漫谈提高解几解题速度的策略

1、漫谈提高解几解题速度的策略苏州外国语学校 张锦成解析几何就是运用坐标法解决两类基本问题：一类是求满足给定条件的点的轨迹即曲线，通过建立适当的坐标系求其方程也就是求曲线的方程；另一类是通过对曲线方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。高考中对于解析几何要求较高，究竟“考什么、怎么考、考多难”，结合08 年课改后各省市及全国高考卷中的解析几何题，可以看出高考中的解析几何就是围绕解析几何的两类基本问题来考查的，大部分学生觉得题难，有点让人摸索不透，很多学生为其而烦。解几题如果方法不当，则很难实施解题，即便免强能解，也是运算量超大，让人如临大敌，因此提高解题技巧，优化解题方法，就显得尤为重要，现就解几中

2、常见的题型，强调几个应注意的策略： 一、.把向量条件数量化是解决以向量为背景的解析几何问题的第一程序解析几何何在数学中体体现了重重要的数数学思想想“数形结结合”，它能有效效的培养养学生的的分析、解决问问题的能能力，其其中以向向量与解解几的结结合是数数形结合合的最佳佳载体，既有数数的运算算又有相相应的几几何意义义。当解解析几何何问题中中涉及到到夹角、平行、垂直、共线、求动点点轨迹等等问题时时可借助助于向量量进行解解决。要要充分利利用向量量条件中中的信息息，将位位置关系系转化为为向量，将向量量转化为为坐标，这样复复杂的问问题就能能简单化化，容易易理解、便便于解决决。例1 设设椭圆的的左焦点点为F，

3、上顶点点为A，过A与与AF垂垂直的直直线分别别交椭圆圆C和x轴轴正半轴轴于P，Q两点点，且。 求椭椭圆C的的离心率率；OFAPQyx 若过过A，QQ，F三三点的圆圆恰好与与直线相相切，求求椭圆CC的方程程。【分析】：本题题若通过过直线方方程来处处理题设设中的垂垂直，通通过线段段的长度度来处理理向量的的关系，一定很很烦；若若是用向向量处理理垂直问问题，设设出相应应的点，用点的的坐标去去表示向向量，巧巧妙地将将形转化化为数，这样会会使问题题简单易易解。详解如下下：解：设设，则，得，设，由得得：，由点P在在椭圆上上，得所以椭圆圆的离心心率为。 由，所以又，所以以的外接接圆的圆圆心为于是C到到直线的的

4、距离，则所以椭圆圆方程为为二、认清清问题的的本质，把问题题化归彻彻底有些学生生在处理理问题的的时候，不是不不具备解解析法的的思想也也不是没没有处理理解几问问题应该该具备的的计算、分析能能力，而而是没有有透过现现象，认认清问题题的本质质，或者者说没有有读懂题题，就急急于解题题，这样样的解题题，切不不可取。此时一一定要分分析问题题的中心心是什么么，是什什么量决决定了问问题的可可研究性性，例2 （江苏高高考调研研）已知知在直角角三角形形中，若椭椭圆以、为焦点点，且经经过点.(1)试试建立恰恰当的直直角坐标标系，求求出椭圆圆的标准准方程；(2)若若经过左左焦点的的直线与与椭圆交交于、两点，问是否否存在

5、不不等于零零的实数数，满足足？若存在在，求出实实数的值值 ， 若不不存在，说明理理由。【分析】：该题题的第二二问是对对的探求求问题，向量表表达式的的形的意意义就是是线段的的中点、点、三点共共线，即即当直线线的斜率率取一确确定值时时能保证证上述条条件，所所以该问问题应该该围绕直直线的斜斜率来讨讨论，先先确定的的值然后后再确定定的值。有的同同学没有有搞清问问题的本本质，围围绕来做做文章，那么这这个问题题的处理理就进了了死胡同同。解略略。ABMxyOE例 3如如图所示示,已知知圆交x轴分别别于A,B两点,交y轴的负负半轴于于点M,过点点M作圆E的弦MNN.（）若若弦MNN所在直直线的斜斜率为22,求

