中考数学总复习专题知识要点

1、1第章 数与式第一章数与式 1 1实数对应学生用书起始页码 2 页考点一 实数的相关概念1 实数的分类正有理数正整数6 二次根式的相关概念 形如 a ( a;:=0) 的式子叫做二次根式 被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式 几个二次根式化为(J) 最简二次根式 后，如果被开方数正实数实数饲零正尤理数正分数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式 (4) 二次根式的性质：( a ) 2 = a( a;:=0) ； a2 = l a l 负有理数负实数负尤理数负整数负分数考点二 实数的运算1 运算律和运算顺序(1) 有理数的运算律在实数中仍然适用，如加法交换

2、律，乘2 实数大小的比较在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数心 大 ，左边的点表示的数小 正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大； 两个负数，绝对值大的 较小 作差法比较两个实数的大小设 a、b 是任意两个实数，若 a-b0，则 ab；若 a-b = 0，则 a =b；若 a-b0，则 a b 3 数轴数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线 数轴上的点与 实数 一一对应 4 相反数、倒数、绝对值只有符号不同的两个数叫做互为相反数 互为相反数的两个数，和等于 0 乘积是 1 的两个数互为 倒数 l a l =一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值 a(

3、 a;:=0)，-a( a0) 考点三 科学记数法与近似数X n1 表示数据时，有时很难取得准确值，或者不必使用准确值时，我们可以用近似数来表示 2 科学记数法：把一个数表示成 a 10 的形式，其中 1冬l a l0，a-c1，b0)log表示 a，b 之间的一种运算 现有如下的运算法则：log an = n，log M = a M( a0，a-c1，N负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数；正数的任何次幕都是正数；0 的任意正整数次幕都是 0 0，N-c1，M0) aNloga N如果一个数的平方等于正数 a，则这个数就叫做 a 的平例如：log 23 = 3，log 5 = log10

4、5，则 log1 000 = 方根，记作 土 a 正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方22log10 2100根是 0，负数没有平方根 正数 a 的正的平方根叫做算术平方根，解 析 log1 000 = log10 1 000 = log10 103 = 3 0 的算术平方根是 0 如果一个数的立方等于数 a，则这个数就叫做 a 的立方根 每个实数只有一个立方根 答案 3 2100log10 100log10 10225 年中考 3 年模拟 中考数学一、用数轴上的点表示数 对应学生用书起始页码 3 页 解析 原式= 3 X - 4 +6-(1- 3 ) 2数轴是数形结合的基础，能把数与直线

5、上的点生动形象地联系起来 有了数轴，任何一个实数都可以用数轴上的一个确定的点来表示 例 1 ( 2019 吉林长春，1，3 分） 如图，数轴上表示-2 的点 A到原点的距离是( )A.-2B.223=-2+6-(1-2 3 +3)= 2 3 三、实数的混合运算结合特殊锐角的三角函数值、绝对值、负整数指数幕、零指数幕、二次根式的性质等基础知识，运用实数的运算律，进行实C.- 1D. 1数混合运算 运算过程中，注意数字的符号和运算顺序 1 -22解析 表示-答 案 B22的点到原点的距离是 2 故选 B 例 3( 2019 山西， 16 ( 1）， 5 分） 计算： 27 + - 2 -3tan

6、60 +(忨- 2 ) 0 十对|东1 ( 2019 内蒙古包头，2，3 分） 实数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是()A.abB.a-b解析 原式= 3 3 +4-3 3 +1(4 分)= 5(5 分)十对|东 3 ( 2018 云南，15，6 分） 计算： 18 - 2cos 45 + 1 -1 -(忨-1) 0 2C.-abD.-ab 故选 C 二、二次根式的运算- 3 a - 2,1 b 2,. 2 -a 3,- 2-b 解析 原式= 3 2 -2X 2 +3-1(4 分)= 2 2 +2(6 分) 1a四、用科学记数法表示实数如果二次根式的被开方数含有分母，

