场外期权专题之三：期权对冲方案设计

1、内容目录 HYPERLINK l _bookmark0 1、 什么是对冲？4 HYPERLINK l _bookmark1 对冲在于降低风险4 HYPERLINK l _bookmark2 Delta 中性与动态对冲4 HYPERLINK l _bookmark3 场外期权，场内对冲4 HYPERLINK l _bookmark5 对冲效果5 HYPERLINK l _bookmark8 本文主要内容5 HYPERLINK l _bookmark9 2、 如何动态对冲？6 HYPERLINK l _bookmark10 动态对冲的思想6 HYPERLINK l _bookmark11 普通 D

2、elta 对冲成本计算7 HYPERLINK l _bookmark13 对冲存在的风险8 HYPERLINK l _bookmark14 3、 波动率对对冲损益影响8 HYPERLINK l _bookmark15 波动率恒定情况8 HYPERLINK l _bookmark16 波动率恒定模型下对冲模拟9 HYPERLINK l _bookmark20 时变波动率情形11 HYPERLINK l _bookmark21 波动率断点模型11 HYPERLINK l _bookmark23 不同路径可以考虑用不同的波动率对冲12 HYPERLINK l _bookmark31 4、 基于经验的

3、对冲方法14 HYPERLINK l _bookmark32 固定时间间隔对冲14 HYPERLINK l _bookmark33 标的价格出现一定变化时才进行对冲15 HYPERLINK l _bookmark34 对冲到一个 delta 带15 HYPERLINK l _bookmark35 策略比较15 HYPERLINK l _bookmark37 5、 基于效用的对冲方法16 HYPERLINK l _bookmark38 HN（Hodges-Neuberger）方法16 HYPERLINK l _bookmark39 Whalley-Wilmott 策略16 HYPERLINK l

4、 _bookmark40 Zakamouline 策略17 HYPERLINK l _bookmark41 策略对比17 HYPERLINK l _bookmark43 6、 静态对冲18 HYPERLINK l _bookmark44 动态对冲存在缺陷18 HYPERLINK l _bookmark45 什么是静态对冲？18图表目录 HYPERLINK l _bookmark4 图 1：交易商卖出场外期权与场内对冲4 HYPERLINK l _bookmark6 图 2：不进行对冲的持仓损益5 HYPERLINK l _bookmark7 图 3：进行对冲的持仓损益5 HYPERLINK l

5、 _bookmark12 图 4：期权的对冲成本分析7 HYPERLINK l _bookmark17 图 5：蒙特卡洛模拟得到的部分股价路径10 HYPERLINK l _bookmark24 图 6：不同波动率下的看涨期权 Gamma13 HYPERLINK l _bookmark25 图 7：震荡市情形13 HYPERLINK l _bookmark27 图 8：上涨趋势市情形14 HYPERLINK l _bookmark29 图 9：下跌趋势市情形14 HYPERLINK l _bookmark46 图 10：对冲策略19 HYPERLINK l _bookmark47 图 11：组

6、合到期损益19 HYPERLINK l _bookmark18 表 1：部分路径的对冲结果10 HYPERLINK l _bookmark19 表 2：对冲结果10 HYPERLINK l _bookmark22 表 3：不同波动率下平均对冲效果比较12 HYPERLINK l _bookmark26 表 4：不同波动率对冲效果比较13 HYPERLINK l _bookmark28 表 5：不同波动率对冲效果比较14 HYPERLINK l _bookmark30 表 6：不同波动率对冲效果比较14 HYPERLINK l _bookmark36 表 7：基于经验主义的三种对冲方法比较16

7、HYPERLINK l _bookmark42 表 8：不同对冲策略结果比较（ = ）181、 什么是对冲？对冲在于降低风险对冲是一种在减低商业风险的同时仍然能在投资中获利的手法。一般对冲是同时进行两笔行情相关、方向相反、数量相当、盈亏相抵的交易。行情相关是指影响两种商品价格行情的市场供求关系存在同一性，供求关系若发生变化，同时会影响两种商品的价格，且价格变化的方向大体一致。方向相反指两笔交易的买卖方向相反，这样无论价格向什么方向变化，总是一盈一亏。当然要做到盈亏相抵， 两笔交易的数量大小须根据各自价格变动的幅度来确定，大体做到数量相当。对冲有两个作用，一个是用来抵消风险，另一个就是利用差异来