6、弦弦MN的长长；（）若若弦MNN的中点点恰好落落在x轴上,求弦MMN所在在直线的的方程；（）设设弦MNN上一点点P(不含含端点)满足成成等比数数列(其其中O为坐标标原点),试探探求的取取值范围围.【分析】： 将三道道小题都都集中在在圆的一一条动弦弦上,同同时考查查了直线线方程、圆的方方程、平平面向量量的数量量积、一一元二次次不等式式、等比比数列这这五个CC级知识识点,另另外还考考查了直直线与圆圆的位置置关系、点与圆圆的位置置关系等等知识点点.现在在高考命题题的趋势势就是在直线线与圆内内寻找新新的亮点点.很多多情况下下,新意意达到了了,同时时题目的的难度也也上去了了。有的的同学不不懂该题题第三问

7、问的意思思不知如如何下手手，实际际上点是是动弦上的的动点，就是是圆内任任意一点点，成等等比数列列，则又又在一双双曲线上上，即双双曲线在在圆内的的部分就就是的轨轨迹，这这样问题题就好处处理了。三、充分分利用平平面几何何知识简简化解题题初中对“平几”已作了了深入研研究，“解析几几何”首首先以直直线和圆圆作为研研究对象象，其目目的是让让我们更易易，更快快，更深深的掌握握解析法法。这部部分内容容有着“承上启启下”的的特点，“解析几几何”中往往往会涉及及初中平平面几何何知识，在处理理问题时时，有时时要走出出解几的的思维模模式，有有机地运运用平面面几何知知识，能能起到化化敏为简简的功效效。需要要特别提提醒

8、的是是：在用用解析法法研究直直线与圆圆的过程程中不要要忽视它它自身的的几何性性质。要要擅于应应用它们们的“几几何性质质”解题题，在很很多情况况下“几几何性质质”显得得更为容容易，方法显显得更为为灵巧。例4（005浙江江）如图图，已知知椭圆的的中心在在坐标原原点，焦焦点在x轴上，长轴AA1A2的长为为4，左准准线与x轴的交交点为MM，|MA1|A1F1|21求若点P在直线线上运动动，求F1PF2取最大值值时点的坐标标A1F1MxyPF2A2Ol【分析】：该题题如果从从函数角角度考虑虑，最终终转化为为求正切切函数的的最大值值 。略解如下下：易求求 准线方方程，不不妨设点坐标标为当时，；当时，只需求

9、的的最大值值即可,则当且仅当当时，最大大，当点的坐坐标为时时，最大大。另法：根根据圆的的知识要要保证最最大，则则以线段段为弦的圆圆的半径径要最小小，而点点在直线上，故圆与与直线又又要相切切，所以以满足上上述两条条件的圆与直直线的切切点就是所求求的点。由切割割线定理理知,所所以则点坐标标为。用用此方法法解决下下例就很很方便。CBOAPDl例5（009无锡锡一模）某人在一一小斜坡坡上的PP点处（坡高hh=100m）观观看对面面一座大大楼顶上上的广告告画，如如图所示示，画高高BC=8m，画画所在的的大楼高高OB=22mm，图上上所示的的山坡坡坡面可视视为直线线，A为为直线与与水平地地面的交交点，OO

10、A=220m，与水平平地面的的夹角为为，若点点P在直直线上，试问：距水平平地面多多高时，此人观观看广告告画的视视角最大大？（不不计此人人身高）【分析】：该题题当然可可以用例例4的方方法，借借助于正正切函数数的单调调性来处处理，但但同样也也可以用用平面几几何的知知识来处处理。以以为弦与与直线相相切的切切点，就就是此人人应该所所处的位位置。下下面以解解析法处处理比较较方便。具体过过程略。四、形成成几个条条件反射射1.当有有点在曲曲线上的的条件时时，要注意该点点的两重重性，一一是点满满足曲线线的定义义，二是是点坐标标满足曲曲线的方方程。圆锥曲线线定义揭揭示了它它的本质质的属性性，利用用定义解解题，是

11、是最基本本的方法法。圆锥锥曲线中中的许多多问题，是直接接由定义义延伸或或转化而来来的，旨旨在考查查学生对对重要概概念的深深层次理理解以及及灵活运运用的能能力，巧巧用定义义结合图图形解题题，有利利于洞察察数量关关系和结结构关系系，是一一种简洁洁的思维维形式，常常可可收到事事半功倍倍的效果果。由于于圆锥曲曲线是用用“距离离”来定义的的，所以以便于运运用比例例的性质质来建立立数量关关系，结结合相关关几何背背景，利利用定比比将线段段转移，并经过过比例运运算，从从而确定定相关的的几何量量。例6 若若椭圆的的左准线线为，左左、右焦焦点分别别为，抛物物线的准准线也为为，焦点点为，点点为和的一个个交点，则 .