7、那么可以利用 a科学记数法就是把一个数写成 aX10n 的形式，其中 1冬l a l0) 进行化简；如果被开方数中有因数( 或因式) 能开方开于原数中整数部分的位数减去 1，如 1 315 = 1 315X103 -a( ab)，BM =CH，BH = FH 写出 AG 的长度( 用含字母 a，b 的代数式表示)； 观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，你能否获得一个因式分解公式？ 请将这个公式写出来；如果正方形 ABCD 的边长比正方形 DEFG 的边长多 16，它们的面积相差 960，试利用(2) 中的公式，求 a，b 的值 am -;an = am-n( m，n 为整数，a

8、-c0)同底数幕相除法则( ab) n = an bn( n 为整数，ab-c0)积的乘方法则( am ) n = amn( m，n 为整数，a-c0)幕的乘方法则am an = am+n( m，n 为整数，a-c0)同底数幕相乘法则考点三 乘法公式公式名称公式表述平方差公式( a+b)( a-b)= a2 -b2完全平方公式( a土b) 2 = a2 土2ab+b2考点四 因式分解1 定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解 解析 (1) AG = a-b 能 阴影部分的面积可表示为 a2 -b2 或 a( a -b) + b (a-b);a2 -b2 = a( a-

9、b) +b( a-b) = (a+b)( a-b),即 a2 -b2 = (a+b)(a-b) 由题意,得 a-b = 16心,a2 -b2 = (a+b)(a-b) = 960,= 38 = 22. a+b = 60,由心、解得 a,b 5 年中考 3 年模拟 中考数学一、求代数式的值 三、整式的运算 对应学生用书起始页码 8 页求代数式的值，一般先化简，再代入字母的值进行计算；若给出几个字母之间的关系，则整体代入进行计算求值 9例 1 ( 2019 广东，14，4 分） 已知 x = 2y+3，则代数式 4x-8y+的值是 解析 把 x = 2y+3 代入 4x-8y+9 得,4(2y+3

10、) -8y+9 = 8y+12-8y+9 = 21 答 案 21m十对|东 1 ( 2018 云南昆明，4，3 分） 若 m+ 1 = 3，则 m2 +在运用公式或运算法则进行运算时，要先判断式子的结构特征，再确定解题思路，使解题更加方便、快捷 8例 3 ( 2019 吉林长春，15，6 分） 先化简，再求值：(2a+ 1) 2 - 4a( a-1)，其中 a = 1 解析 (2a+1) 2 -4a( a-1)= 4a2 +4a+1-4a2 +4a= 8a+1 江西当 a = 1 时,原式= 8X 1 +1 = 2 m12 = 答 案 78十对|东-( a-2) 2 3 ( 20188 ，13

11、( 1），3 分） 计算：( a + 1) ( a - 1)解析 m+ 1 = 3,. m2 + 1 = m+ 1 2 -2 = 32 -2 = 7 解析 原式= a2 -1-(a2 -4a+4) = 4a-5 m二、幕的运算m2m四、分解因式1 看项数选公式，“ 两项” 考虑平方差公式，“ 三项” 考虑完全掌握幕的运算法则的特点，选择适当的公式进行运算 注意各运算法则的区别 例 2 ( 2018 吉林，3，2 分） 下列计算结果为 a6 的是 () A.a2 a3B.a12 -;a2C.( a2 ) 3D.(-a2 ) 3解析 A 的结果是 a5 ;B 的结果是 a10 ;C 的结果是 a6

12、 ;D 的结果是-a6 故选 C 答 案 C十对|东 2 ( 2019 四川成都，6，3 分） 下列计算正确的是A.5ab-3a = 2bB.(-3a2 b) 2 = 6a4 b2 ()C.( a-1) 2 = a2 -1D.2a2 b-;b = 2a2答 案 D解析 5ab 与 3a 不能合并,( - 3a2 b) 2 = 9a4 b2 ,( a- 1) 2 = a2 - 2a+1,所以选项 A,B,C 错误 2a2 b-;b = 2a2 ,选项 D 正确,故选 D 平方公式 2 分解因式的试题中一般采用“ 一提取”“ 二公式” 的方法进行因式分解，即如果整式中含有公因式，那么要先提取公因式