8、获得收益。Delta 中性与动态对冲Delta 为零的状态我们称之为 Delta 中性。Delta 不仅仅有大小，还有方向。因此可以将 Delta 风险理解为“方向性”的风险。也就是说，我们无法准确预知标的物究竟上涨还是下跌以及上涨下跌的幅度， Delta 风险就是我们可能预测错误所造成的风险，故而我们有必要对这一风险进行对冲。如果期权卖方想在标的物价格波动剧烈的时候不吃亏，则需要不断通过买卖现货来调整对冲仓位，尽量保持总仓位的 Delta 为 0。不断根据头寸 Delta 而做对冲的手法就是动态 Delta 对冲。场外期权，场内对冲场外期权的交易商卖出一个期权，但是他不愿意承担期权带来的风险

9、暴露，那么他就需要通过 delta 对冲抵消掉方向上的风险。 图 1：交易商卖出场外期权与场内对冲数据来源：例如场外期权交易商卖出了一个平值认购期权，为了抵消风险，交易商需要在场内市场动态地持有 delta 份期权标的资产，这等同于在场内市场上买入一个隐含波动率等于实际波动率的看涨期权，中间的波动率差价就是交易商所能获得的利润。而对于场内期权的投资者，如果当前的隐含波动率大大高于标的实际波动率，那么投资者可以卖出期权，同时在市场上以实际波动率进行 delta 对冲，从而赚取波动率高估的钱。对冲效果 图 2：不进行对冲的持仓损益 图 3：进行对冲的持仓损益数据来源：数据来源：我们考虑比较卖出一个

10、期权同时在市场上日频动态对冲策略与卖出一个期权而不进行任何对冲策略的持仓收益。假定标的价格满足几何布朗运动，我们使用蒙特卡洛方法模拟出 10 条路径，之后再分别计算在对冲和不对冲情况下的持仓损益。如图 2 所示，如果不进行对冲，那么持仓收益会非常不稳定。在极端情形，比如市场大幅上涨的情况下，会出现比较大的亏损。如图 3 所示，如果进行对冲，那么持仓的收益就会更稳定，到期损益的波动比较小。如果我们卖出期权的期权费能够覆盖绝大多数路径对应的持仓损益，那我们就可以获得确定性比较高的收益。综合图 2 和图 3，进行动态对冲能降低卖出期权的风险。本文主要内容本文将具体地介绍对冲的思想以及几种市场上通行的

11、对冲的方案，另外还会对具体的对冲操作提出几点思考：第一部分，我们将介绍动态对冲的思想，描述动态对冲过程中的成本测算方法， 并告诉大家动态对冲有哪些缺点。第二部分，我们将介绍波动率对动态对冲的影响，研究在不同市场环境下如何使用不同的波动率做对冲。第三部分，我们将比较三种基于经验主义的对冲方案，这三种方案分别是固定时间对冲、根据标的变化做对冲和对冲到一个 delta 带。第四部分，我们将介绍基于效用的对冲方法，在假设交易员拥有指数效用函数的情形下，Whalley-Wilmott 方法和 Zakamouline 方法都能构建一个 delta 的非交易区域，如果最终 delta 落在这个区域，可以不必

12、对冲，从而降低交易的频率。第五部分，我们将简单介绍静态对冲，动态对冲在极端市场情形有失效的可能， 而相比之下静态对冲通过以多产品收益相互抵补、风险相互对冲来降低整体风险， 能抵御极端情况下的市场风险。2、 如何动态对冲？动态对冲的思想1973 年，Fischer Black 和 Myron Scholes(1973)发表了期权定价和公司财务一文，在一系列严格的假设条件下，通过严密的数学推导和论证，提出了后来被称为“Black-Scholes 模型”(下称 B-S 模型)的期权定价模型，成为期权定价理论研究中的开创性成果。Black 和 Scholes 假设标的股票价格服从几何布朗运动，且其波动

