推理与证明测试题

1、精品文档数学选修 2-2推理与证明第卷 (选择题共 60 分)一、选择题 (本大题共 12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 , 只有一项是最符合题目要求的 .)1、 下列表述正确的是().归纳推理是由部分到整体的推理;归纳推理是由一般到一般的推理;演绎推理是由一般到特殊的推理 ;类比推理是由特殊到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理.A. B.C.D. .2、分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的() .充分条件 .必要条件 .充要条件 .等价条件3、在 ABC 中 , sin AsinCcosAcosC ,则 ABC 一定是 () .锐角三角形.

2、钝角三角形 .直角三角形.不确定4、下面使用类比推理正确的是()A. 直线 a,b,c,若 a/b,b/c,则 a/c.类推出 :向量 a,b,c,若 a/b,b/c,则 a/cB. 同一平面内 ,直线 a,b,c,若 a c,bc,则 a/b.类推出 :空间中 ,直线 a,b,c,若 a c,b c,则a/b.C.实数 a, b ,若方程 x2axb0 有实数根 ,则 a24b .类推出 :复数 a, b ,若方程x2axb0 有实数根 ,则 a24b .D. 以点 (0,0) 为圆心 , r为半径的圆的方程为x2y2r 2 . 类推出 : 以点 (0,0,0)为球心, r 为半径的球的方程

3、为x2y2z2r 2 .5 、 (1) 已知 p3q 32 , 求证 pq 2, 用反证法 证明时 ,可假 设 pq 2 ;(2) 已知a， b R , ab 1,求证方程 x2axb0 的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于1,即假设 x1 1 ,以下结论正确的是 ()A.(1) 的假设错误 ,(2)的假设正确B.(1) 与 (2)的假设都正确C.(1) 的假设正确 ,(2)的假设错误D.(1) 与 (2)的假设都错误6、观察式子 :113 ,1115 ,11117 , L,则可归纳出式子为()222223232232424 .111L11(n 2)

4、 .111L11(n 2)2232n22n 12232n22n 1 .111L12n 1 (n 2) .111L12n(n 2)2232n2n2232n22n 17、已知扇形的弧长为l,所在圆的半径为r ,类比三角形的面积公式: S1高 ,可得底2扇形的面积公式为 ().精品文档 . 1 r 2. 1 l 2 . 1 rl.不可类比2228、定义 AB,B C,CD , DA 的运算分别对应下图中的(1) 、(2) 、(3) 、(4),那么下图中的 (A) 、 (B) 所对应的运算结果可能是()(1)(2)(3)(4)(A)(B)A.BD,ADB.BD,ACC.BC,ADD.C D,AD9、观

5、察下列各式 : 112,23432,3456752,4567891072,L,可以得出的一般结论是()A. n(n1)(n2)L(3n2)n 2B. n( n1)(n2)L(3n2)(2n1)2C. n( n1)( n2)L(3n1)n2D. n(n1)(n2)L(3n1)(2n1)210、用数学归纳法证明( n 1)(n2)L (nn )n1),从 k 到 k1 ,左边需要增213L(2 n乘的代数式为 ()A. 2(2k 1)B. 2k12 k 12k3C.1D.1kk11、正整数按下表的规律排列则 上1251017起第 2009 行 ,左起第 2010 列的数 应4361118为 ()A

6、. 2009 29871219B. 201021615141320C. 200920102524232221D. 2009201012、为了保证信息安全传输,有一种称 为秘 密 密 钥 密 码 系 统 (PrivateKeyCryptosystem),其加密、解密原理如下图 :加密密钥密码发送解密密钥密码明文明文密文密文现在加密密钥为 y log a ( x2) ,如上所示 ,明文 “ 6通”过加密后得到密文 “ 3再”,发送 ,接受方通过解密密钥解密得到明文 “6”问.:若接受方接到密文为“4”,则解密后得明文为 ()A.12B.13C.14D.15.精品文档第卷 (非选择题共 90分)二、