13、， 再看余下的式子能否用公式法继续分解，直至不能再分解为止 当多项式是四项或五项时，可能需要先合理分组，再提公因式或用公式法进行分解 例 4 ( 2019 湖北黄冈，11，3 分） 分解因式：3x2 - 27y2 = 解析 3x2 -27y2 = 3(x2 -9y2 ) = 3(x+3y)(x-3y) 答案 3(x+3y)(x-3y)十对| 东 4( 2018 湖北黄冈， 8， 3 分） 因式分解： x3 - 9x= 答案 x( x+3)(x-3)解析 x3 -9x = x( x2 -9) = x( x+3)(x-3) 4 1 3分式第章 数与式5对应学生用书起始页码 11 页考点一 分式的有

14、关概念与基本性质B A1 整式 A 除以整式 B，可以表示成 A 的形式，如果除式 B 中含有心 字母 ，那么 B ( B-c0) 称为分式 2 当 分母等于 0 时，分式尤意义；当分子等于 0 且分母不等于 0 时，分式的值为 0 3 分式的基本性质分式的分子与分母都乘( 或除以) 同一个不等于 0 的整式， 分式的值不变 考点二 分式的运算1 分式的加、减运算(1) 通分的关键是确定几个分式的最简公分母 最简公分母的判断方法：系数取各个分母的系数的 最小3 分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；最后的结果能约分的要约分，化为最简 考点三 分式的化简求值

15、分式通过化简后，代入适当的值解决问题 注意代入的值要使分式的分母不为 0 分式的化简求值题型中，自选代值多会设“ 陷阱”，因此代值时千万不可任性 总的来说有以下两类：当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为 0；-1当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为 0，还要使除式不为 0 例 先化简，再求值： a -; a-1-2a ，并从- 1，0，1，2 四公倍数 ；因式取分母中含有的所有因式，注意：相同的因式留一个，每个因式的指数取最高指数 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 a+1个数中选一个合适的数代入求值 解析 原式= a -; a2 -1

16、-2a-1 a+1异分母分式相加减，先通分， 变为同分母的分式， 然后 2 -a+1a+1a+1+a 1加减 2 分式的乘、除运算= aa 1-;a +2a约分的关键是确定分子、分母的公因式 = a a+1 公因式的判断方法：系数取分子、分母的系数的 最大公约数 ；因式取分子、分母都含有的因式( 即分子、分母中相同的因式)，注意：相同因式的指数取最低指数 a+1=, 1 a-2a( a-2)分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 a+1-c0 且 a-c0 且 a-2-c0,. a-c-1 且 a-c0 且 a-c2,分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除. a

17、= 1, 1 式相乘 当 a = 1 时,原式= 1-2 =-1 5 年中考 3 年模拟 中考数学分式的化简求值灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要 对应学生用书起始页码 11 页 十对|东 ( 2019 福建，19，8 分） 先化简，再求值：( x - 1) -;x-2x-1 ，其中 x = 2 +1 x先分解因式 化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义 例 ( 2018 新疆，17，8 分） 先化简，再求值： 1 +1 -; x ，x解析 原式= (x-1) -;xx2 -2 +1x2 -(2x-1)其中 x 是方程 x2 +3x =

18、 0 的根 x-1x2 -1= (x-1) -;x2解析 原式= 1+x-1-; x = x (x+1)(x-1) = x+1= (x-1) -;(x-x1)x-1x2 -1 x-1 x x x (4 分)= (x-1) -2 = x-1 x2 +3x = 0,. x = 0 或 x =-3 (6 分)(x 1) 当 x = 0 时,原式无意义,故 x =-3,此时原式= x+1 =-2 当 x = 2 +1 时,原式=2 +1= 2 +1 = 1+ 2 (8 分)( 2 +1) -12267第二章 方程（ 组） 与不等式（ 组）第二章方程（ 组） 与不等式（ 组） 2 1一次方程（ 组）考点

