估计是指由样本获得的稀有事件A出现的次数X值，作为总体均数的估计值。该法的优点是计算简便，但缺点是无法得知样本代表总体均数的可信程度。 区间估计可以确切获知总体均数落入一个区域的可信度，一般可信度取95或99。第47页，共74页，2022年，5月20日，8点3

22、1分，星期日 估计总体均数可信区间一般分为小样本法和大样本法。 1.小样本法 当样本均数或样本计数值X50时，可直接查 “Poisson分布的可信区间”表，得到可信区间（略）。 第48页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日2.正态近似法 当样本均数或计数X50时，可按正态分布法处理。 总体均数95的可信区间为 总体均数99的可信区间为 第49页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日例 某防疫站检测某天然水库中的细菌总数。平均每毫升288个细菌菌落。求该水体每毫升95和99的可信区间。 应用公式有： 95的可信区间 =（255.74，320.26） 99的可信区

23、间=（244.22，331.78） 第50页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日(1) 发病人数的95可信区间为： 例 调查1985年某市某区30万人，流行性出血热发病人数为204人。求该市发病人数及发病率（110万）95的可信区间。分析：已知样本均数X为204人，观察单元n30万人。先计算出发病人数的可信区间，再按照发病率的要求以10万人作为观察单元，计算发病率可信区间的上下限值。 =（176，232） 第51页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日(2) 发病率的95可信区间为： 上限值： 下限值： 第52页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，

24、星期日（二）样本均数与总体均数的比较 常用的方法有两种。 直接计算概率法：与二项分布的计算思路基本相同。即当20时，按Poisson分布直接计算概率值。 正态近似法：当20时，Poisson分布接近正态分布。按正态分布使用u检验处理资料。第53页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日1.直接计算概率法 例 某地区以往胃癌发病率为1万。现在调查10万人，发现3例胃癌病人。试分析该地区现在的胃癌发病率是否低于以往的发病率。H0: 现在胃癌发病率与以往相同， 0 =0.0001H1： 现在胃癌发病率低于以往， 0单侧 0.05第54页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星

25、期日（2）计算概率值 已知：n=100000， =0.0001，n =1000000.0001=10。根据题意，应计算小于等于3人发病的概率P（X3）， 即：P（X3）P(0)P(1)+P(2)+P(3) 第55页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日（3）推断结论 本例P0.0103，小于P0.05。在0.05水准上拒绝H0，接受H1。可以认为现在该地区胃癌发病率低于以往发病率。 第56页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日2正态近似法 当20时，用u检验法 例 根据医院消毒卫生标准，细菌总数按每立方米菌落形成单位（CFUm3）表示。无菌间的卫生标准为细菌菌

26、落数应不大于200（CFUm3）。某医院引进三氧消毒机，每天自动对无菌间进行2小时消毒。对无菌间抽样调查显示，细菌总数为121CFUm3。试问该医院无菌间的细菌总数是否低于国家卫生标准。第57页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日 (1) 建立检验假设H0: 无菌间的细菌总数符合国家卫生标准，=0=200H1: 无菌间的细菌总数低于国家卫生标准，u0. 05, 故P0.05。推断结论 因P u0.001, 故P0.001。推断结论 因P0.001，拒绝H0, 接受H1, 差异有统计学意义。 可以认为该风景区两个不同地点的空气负离子状况有差异。第64页，共74页，2022年，5

27、月20日，8点31分，星期日例 调查某地区人群死亡状况。结果显示，男性及女性的意外死亡率分别为62人10万人和72人10万人。试分析男女意外死亡率有无差异。分析：该资料服从Poisson分布，每10万人可以作为一个观察单元。（1）建立检验假设 H0：男女意外死亡率相等， H1：男女意外死亡率不相等， =0.05第65页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日(3）确定P值，推断结论 本例u=0.86,小于u0.05=1.96,则P0.05。在 0.05水准上，不拒绝H0，无统计学意义。可以认为男女性意外死亡率无差异。 （2）计算u值：第66页，共74页，2022年，5月20日，8

28、点31分，星期日例 某医院使用一定方法对住院病房进行消毒，并检测某一病房消毒前后的细菌菌落数（CFUm3）。消毒前后均检测9次。消毒前的菌落数为18,10,9,15,5,2,6,5,2。消毒后的菌落数为5，4，5，6，7，2，3，2，1。试分析该病房消毒前后的卫生状况有无差异。分析：该资料服从Poisson分布。根据Poisson分布的可加性，将9次取样的菌落数相加为一个观察单元。消毒前为X172；消毒后为X235。第67页，共74页，2022年，5月20日，8点31分，星期日（1）建立检验假设 H0：消毒前后菌落数相等，1= 2 H1：消毒前后菌落数不等，1 2 =0.01（2）计算u值： (3)确定P值，推断结论 本例u=3.58，大于u0.01=2.58，则P0.01。在0.01水准上拒绝H0，接受H1。可