2022年全国统一高考冲刺新课标Ⅲ数学冲刺(文科)

1、1 12020 年全国统一高考新课标数学试卷(文科)一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的1 (5 分)已知集合A = 1 ，2，3 ，5 ，7 ，11 ，B = x | 3 x 0) 交于 D ， E 两点，若OD OE ，则 C 的焦点坐标为( )A ( ，0) B ( ，0) C (1,0) D (2,0) 4 28 (5 分)点(0, 一1) 到直线 y = k(x +1)距离的最大值为( )A 1 B 2 C 3 D 2D 4 + 2 3D c a b )D 8 5219 (5 分)如图为某几何体的三视图，则该

2、几何体的表面积是( )A 6 + 4 2 B 4 + 4 2 C 6 + 2 3210 (5 分)设a = log 2 ， b = log 3 ， c = ，则 ( )3 5 3A a c b B a b c C b c 0,b 0) 的一条渐近线为 y = 2x ，则 C 的离心率 a2 b2为x + a 415 (5 分)设函数f (x) = ex ，若 f , (1) = e ，则 a = 16(5 分)已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，每个试题考生都必

3、须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答1 1(一)必考题：共 60 分17 (12 分)设等比数列a 满足a + a = 4 ， a a = 8 n 1 2 3 1(1)求a 的通项公式； n(2)记 S 为数列log a 的前n 项和若S + S = S ，求 m n 3 n m m+1 m+318(12 分)某学生兴趣小组随机调查了某市100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园 锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天) :锻炼人次 0 ， 200 (200 ， 400 (400 ， 600空气质量等级1 (优 ) 2 16 252 (良 ) 5 10 123 (轻度污染) 6

4、 7 84 (中度污染) 7 2 0(1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1 ，2 ，3，4 的概率； (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为 代表)；(3)若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好”根据所给数据，完成下面的2 2 列联表，并根据列联 表，判断是否有95% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次 400 人次 400空气质量好空气质量不好附： K2 = n(ad bc)2(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )P

5、(K2 k)k19 ( 12 分)如图，在长方体 ABCD A B C D 中，点 E ， F 分别在棱 DD ， BB 上，且 1 1 1 1 1 12DE = ED ， BF = 2FB 证明：(x = 2 - t - t2 ,(1)当 AB = BC 时， EF AC ；(2)点 C 在平面AEF 内120 (12 分)已知函数f (x) = x3 - kx + k2 (1)讨论 f (x) 的单调性；(2)若 f (x) 有三个零点，求k 的取值范围21 (12 分)已知椭圆C : x2 + y2 = 1(0 m 5) 的离心率为 15 ，A ，B 分别为 C 的左、右25 m2 4顶

6、点(1)求 C 的方程；(2)若点 P 在 C 上，点 Q 在直线x = 6 上，且| BP |=| BQ | ， BP BQ ，求 编APQ 的面积(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 (10 分)ly = 2 - 3t + t222(10 分) 在直角坐标系xOy 中， 曲线C 的参数方程为 (t 为参数且t 士 1) ，C与坐标轴交于A ， B 两点(1)求| AB | ；(2)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程选修 4-5：不等式选讲 (10 分)23设

7、a ，b ， c = R ，a + b + c = 0 ， abc = 1 (1)证明： ab + bc + ca 0) 交于 D ， E 两点，若OD OE ，则 C 的焦点坐标为( )1A ( ，0) 41B ( ，0)2C (1,0)D (2,0)【分析】法一：利用已知条件转化求解E 、 D 坐标，通过k k = 一 1 ，求解抛物线方程，OD OE即可得到抛物线的焦点坐标法二：画出图形，求出D 的坐标，代入抛物线方程，然后求解即可【解答】解：法一：将 x = 2 代入抛物线 y2 = 2px ，可得 y = 士2 p ， OD OE ，可得k k = 一 1，OD OE即 2 p 一2

8、 p = 一1，解得 p = 1 ，2 21所以抛物线方程为： y2 = 2x ，它的焦点坐标 ( ， 0) 2故选： B 法二：易知， 三ODE = 45。，可得 D(2,2) ，代入抛物线方程 y2 = 2px ，可得4 = 4p ，解得 p = 1 ，故选： B 8 (5 分)点(0, 一1) 到直线 y = k (x +1)距离的最大值为( )A 1 B 2 C 3 D 2【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论【解答】解：因为点 (0, 一1) 到直线 y = k (x +1)距离d = |1 + k | = k 2 + 2k + 1 = 1 + 2k ；k 2