19、一 一元一次方程及其应用1 定义：只含有心 一个未知数 ，并且未知数的次数是 1，这样的整式方程叫做一元一次方程 (3)2 解一元一次方程的主要步骤：( 1) 去分母；( 2) 去括号； 移项；(4) 合并同类项 ；(5) 未知数的系数化为 1 (2) 相遇问题：甲车行驶的路程+乙车行驶的路程=初始距离；(3) 追及问题：快车行驶的路程-慢车行驶的路程=追及路程(1) 路程= 速度X时间；行程问题(2) 本息和= 本金+利息= 本金X(1+利率X期数)(1) 利息= 本全X利率X期数 ；储蓄问题X100%成本=(2) 利润率(1) 利润= 售价-成本；利润利润问题设某三位数的个位数字为 e，

20、十位数字为 b， 百位数字为a，则这个三位数应表示为 100a+10b+e数字问题基本数量关系类型3 常见应用问题 对应学生用书起始页码 16 页 把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数， 得到一个一元一次方程；) 解这个一元一次方程；将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解 问题模型常用等量关系鸡兔同笼(1) 鸡的头数+兔的头数= 头的总数；(2) 鸡脚的总数+兔脚的总数= 脚的总数增收节支总收入-总支出= 总利润数字问题变化前，两位数( 或三位数) 各数位上的数字之间的大小关系；变化后，新旧两数之间的大小关系考点三 二元一次方程组的应

21、用考点二二元一次方程组及其解法不定方程( 组) 是数论中的一个古老分支，内容极其丰富，我国对不定方程的研究已延续数千年，“ 百鸡问题”“ 五家共井问题” 等一直流传至今，秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来 如果二元一次方程 ax +by = e( a、b 为互质的整数，e为整数) 有整数解x = x0 ，那么它有通解x = x0 +bk，( k 为整数) 1 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次 y = y0 ，y = y0 -ak数都是 1 的整式方程 2 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组 3 二元次方程组的解法用代入法解二元一

22、次方程组的一般步骤例 ( 2019 黑龙江齐齐哈尔，8，3 分） 学校计划购买 A 和 B 两种品牌的足球，已知一个 A 品牌足球 60 元，一个 B 品牌足球75 元 学校准备将 1 500 元钱全部用于购买这两种足球( 两种足球都买)，该学校的购买方案共有( )A.3 种B.4 种C.5 种D.6 种从方程组中任选一个方程，将方程中的一个未知数用含B解析 设恰好用完 1 500 元,可购买 a 个A 品牌足球和 b 个有 另一个未知数 的代数式表示出来；将这个代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到品牌足球 由题意,得60a+75b 5= 1 500,含有另一个未知数的一元一次方程；)

23、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解 用加减法解二元一次方程组的一般步骤(i) 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数不互为相反数且不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使两方程中同一个未知数的系数相等或 互为相反数 ；整理得 a = 25- 4 b, a,b 为正整数,. 心b = 4 时,a = 20;b = 8 时,a = 15;b = 12 时,a = 10;b = 16 时,a = 5 . 有 4 种方案,故选 B 答 案 B5 年中考 3 年模拟 中考数学一、用适当的方法解方程组掌握两种

24、基本的消元方法：代入消元法和加减消元法，解方程组时要根据系数的特点选择适当的方法 + =4x+y = 10 例 1 ( 2018 福建，17，8 分） 解方程组：x+y = 1，x y 1, 心 对应学生用书起始页码 16 页 第三步 列，用含未知数的代数式表示等量关系中各部分的数量，并将等量关系转化成方程，联立成方程组；第四步 解，解所列方程组，求出方程组的解； 第五步 验，检验方程组的解是否符合题意； 第六步 答，规范写出答语 例 2 ( 2018 湖北黄冈，16，6 分） 在端午节来临之际，某商解析 4x+y = 10,店订购了 A 型和 B 型两种粽子，A 型粽子 28 元 千克，B

25、型粽子-心,得 3x = 9,解得 x = 3 把 x = 3 代入心,得 3+y = 1,解得 y =-2 24 元 千克，若 B 型粽子的质量比 A 型粽子的 2 倍少 20 千克，购进两种粽子共用了 2 560 元，求两种型号粽子各多少千克 由题意得解得解析 设 A 型粽子 x 千克,B 型粽子 y 千克,y =-2 所以原方程组的解为x = 3,y = 2x-20,28x+24y = 2 560,x = 40,y = 60 x+3y = 9 - = 1 心十对 | 东 1( 2019 广 东 广 州， 17， 9 分） 解 方 程组：x-y = 1，x y,答：A 型粽子 40 千克,