13、率是一个常数。在无套利的条件下，利用动态复制（Dynamic Replication） 的方法，推导出基于不付红利股票的欧式看涨期权价格必须满足的微分方程。通过解此微分方程，得出欧式看涨期权价格的显式解，称为 B-S 公式。该公式现已成了市场参与者所普遍使用的一个定价工具，推动了衍生产品市场的深入发展。许多学者分别从离散时间和交易费用方面来复制期权从而研究期权的定价。 Boyle 和 Emanuel(1980)对于不考虑交易成本的短时间段进行间断性避险的误差分布进行的检验表明，忽略泰勒展开式的某些高阶项，避险误差的期望值为零，且避险误差分布服从自由度为 1 的卡方分布。Leland(1985)

14、提出采用一种修正的波动率来解决交易成本带来的避险误差问题。Kamal 和 Derman(1999)对分布的方差的研究表明方差与期权的 Vega 成比例。Toft(1996) 继 Leland 开创性地对 B-S模型进行修正以运用于存在交易成本下的期权定价之后，计算了对冲误差的期望值并给出了显式解。Kabanov 和 Safarian(1997)给出了存在比例交易成本的对冲误差的范围，并认为 Leland 的避险策略仅是一种推测。Yonggan Zhao 和 Ziemba(2003)指出，Leland 论文中存在数学证明上的漏洞，并用模拟结果证明 Leland 模型存在问题，他们借鉴 Lelan

15、d 的想法也对B-S 模型的波动率进行修正，但使用的是内生的使绝对平均误差最小化的修正波动率来进行定价与避险。 Davis 和 Zariphopoulou(1993、1995)，Hodges 和 Neuberger(1998)等更是利用随机控制方法求效用最大化的方法对期权进行定价，但由于算法复杂等原因并不实用。Whalley 和 Wilmott（1997）给出了一个 Hodges 和 Neuberger(1989)方法的近似接法，当交易费率趋于 0 时，delta 的非交易区间的边界满足如下的公式：V delta = S (3er(Tt) S22)1/3Zakamouline（2006）研究出

16、了一个基于效用的对冲策略的解法，该解法可以在充分保留 Hodges 和 Neuberger(1989)方法特性的情形下，给出一种近似的求解公式，模拟结果显示，Zakamouline 近似方法显著优于其他方法。普通 Delta 对冲成本计算我们以股指期权为例分析期权的对冲成本。Delta 对冲策略在期货头寸中会因价格波动损失一定的手续费和追涨杀跌的损失， 不过这笔费用相当于购买期权所付出的权利金，并且这笔权利金并不是期初一次 性付清，而是在整个避险的过程中慢慢支付给市场。根据 Black-scholes 公式知 道，期权的价格与 行权价、到期日、标的价格、无风险利率和隐含波动率有关。而隐含波动率

17、越高期权的权利金也越高，通过 Delta 策略能够更好的理解隐含波动率的意义，因为未来标的价格的波动越剧烈，在进行 Delta 策略时，期货头寸的调整会越频繁，这样会导致更多买高卖低的次数出现，而造成整个策略在追涨 杀跌的过程中损失越大，相当于付给了期权“卖方”更多的权利金。 图 4：期权的对冲成本分析数据来源：NNiNV - i 1* (s s i 1) * e ( N i ) * rT / N c * S * i i 1* e ( N i ) * r / N K * sign( S- K) * e rTi i 1i 1期权的对冲成本主要分为 3 部分：第一部分来自于动态持有 delta 份

18、股指期货带来的资金损益。Delta 对冲在具体的操作中就是 delta 升高的时候买入股指期货，delta 降低的时候卖出股指期货，那么，在这一过程中由于高买低卖产生的损失以及到期日的支付 K*（sign(s-k)）就近似于期权费。第二部分来自于调整股指期货持仓产生的交易费用。由于期权 delta 在股价出现变动时会动态调整，那么，由于每天股指期货的持仓都会出现变化，期权复制会带来一笔交易费用。第三部分来自于保证金的利息支出。对冲存在的风险隐含波动率估计错误delta 动态对冲方法也存在显著的缺点，那就是该策略需要估计期权的隐含波动率，我们都知道，隐含波动率与历史波动率往往存在很大的差距，估计