7、填空题 (本大题共 4 小题 ,每小题 4 分,共 16分.把答案填在题中的横线上 .)13、数列 2,5,11,20, x,47, 中的 x 等于 _.14、已知经过计算和验证有下列正确的不等式: 111111132,131 ,13L,2272111L12 ,L ,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式.231515、已知命题 : “若数列an 是等比数列 ,且 an0,则数列 bnnan (nN )也是a1a2 L等比数列 ”可.类比得关于等差数列的一个性质为_.16、若数列 an 的通项公式 an1(nN ) ,记 f ( n)(1 a1 )(1a2 )(1 an ) ,1)2(n

8、试通过计算f (1), f (2), f (3) 的值 ,推测出 f (n)_ .三、解答题 (本大题共 6 小题 ,共 74 分 ,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 .)17、 (12 分)已知 : sin 2 30sin 2 90sin 2 15032sin2 10osin2 70osin2 130o32sin2 5sin 2 65sin 2 12532通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明 .18、 (12 分)BC ,则 AB2如图 (1),在三角形 ABC 中 , AB AC , 若 ADBDBC ;若类比该命题 ,如图(2),三棱锥 A BCD 中

9、 , AD面 ABC ,若 A 点在三角形 BCD 所在平面内的射影为M ,则有什么结论 ?命题是否是真命题 .19、 (12 分)已知实数a，b， c， d满足b c d 1, ac bd 1 ,求证 a， b， c， d 中至少有一个是负数 .20、 (12 分)已知数列 an 满足 Sn an 2n 1.(1)写出 a1, a2, a3,并推测 an 的表达式 ;(2)用数学归纳法证明所得的结论.21、 (12 分).精品文档已知命题 “:若数列an为等差数列 ,且 ama, anb (mn, m, nN) ,则 ammanbbn (bn 0, n N ) 为等比数列 ,nm”现.已知数

10、列n且 bma, bnb ( m n,m, nN ) .(1)请给出已知命的证明;(2)类比 (1) 的方法与结论 ,推导出 bm n .22、 (14 分)在中学阶段 ,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算 (如四则运算 )和研究运算律为主要内容.现设集合A 由全体二元有序实数组组成,在 A 上定义一个运算 ,记为 e ,对于 A 中的任意两个元素(a,b) ,(c, d ) ,规定 :e(adbc,bdac) .(1)计算 : (2,3) e ( 1,4) ;(2)请用数学符号语言表述运算e 满足交换律 ,并给出证明 ;(3) 若 “ 中的元素I对A ,

11、都有e II e成立 ”的充要条A(x, y) ”是 “件,试求出元素 I .参考答案1.D由归纳推理、演绎推理和类比推理的概念知正确.2.A由分析法的定义知A 正确.3.B由已知得 sin Asin Ccos AcosCcos( AC )0, cos( AC) 0, A C 为锐角 ,得 B 为钝角 , ABC 为钝角三角形 .4.D若向量 b=0,则 a/c 不正确 ;空间内 ,直线 a 与 b 可以相交、平行、异面,故B不正确;方程22x0ix0(1 i )0, a4b不成立;设点P(x, y, z)是球面上的任一点,由有实根 但OP r ,得x2y2z2r ,D 正确 .5.A用反证法

12、证明时 ,假设命题为假 ,应为全面否定 .所以 pq 2的假命题应为pq2.6. 由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1 等于右边分母可知,选 C.7.三角形的高类比扇形半径 ,三角形的底类比扇形的弧 .8.B观察知 A 表示 “ ” ,B表示 “”表,C示 “ ” ,D表示 “”,故选 B.9.B等式右边的底数为左边的项数 .10.A当 n k 时 ,左边 = (k1)( k2) L(k k ).精品文档当 nk1时, 左边( k1) 1( k1)2L( k1)(k1)( k2)( k3)(kk )( kk1)(kk2)( k1