26、B 型粽子 60 千克 十对|东 2 ( 2018 江西，9，3 分） 中国的九章算术是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“ 今有牛五、羊二，直金十两 牛二、羊五，直金八两 问牛羊各直金几何？” 译文：今有解析 x+3y = 9,牛 5 头，羊 2 头，共值金 10 两；牛 2 头，羊 5 头，共值金 8 两 问-心得,4y = 8,解得 y = 2,将 y = 2 代入心,得 x-2 = 1,解得 x = 3,牛、羊每头各值金多少？ 设牛、羊每头各值金 x 两、y 两，依题意， 可列出方程组为 y = 2 所以方程组的解为x = 3,答案5x+2y = 1022x+5y = 8二、列

27、二元一次方程组解应用题一般步骤：第一步 审，明确文字中表述的两个等量关系和两个未知数； 第二步 设，用字母表示未知数；解析 每头牛值金 x 两,每头羊值金 y 两,根据“ 牛 5 头,羊头, 共值金 10 两; 牛 2 头, 羊 5 头, 共值金 8 两, 可5x+2y = 10,得2x+5y = 8 8 2 2一元二次方程第二章 方程（ 组） 与不等式（ 组）9 对应学生用书起始页码 20 页 3 用根与系数之间的关系求值时常见的三个转化 1 + 1 = x1 +x2 ； x2 + x2 = ( x + x ) 2 - 2x x ；( x - x ) 2 = ( x +考点一 一元二次方程及

28、其解法x1 x2x1 x212121 21211 定义等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是心 2 的方程叫做一元二次方程 2 常用解法直接开平方法： 对于形如 x2 = b ( b ;:=0) 或( ax + b ) 2 =e( e;:=0) 的方程，直接开平方为 x = 土 b 或 ax+b = 土 e ；配方法： 将一元二次方程 ax2 + bx + e = 0( a -c0) 配方为( x+m) 2 = n( n;:=0) 的形式，再用直接开平方法求解 公式法：一元二次方程 ax2 +bx +e = 0( a-c0) 的求根公式(4)2a-：()为 x = -b土

29、b2 -4ae ( b2 -4ae;:=0) 因式分解法 将一元二次方程通过分解因式变为 x a( x-b)= 0 的形式，进而得到 x-a = 0 或 x-b = 0 来求解 考点二 根的判别式、根与系数之间的关系1 一元二次方程 ax2 +bx+e =0(a-c0)的根的判别式是 Li =b2 -4ae (1) Li0: 一元二次方程有两个 不相等 的实数根；(2) Li = 0: 一元二次方程有两个相等的实数根；(3) Li0: 一元二次方程没有实数根 x2 ) 2 -4x1 x2 考点三 一元二次方程的应用常见的一元二次方程的应用问题有：1 增长率( 降低率) 问题：第一年产值为 a，

30、若以后每年的增长率均为 x，则第二年的产值为 a(1+x)，第三年的产值为 a(1+x) 2 ；若以后每年的降低率均为 x，则第二年的产值为 a(1-x)，第三年的产值为 a(1-x) 2 2 利润问题：利润= 售价-成本，总利润= 单件的利润X数量 若一元二次方程 ax2 +bx+e = 0( a-c0) 的解为 x1 、x2 ，则 ax2 +bx+e = a( x-x1 )( x-x2 )( a-c0) 所以我们可以通过求方程 ax2 +bx+e = 0( a-c0) 的根来分解二次三项式 ax2 +bx+e( a-c0) 例 在实数范围内分解 2x2 -4x-1 解析 方程 2x2 -4

