周益春-材料固体力学习题解答习题二

1、精品文档第二章习题 1 初始时刻位于a1, a2, a3的质点在某时亥U t的位置为X1 a1 ka3； X2 a2 ka3;5X3 a3,其中k 10 ,求格林应变张重的分重。解采用拉格朗日描述法,UiXiU1ka3； U2 ka3； U3由格林应变张量,E Eij ei ejEijUi,j Uj,iu m,i um, jE12习题2E13E23E11 iE21U1aiE31E22E32E33Uia31 U22a2U2a31 U32 a3U1_a1U1a1U1a1U2 U2U3a1U3a1a1a1U1U2U1U1U2U2U3U3a2a1a1a2a1a2a1a2U3U1u1U2U2U3U31a

2、1a1a3a1a3a1a312U2U1U1U2U2U3U3a2a2a2a2a2a2a2U3U1U1U2U2U3U31a2a2a3a2a3a2a32U3U1U1U2U2U3U3a3a3a3a3a3a3a3k证明 日是二阶对称张量的分量,而ij不是任何张量的分量。10 610 61j ”,j Ui，显然可得其对称性对于笛卡尔直角坐标系 oxyz和oxyz ,各坐标轴之间的方向余弦如下表XyzXl1m1n1yl2m2n2zl3m3n3由弹性力学理论知，ij ii jj j ,恰与张量定义相吻合,1欢迎下载精品文档i j是二阶对称张量的分量（2）设有一剪应变张量丫，其分量ij 2 ij ij ij 2

3、 ij ij取任一矢量nknkek ,则Y?n k 2 ij jeiej ?nk2 j ij nkeiej ?ekeiej ?ekjkem ,但2 j j nk jk不能缩并为m,与假设丫是张量矛盾。根据张量的商判则，j不是任何张量的分量。习题3为求平面应变分量x、y、xy,将电阻应变片分别贴在X方向，与X成60和120方向上，测得应变值以0、60、120表不，试求xy解平面应变状态下，沿x，13、，1 .3、V1 （1,0）； V2（，大）；V3（，大）2 22 260 和 120方向上的方向余弦分别为根据v方向线元的工程正应变公式,ijViVj ,6012014143434xyxy求得02

4、 601200 xy32 602 120.3习题4假设体积不可压缩位移Ui （xx2）与“（均木2）很小,U3 0,在一定区域内已知Ui1 x2 a bx cxf ,其中a , b , c为常数，求 U2 xi, x21解题目条件适用小变形，ij - Ui j Uji ,得2，j ，2欢迎下载精品文档“21 X2 b 2cxi21 u2X2 a bxicxi2 xi0体积不可压缩，ii 1122x1 2即 u222 dx2 b 2cx1x2x2x203x2abx12 cx112u2x10u21 5x22 x312u2x3033022u2x2x2 1 b2cx11 2x20 x203习题5在平面

5、应变状态下，使用直角坐标和极坐标中应变分量、位移分量的转换公式，写 出在极坐标中的应变和位移的关系式。解在平面应变状态下，由应变分量转换公式，ij ii jj j ,得rr2xx CoS一2yy sinxy sin 2_._2 xx Sin2 yy CoSxy sin 2rxxsin 2yysin 2xy cos 222(1)1一代入 ij 2 ，U j，i，即xxyy(2)xyuuuruururrurvvurvururruruuuruuuruvvurvuuru(3)u ucos u sinv urcsin u cos(4)因此,3欢迎下载精品文档uu v ursinsin(5)cosrx r

6、 ycossinarctg1 .-sin r(6)arctg_yX1一 cos r将式（2） - （6）代入式（1）,得平面应变状态下，极坐标中的应变和位移的关系式:urrr r1 u ur ru u 1 urrr r r习题7证明由下式确定的应变1ij u i,j u3恒满足世形协调方程,emjkenilij,kl 0。 证明ij - ui,j u j,i1emjkenilij,kl -emjkenil ui,jklu j,iklenil emjku i,jklemjkenil u j.ikl对于单值连续位移场，并存在三阶以上连续偏导数时，偏导数的值与求导顺序无关u i, jkl关于j ,

7、k对称；u j,ikl关于i , l对称对于排列符号emjk关于j , k反对称；eni l关于i , l反对称emjkui,jkl 0; eniluj,ikl 01 即应变ij - ui,j uj,i恒满足变形协倜万程，emjkenilij,kl 0习题8假定物体被加热至定常温度场Tx1,x2,x3时，应变分量为112233 T ；123132 0 ,其中为线膨胀系数，试根据应变协调方程确定温度场T的函数形式。解由应变协调方程，ij ,kl kl ,ij ik,jl jl,ik 0 ,得 TOC o 1-5 h z 2一2一2一2一2一2一T T T T T T 222-0 x1x2x3x1

