含绝对值竞赛题的求解策略

1、含绝对值值竞赛题题的求解解策略浙江上虞虞春晖中中学 王王启东（31223533）有关含绝绝对值的的试题，尤其是是绝对值值与不等等式的综综合试题题在各级级各类数数学竞赛赛中频频频出现，本文就就此介绍绍一些常常见的求求解策略略。 1、凑配的的策略该策略是是根据题题设条件件或结论论进行凑凑配，如如：分组组、添项项、裂项项等方法法，以达达到解决决问题的的目的。例1、函函数在上连续续，且且对任意意不同的的， 都都有，求求证： （19883年全全国联赛赛试题） 解：在在上连续续，在上有最最大值和和最小值值。 不妨妨设最大大值（1）当当时，| 即：（2）当当时，设设 即： 若，同理理可得：对任意的的，都有有

2、 22、裂项项求和的的策略本策略是是运用数数列求和和的方法法，巧妙妙地拆项项、裂项项，再相相互抵消消，以达达到化简简求解的的目的。例2、已已知满足足，求证： （119899全国联联赛试题题）证明：设设，且 （不妨设，则 于是3、特殊殊化的策策略 本本策略的的思想是是从特殊殊的点、特殊的的图形、特殊的的值出发发，借以以问题的的部分与与整体的的内在联联系来考考虑问题题，以寻寻找解决决问题的的突破口口。 例3、对实数数，已知知不等式式无解， 求证： （第155届全苏苏数学奥奥林匹克克试题）证：取分分别代入入得：即： 例4设设f(xx)和g(xx)是定定义在0，11上的的函数，求证：存在，使，且。（第

3、200届美国国数学竞竞赛）证明：如如果对一一切，0，1 ，不成立立，考虑虑在端点点的特殊殊值得： =+=1矛矛盾。即即假设不不成立。原命题成成立。4三角角换元的的策略例5已已知a1,a2 R,zz1,z2是复数数， 求证证： （19889中中学生数数理化征解题题）证：设，并设aa1=Rccos,a2=Rssin则原不等等式等价价为： = =上述不不等式化化为：即()+而左边 = = = = =右右边原不等式式成立。5、反证证的策略略正难则反反，反证证法是解解决数学学问题的的常用策策略，也也是处理理绝对值值的强有有力工具具。例6已知知a,bb,c均均为实数数，且aa1000,证证明最多多有二个个

4、整数xx,使。（119911年江苏苏省数学学夏令营营试题）证明：假假设有三三个不同同的整数数、，满足足，则由抽屉屉原则、中必有有两个同同时大于于（或同同时小于于）不妨设,、均为整整数，a(+)+b22a+aa+baa从而=aa1000另一方面面： +50+50=1000矛盾。满足条件件的整数数最多只只有二个个。6、构造造的策略略该策略通通过构造造某些函函数、数数列、复复数等辅辅助量，然后利利用辅助助量的某某些性质质达到求求解的目目的。例7、设设a,bb,x,yR,且=1,试证+（数学学通报19885年征征解题）证明：构构造复数数，设=ax+byii, =bx+ayii则+=+=原不等式式成立。

5、注：本题题构造复复数，将将根号转转换为模模，巧妙妙求解。例8、已已知f(x)=是一个个n次复系系数多项项式，求求证：一一定存在在一个复复数，并且满满足。（19994年中中国数学学冬令营营试题）证明：对对于给定定的多项项式f(z)，常数的的辐角是是确定的的（当=0时，辐角可可任意选选取），所以可可取一个个与有相相同辐角角的复数数，使构造多项项式f(z)- =-,则方程ff(z)- =0必有有模小于于或等于于1的根根，否则设ff(z)- =0的根根(I=1,22,n)的模模都大于于1，那么由韦韦达定理理有1=1矛盾盾，因此必有有为f(zz)- =0的模模不大于于1的根根，即，使得结结论成立立。 7

6、、数数学归纳纳的策略略 该策略略通过抓抓住题设设中与nn有关的的要点，然后应应用数学学归纳法法加以证证明。例9、设设n是正整整数，证证明：对对所有实实数x， 有有证明：用用数学归归纳法证证明：当n=00时，结结论显然然成立。当n=11时，如如果那么么结论成成立。如果，那那么,即从而，结结论亦成成立。 假设nn=k-1,kk时结论论成立，则当nn=k+1时如如果，由由归纳假假设有如如果,由n=11时及假设设即n=kk+1时时，结论论成立，对任意意正整数数n，题论论结论成成立。例10.设函数数f(xx)对所所有的有有理数mm,n都都有证明：对对所有正正整数kk,有 (第112届韩韩国数学学奥林匹匹克试题题)证：当kk=1时时,左边=右边=00k=2时时,左边=右边假设k=n时,结论成成立,即：+成立则当n=k+11时, = n+ n n1+= 即k=nn+1时时,结论成成立。 原命命题成立立。 8等分区区间的策策略求策略的的思想是是根据已已知条件件作一恰恰当的区区间，然然后将其其等分成成若干个个长度为为某正数数的小区区间，使使得问题题涉及到到的某两两个量、落在同同一小区区间内，从而得得关键性性结论|-|，而解解决问题题。例11 设n个实数数x1、x2、xxn，满足足x12+x22+、+xxn2=1 求求证：对对任意整整数k2，存存在n 个不全全为零的的整数 ai，|ai| k