9、 + 1 k 2 + 1 k 2 + 1要求距离的最大值，故需k 0 ；可得d 1 + 2k = 2 ；当 k = 1时等号成立；2k故选： B 9 (5 分)如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A 6 + 4 2 B 4 + 4 2 C 6 + 2 3 D 4 + 2 3【分析】 先由三视图画出几何体的直观图， 利用三视图的数据， 利用三棱锥的表面积公式计 算即可【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图是正方体的一个角，如图：PA = AB = AC = 2 ， PA 、 AB 、 AC 两两垂直，故 PB = BC = PC = 2 2 ，1 3几何体的表面积为： 3 2 2

10、+ (2 2)2 = 6 + 2 3 ，2 4故选： C 2221210 (5 分)设a = log 2 ， b = log 3 ， c = ，则 ( )3 5 3A a c b B a b c C b c a D c a b【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解： a = log 2 = log 3 8 log 3 9 = ，23 3 3 32b = log 3 = log 3 27 log 3 25 = ，5 5 5 32c = ，3：a c b 故选： A 11(5 分)在 ABC 中， cos C = ， AC = 4 ， BC = 3 ，则 tan B = ( )

11、3A 5 B 2 5 C 4 5 D 8 5【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tan C 的值，利用余弦定理可求AB 的值， 可得 A = C ，利用三角形的内角和定理可求B = 几 一 2C ，利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可求解tan B 的值【解答】解： cosC = ， AC = 4 ，BC = 3 ，231 5：tan C = 一 1 = ，cos2 C 2：AB = AC2 + BC2 一 2AC BC cos C = 42 + 32 一 2 4 3 = 3 ，可得 A = C ， 3：B = 几 一 2C ，5一2 则 tan B = tan(几 一 2C) =

12、一 tan 2C = 一2 tan C = 2 = 4 5 1 一 tan2C 1 一 54故选： C 12 (5 分)已知函数f (x) = sin x + ，则 ( )sin xA f (x) 的最小值为 2B f (x) 的图象关于 y 轴对称C f (x) 的图象关于直线x = 几 对称D f (x) 的图象关于直线x = 几 对称；【分析】设sin x = t ，则 y = f (x) = t + 1 ，t =_1 ，1 ，由双勾函数的图象和性质可得， y 2t或 y _ 2 ，故可判断A ；根据奇偶性定义可以判断B 正误；根据对称性的定义可以判断C ，D 的正误【解答】解：由 si

13、n x丰 0 可得函数的定义域为x |x 丰 k爪 ，k = Z，故定义域关于原点对称；设 sin x = t ，则 y = f (x) = t + 1 ， t =_1 ， 1 ，由双勾函数的图象和性质得， y 2 或 y _ 2 ，t故 A 错误；又有 f (_x) = sin(_x)+ 1 = _(sin x + 1 ) = _f (x) ，故 f (x) 是奇函数，且定义域关于原sin(_x) sin x点对称，故图象关于原点中心对称；故B 错误；1 1sin(爪 + x) sin xf (爪 + x) = sin(爪 + x) + = _ sin x _f (爪 _ x) = sin(

14、爪 _ x) + 1 = sin x + 1 ，故 f (爪 + x) 丰 f (爪 _ x) ， f (x) 的图象不关于sin(爪 _ x) sin x直线x = 爪 对称， C 错误；又 f (爪 + x) = sin(爪 + x) + 1 = cos x + 1 ；2 2 sin(爪 + x) cos x2f (爪 _ x) = sin(爪 _ x) + 1 = cos x + 1 ， 故 f (爪 + x) = f (爪 _ x) ， 定 义 域 为2 2 sin(爪 _ x) cos x 2 22x |x 丰 k爪 ， k = Z ， f (x) 的图象关于直线x = 爪 对称；

15、D 正确；2故选： D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分(|x + y 0,13 (5 分)若x ， y 满足约束条件|l 0, 则 z = 3x + 2y 的最大值为 7 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z = 3x + 2y 表示直线在 y 轴 上的截距的一半，只需求出可行域内直线在y 轴上的截距最大值即可(x = 1【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由 解得 A(1,2) ，l2x _ y = 0如图，当直线 z = 3x + 2y 过点A(1,2)时，目标函数在 y 轴上的截距取得最大值时，此时z 取 得最大值，即当 x = 1

16、， y = 2 时， z = 31+ 2 2 = 7 max故答案为： 714 (5 分)设双曲线C: x2 y2 = 1(a 0,b 0) 的一条渐近线为y = 2x ，则 C 的离心率为 a2 b23【分析】由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出a ，b 的关系，再由离心率的公式及a ，b ，c 之间的关系求出双曲线的离心率【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为： y = 士 b x ，a由题意可得 b = 2 ，所以离心率 e = c = 1 + b2 = 3 ，a a a2故答案为： 3 15 (5 分)设函数f (x) = ex ，若 f (1) = e ，则 a = 1