19、隐含波动率是比较困难的。Gamma 风险另外，该策略仅能使得 delta 中性，而无法达到 gamma 中性，因此使用 delta策略会存在 gamma 风险，这就使得该策略复制期权存在较大的跟踪误差。大头针风险进行动态对冲，在期权接近到期且标的价格靠近行权价时，Delta 的变化无法控制，无法精确地对冲 Delta。3、 波动率对对冲损益影响波动率恒定情况BS 模型假定股价满足几何布朗运动，波动率恒定不变：那么由 Ito 公式，一个衍生品的价格满足如下的随机微分方程：如果我们卖出一个期权，同时进行 delta 对冲，那么我们构建的投资组合为：该投资组合的价值变化满足：在假定波动率水平恒定不变

20、的情况下，投资组合的价值变动与 Theta 与 Gamma 相关。波动率恒定模型下对冲模拟我们假定标的价格满足几何布朗运动，使用蒙特卡洛方法模拟出 1000 条路径，之后再分别计算在这 1000 条路径下进行对冲的持仓损益。我们假定：S0 = 1；T= 0.25； K= 1；Sigma = 0.2； r = 0.05；交易费率取万分之六。根据以上参数得到了 1000 条股价的路径： 图 5：蒙特卡洛模拟得到的部分股价路径数据来源：对于这 1000 条路径，我们分别计算了每条路径相应的期权对冲组合的对冲损益， 交易成本，资金占用成本以及无法被对冲的期权 Gamma 与 Theta 损益。 表 1

21、：部分路径的对冲结果对冲损益交易费资金成本总成本GAMMATHETA10.05470.00050.01560.07080.0107-0.017620.04620.00040.01480.06150.0064-0.018330.03410.00170.01020.04590.0250-0.033540.02580.00180.00680.03440.0315-0.036750.03760.00160.00760.04680.0225-0.032660.04040.00140.01090.05270.0244-0.030570.03610.00130.01070.04810.0165-0.0324

22、80.04230.00070.01450.05750.0119-0.021090.03650.00210.00740.04590.0313-0.0370100.04950.00160.00820.05930.0247-0.0314数据来源： 表 2：对冲结果描述多条路径平均值BS 价格通过 BS 公式计算的期权价格0.0461对冲头寸损益delta 对冲头寸的全部损益 - 期权到期日内在价值0.0389交易费动态对冲调整持仓数量时产生的交易费0.0012资金占用费持有标的动用的资金产生的利息费用0.0086对冲成本标准差对冲总成本的标准差0.0109GammaGamma 损益0.0195The

23、taTheta 损益-0.0261数据来源：对冲的平均损益如表 2 所示，对冲头寸损益平均为 0.389，低于通过波动率计算得到的期权价格 0.461，所以在没有交易费的情况下，以 BS 价格卖出一个期权并进行动态对冲平均可以获得 0.0073 的收益。其中的差异是因为卖出期权带来的 theta 安全垫收益超出了 gamma 所带来的损失。时变波动率情形考虑波动率随时间变化情形：那么，以看涨期权为例，期权价值的变化如下：其中：如果进行 delta 对冲，那么上式中第一项会被完全消除，那么组合对冲之后的损益，也即我们对冲的误差相比于恒定波动率模型多出了一项：由于 Gamma 值始终为正，如果我们

24、预测未来波动率低于当前隐含波动率，那么就可以获得正的对冲损益。波动率断点模型如果真实波动率没有明显变化，用当前波动率计算的期权价格，和最后的对冲成本，从理论上来说，应该是非常接近的。但实际上波动率有时会出现比较大的变化，如果波动率大幅上升，那么就会导致对冲成本显著增加，造成对冲头寸出现亏损。为了对这种情况进行研究，我们构建了波动率断点模型：我们使用蒙特卡洛方法模拟标的的价格路径，模拟价格路径分为两段，前一半时间标的真实波动率为 20，后一半时间标的真实波动率为 40。表 3：不同波动率下平均对冲效果比较我们分别取 20、30和 40作为期权的对冲波动率，研究在不同的对冲波动率下对冲效果有何不同