31、x-1 = 0 中,a = 2,b =-4,e =-1 Li = b2 -4ae = ( -4) 2 -4X2X( -1) = 24,. x = 4土 4 24 = 2土 6 = 1土 6 . x1 = 1+ 6 ,x2 = 1- 6 2 元二次方程的根与系数的关系2222如果方程 ax2 +bx+e = 0( a-c0) 的两个实数根为 x1 ，x2 ，那么. 2x2 -4x-1 = 2 x-1- 6 x-1+ 6 12a1 2ax +x =- b ，x x = e 2 丿 2 丿5 年中考 3 年模拟 中考数学一、解一元二次方程掌握一元二次方程几种解法的特点，理解一元二次方程化为一元一次方

32、程的转化思想；用适当的方法解一元二次方程，一般先考虑直接开平方法和因式分解法，再考虑公式法和配方法 2 -=33301例 1 ( 2018 黑龙江齐齐哈尔，19，5 分） 解方程：2( x - 3) = 3x( x-3) 解析 原方程可化为 (x)x( x),( 分 ) 整理得,( x-3)(2-3x) = 0,(2 分)即 x-3 = 0 或 2-3x = 0,(3 分)3解得 x1 = 3,x2 = 2(5 分)十对|东 1 ( 2019 黑龙江齐齐哈尔，19，5 分） 解方程：x2 + 对应学生用书起始页码 21 页 2 在一元二次方程有根的情况下，利用根的判别式求参数取值( 或范围)

33、时，注意二次项系数不为 0 在用根与系数的关系求参数取值( 或范围) 后，要用根的判别式进行检验，若 Li;:=0，则所求参数取值( 或范围) 符合题意；若 Li 0，求 a 的取值范围 解析 关于 x 的一元二次方程 x2 - 2x + a = 0 有两个实数根,. Li = b2 -4ae;:=0,即( -2) 2 -4X1Xa;:=0,. 4-4a;:=0,6x =-7 解析 解法一：( 配方法)x2 +6x+9 =-7+9,(1 分)(x+3) 2 = 2,(2 分)x+3 = 土 2 ,(3 分). a冬1 又由根与系数的关系可得 x1 x2 x1 x2 +x1 +x2 0,. a+

34、20,. a-2,. -20,(2 分). x = -6土 8 = -6土2 2 ,A.m =-2B.m = 3()C.m = 3 或 m =-2D.m =-3 或 m = 2答 案 A22解析 设 x1 ,x2 是 x2 +2mx+m2 +m = 0 的两个实数根,. x1 =-3+ 2 ,x2 =-3- 2(5 分)二、根的判别式、根与系数之间的关系1 由题意知 Li = 4m2 -4(m2 +m) = -4m;:=0,. m冬0 x1 +x2 =-2m,x1 x2 = m2 +m,. x2 +x2 = (x +x ) 2 -2x x = 4m2 -2m2 -2m = 2m2 -2m =

35、12,在用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，有时要12121 2=先用配方法把 b2 -4ae 的结果写成完全平方式的形式，再利用完. m 3 或 m =-2 全平方式的非负性进行判断 注意区分这个配方法和解一元二次方程的配方法 又 m冬0,. m =-2 故选 A 1011 2 3分式方程第二章 方程（ 组） 与不等式（ 组）考点一 分式方程及其解法1 心 分母 中含有未知数的方程叫做分式方程 2 解分式方程的基本方法：分式方程 去分母一 整式方程 对应学生用书起始页码 24 页 在解分式方程时，常常在方程的两边同乘一个含未知数的 最简公分母，去分母，将分式方程化为整式方程来解 在方程变

36、形的过程中，如果扩大了未知数的取值范围，就会产生分式方程尤解的情况 分式方程尤解主要有两种情况，一是去分母后的整式方程尤解，所以分式方程尤解；二是整式方程有解，但是这个解使最简公分母为零，分式尤意义，所以分式方程尤解 1 3 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此应进行如下检验：将整式方程的解例 ( 2018 黑龙江齐齐哈尔，14，3 分） 若关于 x 的方程x-4+mm+3代入 最简公分母 ，若最简公分母的值不为零，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则， 这个解不是原分式方程的解， 是增根 4 去分母解分式方程的般步骤适当变形，通常是对分母分解因式，找