8、 x2x2 x3x3 x14欢迎下载精品文档222()T0XiX2X3故T Xi,X2, X3的函数形式中不应含有高于或等于 温度场T的函数形式为T Xi,X2,X3 kiXi其中，k1 , k2 , k3和c均为常数。2次的项k2X2k3X3又定常温度场T x1, x2,x3应满足拉普拉斯方程,习题9试导出平面应变轴对称情况下的应变协调方程 解轴对称平面应变情况下，应变分量为dur drM Urd durdur urr rdrdrdr r因此，平面应变轴对称情况下的应变协调方程为du r - drdurdr习题10在某一平面轴对称变形情况下，轴向应变z为常数，试确定其余两个应变分量r和的表达

9、式（材料是不可压缩的）解平面轴对称情况下，变形协调条件为：rdr 0dr当材料不可压缩时，体积应变为零，即 r0,代入上式，得dr2 z 0dr解得三 C； r 上?，式中，C是右边界条件确定的常数2 r22 r2习题11试问什么类型的曲面在均匀变形后会变成球面。解均匀变形状态可表示为x a； y b； z c； Xy yX d1 ； yz zy d2 ； zx xz d3其中，a； b； c； d1；d2 ；d3为常量设均匀变形前的坐标为X0；y；Z0,则变形后的坐标为X 1 X X0； y 1 y y0； Z 1 Z Z0曲面在均匀变形后变成球面，即 x2 y2 Z2 R2略去刚体位移，当

10、x、y、Z为主轴时，变形前的坐标 刈；丫0；20满足2 X0 R22 V。 R22Z0R25欢迎下载精品文档变形前半轴为_R_1 aRFT_R_的椭球面在均匀变形后会变成球面。 1 c特别的，当x yz时，表示球面均匀变形后仍为球面。uaxa2ya3z习题12若物体内各点的位移分量为vb1xb2 yb3z ,其中，ai;bi;Gw C1Xc2 yc3z试证明，物体内所有各点的应变分量为常数(这种变形状态称为均匀变形) 均匀变形后的物体内有：i 1,2,3均是常数。,并分别证明在(1)直线在变形后仍然是直线；(2)相同方向的直线按同样的比例伸缩；证明由位移分量求得物体内各点的应变分量为xxa1

11、, yy b2, zzc3xy a2 b1, yz b3 C2, zx a3C1(1)即物体内所有各点的应变分量为常数(均匀变形)(1)若物体内任意一点P(x, y, z),变形后变为为P x , y , z坐标x; y; z和x ; y ; z之间的关系1 xx x; y1 yy y;Z 1 zz Z变形前，直线上的点P1 (x1，y，z1),P2(x2, y2,z2)和 P3(x3,y3,z3)满足将式(3)代入式(X3 X2X2 X12),并整理，得y3y2y2y1Z3Z2Z2Zi(3)X3 X2X2X1y3y2y2y1Z3Z2Z2Zi(4)l、m、n ,m、n (图P1P2222x2

12、XiV2 y1Z2 Zi将式(2)代入上式，得“22”22422r . 1 xxX2Xi 1 yy y2y11 zzZ2Zi(5)将上式两端除以r ,得2 x2x1xx2212y2y11 yy2z2Zizz r2. 222xx l 1 yy m 1zz式(4)表明直线在均匀变形后仍然是直线(2)变形前连接两点 R(x1,y1,Z1) , P2(x2,y2,Z2)的直线长度为r ,方向余弦为变形后的两对应点 P(x1，y1,Z1), P2(x2,y2,Z2)的直线长度为r ,方向余弦为l、2.1 )(6)对于方向相同的直线，具有相等的方向余弦l、m、n ,在均匀变形情况下，由式(6)和,r，其中,6欢迎下载精品文档知r为常数。即相同方向的直线按同样的比例伸缩；习题13物体的位移对称于坐标原点，试用球坐标和笛卡儿坐标表本位移分量和应变分量。解位移对称于坐标原点，则任意一点的位移ur沿半径向量r的方向，并且只是r的函数,其余位移工上0。(1)由球坐标系中的应变-位移关系，得rr11 uur u ctg r sin1u ctg rur1u ururr rr1 ur u u r sinr r r1u sin r sinu u