25、。0.2 0.3 0.4 对冲头寸损益6.216.206.19BS 价格4.616.588.55交易费0.500.420.36资金占用费0.850.850.85BS 价格下亏损概率97.8078.906.90总成本标准差1.861.040.69Gamma4.063.493.06Theta-2.41-3.82-5.36数据来源：如表 3，如果我们以 20的波动率卖出期权并用期初的波动率 20作为对冲波动率，由于之后波动率急剧上升到 40，导致对冲成本大幅增加，最终我们卖出期权得到的期权费将不足以覆盖我们的对冲成本。另外，我们还测试了用不同波动率作为对冲波动率的情况。在模拟出的波动率模型下，我们用

26、不同波动率来计算 delta 进行动态对冲。我们选用的对冲波动率越大，那么对冲头寸的损益越小，总成本标准差也越小。不过，从表 3 看来，不同对冲波动率的选用并不会对对冲头寸平均损益造成太大的影响，对冲头寸的平均损益更多的由模型波动率决定。不同路径可以考虑用不同的波动率对冲虽然从平均上来看，使用不同波动率进行对冲的结果并没有太大的差别，但是对冲的效果具有高度的路径依赖性。对于同一条路径，选用不同的对冲波动率会带来非常不同的结果。我们可以简单地把市场分为趋势市和震荡市，在趋势市中，使用较小的波动率做对冲更好，而在震荡市中使用更大的波动率对冲效果更优。 图 6：不同波动率下的看涨期权 Gamma数据

27、来源：造成这种差异的主要的原因在于对冲波动率取值会影响到 delta 的计算，而对冲波动率的值选取的越低，那么相对应的 Gamma 也就越大。我们都知道：在市场不断震荡的情况下，对于标的的每一次价格变化，低波动率的对冲头寸每次对冲都会有更大的数量调整，而因为标的价格会来回波动，这种调整在之后都会被证明是亏损头寸。一来一回，对冲策略会承担相比于高波动率对冲头寸更大的亏损，从而增加了总的对冲成本。而在趋势市中，低波动率的对冲头寸同样有更大的数量调整，不过由于趋势的存在，这种调整在之后都会被证明是盈利的，对冲头寸盈利更多，那么总的对冲成本相应地就更小。 图 7：震荡市情形表 4：不同波动率对冲效果比

28、较0.20.30.4BS 价格4.616.588.55对冲头寸损益8.336.645.48交易费0.280.210.17资金占用费0.920.880.87总成本9.537.736.52资料来源：资料来源： 图 8：上涨趋势市情形表 5：不同波动率对冲效果比较0.20.30.4BS 价格4.616.588.55对冲头寸损益0.781.672.43交易费0.080.070.06资金占用费1.321.261.23总成本2.183.003.72资料来源：资料来源： 图 9：下跌趋势市情形表 6：不同波动率对冲效果比较0.20.30.4BS 价格4.616.588.55对冲头寸损益4.575.606.6

29、1交易费0.070.060.06资金占用费0.300.350.39总成本4.956.017.06资料来源：资料来源：我们分别选取了上涨趋势市、下跌趋势市与震荡市的三个例子做比较，结果发现在趋势市中选用较小波动率对冲成本更低，而在震荡市中选择较大的波动率对冲成本会更低。在趋势市与震荡市的比较当中，震荡市下的对冲成本要远大于趋势市下的对冲成本。造成这一差异的主要原因在于趋势市下对冲头寸多为盈利头寸，而在震荡市下对冲头寸多为亏损头寸。4、 基于经验的对冲方法固定时间间隔对冲固定时间间隔 delta 对冲是指以固定时间间隔进行对冲操作，通过买卖一定数量的标的资产进行对冲，使得交易后持有资产组合的总 d

30、elta 值近似于 0。这种对冲方法的优点在于实施条件容易理解，只需要固定时间调整标的持有数量即可，但对冲时间间隔为多少需要认真研究，期权距离到期日较远时可以选择比较大的事件间隔，比如一周对冲一次，但随着到期日临近，Gamma 值不断变大，可能需要增加对冲的频率，比如每天对冲一次。提高对冲频率可以降低风险，但会增加交易成本，而降低对冲频率可以降低成本， 但会增加风险的暴露。标的价格出现一定变化时才进行对冲这种对冲方法的逻辑在于，如果标的不出现大的价格变动，那么我们在 delta 上的损益并不显著。投资组合的风险主要是由于标的价格变化引起的，由价格是否有大的变动决定是否对冲从逻辑上来讲十分自然。