17、 x + a 4【分析】先求出函数的导数，再根据 f (1) = e ，求得 a 的值4【解答】解： 函数 f (x) = ，：f (x) = ，ex (x + a 1) exx + a (x + a)2若 f (1) = ae = e ， ： a = 1 ，则 a = 1，(a + 1)2 4 (a +1)2 4故答案为： 116 (5 分)已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为2几 【分析】由条件易知该圆锥内半径最大的球为该圆锥的内接球，作图，数形结合即可【解答】解：当球为该圆锥内切球时，半径最大，可得a = 1 ， q = 3 ，1如图： BS = 3

18、， BC = 1，则圆锥高 SC = BS 2 BC2 = 9 1 = 2 2 ，设内切球与圆锥相切于点D ，半径为 r ，则 SODSBC ，故有 SO = OD ，即 2 2 r = r ，解得 r = 2 ，BS BC 3 1 2所以该球的表面积为4 r2 = 2 故答案为： 2 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共 60 分17 (12 分)设等比数列a 满足a + a = 4 ， a a = 8 n 1 2 3 1(1)求a 的通项公式； n

19、(2)记 S 为数列log a 的前n 项和若S + S = S ，求 m n 3 n m m+1 m+3(a + a q = 4a q2 a = 8 1【分析】 (1)设其公比为 q ，则由已知可得 1 1 ，解得 a = 1 ， q = 3 ，可求其通项1 1公式(2)由(1)可得log a = n 1，是一个以 0 为首项， 1 为公差的等差数列， 可求S = n(n 1) ，3 n n 2由已知可得m(m 1)2+ = ，进而解得 m 的值(a + a q = 4a q2 a = 8【解答】解： (1)设公比为 q ，则由 1 1 ，1 1所以a = 3n一1 n(2)由(1)有 lo

20、g a = n 一 1，是一个以 0 为首项， 1 为公差的等差数列，3 n所以 S = n(n 一 1) ，n 2所以 m(m 一 1) + (m + 1)m = (m + 3)(m + 2) ， m2 一 5m 一 6 = 0 ，2 2 2解得m = 6 ，或 m = 一1 (舍去)，所以m = 6 18(12 分)某学生兴趣小组随机调查了某市100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园 锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次 0 ， 200 (200 ， 400 (400 ， 600空气质量等级1 (优 ) 2 16 252 (良 ) 5 10 123 (轻度污染) 6 7

21、84 (中度污染) 7 2 0(1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1 ，2 ，3，4 的概率； (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为 代表)；(3)若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好”根据所给数据，完成下面的2 2 列联表，并根据列联 表，判断是否有95% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次 400 人次 400空气质量好空气质量不好附： K2 = n(ad 一 bc)2(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )P(

22、K2 k)k【分析】 (1)用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为 1，2 ，3，4 的概 率；(2)采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得到答案；(3)由公式 K2 = 计算k 的值，从而查表即可，2 + 16 + 25 43【解答】解： (1)该市一天的空气质量等级为 1 的概率为： = ；100 100该市一天的空气质量等级为 2 的概率为： = ；5 + 10 +12 27100 1006 + 7 + 8 21该市一天的空气质量等级为 3 的概率为： = ；100 100该市一天的空气质量等级为 4 的概率为： = ；7 + 2 + 0 9100 100(2)由题意可

23、得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为：x = 100 0.20 + 300 0.35 + 500 0.45 = 350 ；(3)根据所给数据，可得下面的2 2 列联表，人次 40037845空气质量好空气质量不好总计人次 400332255总计7030100由表中数据可得： K 2 = = 必 5.820 3.841 ，(a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) 70 30 55 45n(ad 一 bc)2 100 (33 8 一 37 22)2 所以有95% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关19 ( 12 分)如图，在长方体 ABCD 一 A

24、 B C D 中，点 E ， F 分别在棱 DD ， BB 上，且 1 1 1 1 1 12DE = ED ， BF = 2FB 证明：1 1(1)当 AB = BC 时， EF AC ；(2)点 C 在平面AEF 内 1【分析】 (1)因为 ABCD A B C D 是长方体，且AB = BC ，可得AC 平面BB D D ，因为1 1 1 1 1 1EF 仁平面BB D D ，所以 EF AC 1 1(2)取 AA 上靠近 A 的三等分点 M ，连接 DM ， C F ， MF 根据已知条件可得四边形 1 1 1AED M 为平行四边形 ，得 D M / /AE ，再推 得四边形 C D