13、)(k2)(kk ) (kk1)(kk2)k1( k1)(k2)(kk)2(2 k1),从 k 到 k 1,左边需要增乘的代数式为2(2 k1) .11.D由上的规律可知, 第一列的每个数为所该数所在行数的平方,而第一行的数则满足列数减 1 的平方再加1.依题意有 ,左起第 2010 列的第一个数为200921 ,故按连线规律可知,上起第 2009 行 ,左起第2010 列的数应为 2009 220092009 2010 .12.C由其加密、解密原理可知 ,当 x=6 时 ,y=3,从而 a =2; 不妨设接受方接到密文为“ 4的”“明文 ”为 b,则有 4log 2 (b2) ,从而有 b2

14、 4214 .13.32523,11 56,20119,x2012,47x15 , x3214.一般不等式为 :111L2n1n (nN) .231215.若数列an是等差数列 ,则数列 bna1a2Lan也是等差数列 .n证明如下 :设等差数列an的公差为 d ,a1a2Lanna1n(n1)dd则 bn2a11) ,nn(n2所以数列bn是以 a1 为首项 , d 为公差的等差数列 .216. f (n)n2a111, a211,a3112n2(1 1)222(21)233(31)242f (1)1a11(11 )(11)13 ,1222222同理 f (2)(1a1 )(1a2 )(11

15、2 )(112 )1324232233f (3)(1a1)(1a2 )(1a3 ) (11 )(11 )(11 )132435222222334434 f (n)(112 )(112 )112 23(n 1).精品文档(11 )(11)(1 1)(11 )(1n1 )(1n1)22331113243.nn2n222334n 1 n 1 2n 2317.解 :一般性的命题为 sin2 (60o )sin 2sin2 (60o)2证明 :左边1cos(21200 ) 1cos 21cos(2 1200 )2223cos(21200 )cos 2cos(21200 )232所以左边等于右边18.解

16、:命题是 :三棱锥 ABCD中, AD面 ABC ,若 A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为2是一个真命题 .证明如下 :M ,则有 S ABCS BCM S BCD在图 (2) 中,连结 DM ,并延长交 BC 于 E ,连结 AE ,则有 DEBC .因为 AD面 ABC ,所以 ADAE .又 AMDE ,所以 AE2EMED .2 1于是211.S ABC2BC AE2BC EMBC EDS BCMSBCD219.证明 :假设 a， b，c， d 都是非负实数 ,因为 ab cd1,所以 a，b， c，d0，1 ,所以 ac ac a c , bd bd b c ,22所以 acb

17、d acbd1 ,22这与已知 acbd1相矛盾 ,所以原假设不成立,即证得 a， b， c，d 中至少有一个是负数 .解 :(1) a1 3, a2 7, a3 15 ,猜测 an 2 120.2482n(2) 由 (1)已得当 n 1时 ,命题成立 ;假设 n k 时 ,命题成立1,即 ak2k2当 n k 1 时 ,a1 a2 ak ak 1 ak 1 2(k 1) 1,且 a1a2ak 2k1 ak 2k 1 a 2a 2(k 1) 1 2k 3,2a221a 21k 1k ,k 1 ,kk 12k 12即当 n k1 时 ,命题成立 .1根据得n N+ , an 2都成立 .am n

18、amnd21.解 :(1) 因为在等差数列 a n 中 ,由等差数列性质得an,又 am a, an b ,am nmd.精品文档am nandam nbmdmanb am nmnmam nmamnd,得nb,两式相减得 ( m n)am n ma nb ,nam nmnd.bn 中 ,由等比数列的性质得bm nbmq n(2) 在等比数列bm nbnq m ,bm na q又 bma,bnb , bm nb qnbmm nam qmnm nam,得bn qmn,两式相除得 bm nn ,mbmnnb bm n am.m nbn22.解 :(1) (2,3) (1,4)(5,14).(2) 交换律 :ee,证明如下 :设(a,b) ,(c,d ) ,则e(adbc, b