31、“一定变化的标准”有多个指标可以参考，例如涨跌幅，绝对价格变化，历史分位点，一个标准差的变化。对冲到一个 delta 带这是做市商和许多交易员最常用的对冲策略，使用该方法前，我们首先需要确定可以容忍的 delta 区间的大小，通常这个区间是通过无法对冲的风险大小（比如开盘时出现跳空）确定的。值得注意的是，对于 Gamma 正向暴露期权组合，我们倾向于选择一个更宽的 delta 带，因为 Gamma 正向暴露会对不利的价格变动起到一定的保护作用，反之，对于Gamma 负向暴露的期权组合，我们倾向于选择一个更窄的 delta 带。策略比较上述三种方法都是比较常用的对冲方案，经过参数的优化都可以取得

32、较好的对冲效果。现在我们希望对三种方案做一个同一个维度比较，所以我们设定了如下的比较方案：日频对冲；标的价格出现超过 sigma（1 个日标准差）的变化才对冲；对冲到一个 delta 带，BSM delta 值与原先出现超过 d_delta 的变化才对冲，其中 d_delta=(BSM_delta(S_0+sigma)- BSM_delta(S_0-sigma)/2。假设我们卖出一个到期日距现在 3 个月的平值看涨期权，标的波动率取 20，无风险利率取 5，交易费率按万分之六计算，我们通过蒙特卡洛方法模拟出 1000表 7：基于经验主义的三种对冲方法比较条路径，分别用 3 种不同的方案做对冲。

33、日频对冲标的变化一个标准差一个标准差的 delta 带对冲损益3.923.923.93交易费0.150.110.15资金成本0.710.710.71亏损概率34.2035.2036.00总成本标准差1.041.131.01总成本4.784.744.78期权价格5.015.015.01数据来源：如表 1 所示，三种方法在同一维度上做比较下并无太大差异。如果想要取得好的对冲效果，仍需要不断调整参数。5、 基于效用的对冲方法HN（Hodges-Neuberger）方法 指数效用函数是一个常用的效用函数：U(W) = eW其中 W 表示财富量，而是 Arrow-Pratt 风险厌恶系数，表示风险厌恶的

34、程度。我们假定交易员拥有指数效用函数，Hodges 和 Neuberger(1989)首先提出了一个基于效用最大化来考虑交易的方法。Hodges 和 Neuberger 观点是：存在一个临界值，使得交易员认为持有未完全对冲头寸的风险（从效用上）与完全对冲的成本是无差别的。Hodges 和 Neuberger 的方法是一个最优解，具体的求解并不在本文范围之内，HN（Hodges-Neuberger）方法需要进行数值求解，而且其数值求解相当耗时，并不实用Whalley-Wilmott 策略HN 方法复杂难以求解，交易员通常采用 Whally 和 Wilmott 的渐近解，这种方法计算起来比较简单，

35、在实际操作中有非常广泛的应用。Whally 和 Wilmott（1997）假设交易成本很小，那么就可以得到 HN 方法的渐进解法，WW 方法下非交易区间的边界如下：V delta = S (3er(Tt) S22)1/3 是 Arrow-Pratt 风险厌恶系数 是交易成本比率 是期权的 Gamma 值交易成本越大，交易员就越不愿意做对冲交易，对冲带越宽，Gamma 值越大，delta 会发生较快的变动，对冲带也越宽。而风险厌恶系数越大，交易员就越难以忍受持仓头寸的净值波动，更倾向于频繁对冲，对冲带就越窄。Zakamouline 策略Zakamouline 提出了一个对于 HN 方法的简化方法，该方法能在计算相对简便的情况下提供一个近似于 HN 方法的数值解。Zakamouline 先设计了一个公式的形式，然后通过数值分析的方法拟合得到了参数。Zakamouline 双渐近解下的非交易区间为：1delta = V（） （HS H0 = 2 + H0）0.25|0.5H1 = 1.120.310.05 ( )（ ）0.780.25K = 5.760.02 ( )(2 |)0.15策略对比在上一节，我们对三个经验主义的对冲方案，固定时间对冲、根据标的变化做对冲和对冲到一个 delta 带进行了比较，发现三个方案效果并无太大差异。基于效用的对冲模型中，我们设计一个对冲