25、MF 为平行四边形 ，所以1 1 1 1D M / /C F ，根据直线平行的性质可得AE / /C F ，所以A ，E ，F ，C 四点共面，即点C1 1 1 1 1在平面AEF 内【解答】解： (1)因为 ABCD A B C D 是长方体，所以 BB 平面 ABCD ，而 AC 仁 平面1 1 1 1 1ABCD ，所以 AC BB ，1因为 ABCD A B C D 是长方体，且 AB = BC ，所以 ABCD 是正方形，所以 AC BD ，又1 1 1 1BD BB = B 1所以AC 平面BB D D ，又因为点E ，F 分别在棱DD ，BB 上，所以EF 仁平面BB D D ，

26、1 1 1 1 1 1所以 EF AC (2)取 AA 上靠近 A 的三等分点M ，连接 D M ， C F ，MF 1 1 1 1因为点E 在DD ，且 2DE = ED ，所以 ED / /AM ，且 ED = AM ，1 1所以四边形AED M 为平行四边形，所以D M / /AE ，且 D M = AE ，1 1 1又因为 F 在BB 上，且BF = 2FB ，所以 A M / /FB ，且 A M = FB ，1 1 1 1 1 1所以A B FM 为平行四边形，1 1所以 FM / /A B ， FM = A B ，即 FM / /C D ， FM = C D ，1 1 1 1 1

27、 1 1 1所以 C D MF 为平行四边形，1 1所以D M / /C F ，1 1所以AE / /C F ，所以 A ， E ， F ， C 四点共面1 1所以点 C 在平面AEF 内120 (12 分)已知函数f (x) = x3 kx + k2 (1)讨论 f (x) 的单调性；(2)若 f (x) 有三个零点，求k 的取值范围【分析】 (1)求出函数的导数，通过讨论k 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于k 的不等式组，解出即可【解答】解： (1) f (x) = x3 kx + k2 f (x) = 3x2 k ，k 0 时， f (x)

28、 0 ， f (x) 在R 递增，k 0 时，令 f (x) 0 ，解得： x k 或x k ，3 3令 f (x) 0 ，解得： k x k ，3 3：f (x) 在 ( , k ) 递增，在 ( k ， k ) 递减，在( k ， +) 递增，3 3 3 3综上， k 0 时， f (x) 在R 递增，kk，+w) 递增；) 递减，在( 3k 0 时， f (x) 在 (-w, - k ) 递增，在(- k ，33 3( k ) ( k )2)由(1)得： k 0 ， f (x)极小值 = f |( 3 ) ， f (x)极大值 = f |(- 3 )，若 f (x) 有三个零点，只需 ，

29、解得： 0 k 0 27l 3故 k = (0, 4 ) 2721 12 分)已知椭圆C : x2 + y2 = 1(0 m 0 的情况，此时-5 s 5 ，0 t ，54| BP |=| BQ | ，：有 (s - 5)2 + t2 = n2 + 1，又 BP BQ ，：s - 5 + nt = 0 ，又 s2 + 16t2 = 1 ，25 25(|s = 3 (|s = -3联立得|l 或|l(|s = 3当|l 时，则 P(3,1) ， Q(6,2) ，而 A(-5,0) ，则(法一) AP = (8,1) ， AQ = (11,2) ，：S = 1 AP2 AQ2 - (AP AQ)2

30、 = 1 | 8 根 2 - 11根1|= 5 ， 编APQ 2 2 2(s = -3同理可得当 t = 1 时， S = ，| 5|ln = 8 编APQ 2综上， 编APQ 的面积是 52法二： P(3,1) ， Q(6,2) ，：直线PQ 的方程为： x - 3y = 0 ，：点 A 到直线PQ : x - 3y = 0 的距离d =5，10而| PQ |= 10 ，：S = 1 10编APQ 25 5= 10 2数形结合方法：如图示：当P 点在 y 轴左侧时，过P 点作 PM AB ，直线 x = 6 和x 轴交于N(6,0) 点， 易知编PMB 二 编BQN ，：NQ = PM =

31、1，(x = 2 - t - t2 ,25 25故 y = 1 时， x2 + 1 = 1，解得： x = 士3 ， (x = 3 舍)，16故 P(-3,1)，易得 BM = 8 ， BN = 8 ，1 5故 S = S - S - S - S = (11漏 8 - 10 漏1 - (1+ 65) - 1漏8) = ，编APQ 编AQN 编APB 编PBQ 编BQN 2 2当P 点在 y 轴右侧时，同理可得x = 3，即 P(3,1) ， BM = 2 ， NQ = 2 ，故 S = ，5编APQ 25综上， 编APQ 的面积是 2(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 (10 分)ly = 2 - 3t + t222(10 分) 在直角坐标系xOy 中， 曲线C 的参数方程为 (t 为参数且t 丰 1) ，C与坐标轴交于A ， B 两点(1)