12、【分析】：设到到的距离离为，在上则那么么MPF1F2QOxy例7.已已知椭圆圆的左右右焦点分分别为，其半焦焦距为，圆的方方程为。（1）若若是圆上上的任意意一点，求证：为定值值；（2）若若椭圆经经过圆上上的一点点且，求椭椭圆的离离心率；（3）在在（2）的条件件下，若若（O为为坐标原原点），求圆的的方程。【分析】：（11）如果果一动点点到两定定点的距距离之比比是非11的常数数，那么么动点的的轨迹是是阿波罗罗圆。显显然是定定值。（2）求求离心率率就是再再找一AA个关于于的关系系，而根根据点的的双重属属性结合合圆与椭椭圆的定定义，易易知，而而，根据据余弦定定理，可可以求出出离心是是，那么么。(3) 这

13、一小小题的解解法比较较多，可可以说从从不同的的角度分分析，就就有不同同的方法法。第一一种思路路是紧抓抓点的坐坐标满足足曲线的的方程，由点的的双重属属性，可可以直接接求出点点的坐标标（用cc表示），再由由两点之之间的距距离公式式求出cc，就可可得到圆圆的方程程。但这这种方法法涉及解解方程组组，计算算比较繁繁一点；第二种思思路是围围绕椭圆圆的第二二定义，求出点点的横坐坐标或纵纵坐标，设点坐标标为，过过点作左左准线的的垂线垂垂足为，从而解解得，另另一途径径是由，解得，进进而求出出圆的方方程；第三种思思路是根根据向量量的数量量积来处处理，两两边平方方，得，求求得。所所以圆的的方程是是。2当直线线经过圆

14、圆锥曲线线的焦点时，注意这这条直线线的一些些特殊性性质。例8（009南通通调研） 抛物线线的焦点点为F，在抛物物线上，且存在在实数，使0，（1）求求直线AAB的方方程；（2）求求AOBB的外接接圆的方方程【分析】：本题题主要考考查向量量、直线线与圆以以及椭圆圆的相关关知识，要求学学生灵活活运用圆圆的标准准方程或或一般方方程求圆圆的方程程，理解解三角形形外接圆圆圆心是是三边中中垂线的的交点，也可求求出交点点坐标关注弦弦长公式式：，抛抛物线的的焦点弦弦长为关键是是要抓住住表达式式的几何何意义、三点共共线解：（11）抛物物线的准准线方程程为，AA，B，F三点共共线由由抛物线线的定义义，得|= 设直线

15、AAB：，而由得。|= 从从而，故直线线AB的方方程为，即。（2）由由 求得A（4，4），B（，11）设AOOB的外外接圆方方程为，则 解解得 故AOOB的外外接圆的的方程为为五、涉及及计算的的时候要要细心、要有信信心，更更要注意意数据的的处理方方式解析几何何第一步步是检查查框架，先居高高临下，站在高高处看这这个题，然后再再考虑每每一步去去实施，具体的的就是计计算。解解析几何何计算量量很大，即使你你不能完完全做出出这个题题，只要要你踏踏踏实实按按照步骤骤来做，你就能能得步骤骤分。如如果能顽顽强解出出一两个个题出来来，你的的自信心心就出来来了。如如果计算算能力不不过关。这个时时候就得得反复练练习

16、，做做一遍不不行，做做两遍，做两遍遍不行做做三遍，一定要要把题做做出来，只有做做出来，你才会会感觉到到里边有有很多你你发现不不了的问问题，你你才知道道有很多多你欠缺缺的问题题。然后后你知道道问题在在哪儿了了，信心心也就足足了。平平时多练练习，最最后加上上细心，在高考考中解析析几何一一定可以以得高分分。 例9（福福建文科科22）如图，椭圆（ab0）的一个个焦点为为F(1,0)，且过点点（2，0）.（）求求椭圆的的方程；（）若若为垂直直于轴的的动弦，直线：与轴交于于点，直直线与交于点点求证证：点恒恒在椭圆圆上；【分析】：本小小题主要要考查直直线与椭椭圆的位位置关系系、轨迹迹方程等等基本知知识，考考查运算算能力。该题对对数学思思维能力力的要求求相对较较低，而而对计算算能力要要求较高高，对学学生而言言只要细细心计算算就可以以解决问问题。（1）解解略