37、到最简公分母；将方程两边同乘最简公分母，约去分母，得到一个整式方程；解这个整式方程；验根 考点二 分式方程的应用1 常见题型有行程问题和工程问题 2 用分式方程解应用题时，检验分为两步，先检验所求根是不是 原方程 的根，再检验方程的根是否符合题意，缺一不可 x+4 = x2 -16尤解，则 m 的值为 解析 去分叶,得 x+4+m( x-4) = m+3,去括号,移项,合并同类项,得(m+1)x = 5m-1心,因为分式方程无解,所以分下面三种情况：(1) 当 m+1 = 0,即 m =-1 时,5m-1-c0,方程心无解; (2) 当 x = 4 时,解方程心得 m = 5;3(3) 当 x

38、 =-4 时,解方程心得 m =- 1 3综上,m 的值为-1 或 5 或- 1 3答案 -1 或 5 或- 1 ( 答对一个得 1 分)5 年中考 3 年模拟 中考数学一、解分式方程解分式方程应注意以下 4 点：去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为 0，一定要检验；去分母时，方程中的常数项要乘最简公分母；去分母时，分子是多项式则需加括号；+约分时，不能约去含未知数的整式 x-3 对应学生用书起始页码 25 页 例 2 ( 2018 内蒙古包头，23，10 分） 某商店以固定进价一次性购进一种商品，3 月份按一定售价销售，销售额为 2 400 元， 为扩大销量，减少库存，4 月

39、份在 3 月份售价基础上打 9 折销售，结果销售量增加 30 件，销售额增加 840 元 求该商店 3 月份这种商品的售价是多少元；如果该商店 3 月份销售这种商品的利润为 900 元，那么该商店 4 月份销售这种商品的利润是多少元？解析 (1) 设该商店 3 月份这种商品的售价为 x 元 例 1 ( 2018 内蒙古呼和浩特，17( 2），5 分） 解方程：x-2 1根据题意,得2 400 = 2 400+840-30,解得 x = 40(5 分)= 3 =x0 9x2-x经检验,x 40 是所得方程的解,且符合题意 解析 x-3+1 = 3 ,答：该商店 3 月份这种商品的售价为 40 元

40、(6 分)x-22-x(2) 设该商品的进价为 a 元 x-3+x-2 =-3,解得 x = 1 根据题意,得(40-a) X2 400 = 900,解得 a = 25 =检验：当 x = 1 时,x-2-c0,所以,x = 1 是原分式方程的解 4 月份的售价：40X0 9403636( 元), x-1十对| 东 1( 2019 江苏南京， 18， 7 分） 解方程 x - 1= 3 x2 -1解析 方程两边乘(x-1)(x+1), 得 x( x+1) -(x-1)(x+1) = 3 解得 x = 2 检验：当 x = 2 时,( x-1)(x+1) -c0 所以,原分式方程的解为 x =

41、2 二、利用分式方程解应用题4 月份的销售数量：2 400+840 = 90( 件) 4 月份的利屙：(36-25) X90 = 990( 元) 答：该商店 4 月份销售这种商品的利屙是 990 元(10 分)十对|东 2 ( 2018 云南曲靖，18，6 分） 甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做 4 个，甲做 120 个所用的时间与乙做 100 个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件 解析 设甲每小时做 x 个机械零件,则乙每小时做(x-4) 个机械零件,根据题意列方程得12x0 = x100,在列方程之前，应先弄清问题中的已知量与未知量以及它们之间的数量关系，用含未知数的

42、式子表示相关量，再用题中的解得 x = 24,经检验,x = 24因此 24-4 = 20( 个) -4是原分式方程的根,且符合题意,主要相等关系列出方程 求出解后，必须进行检验，既要检验是不是所列分式方程的解，又要检验是否符合题意 答：甲每小时做 24 个机械零件,乙每小时做 20 个机械零件 1213 2 4一元一次不等式（ 组）第二章 方程（ 组） 与不等式（ 组）考点一 不等式的性质及一元一次不等式1 不等式的有关概念(1) 一般地，用符号“”( 或“;:=”) 连接的式子叫做不等式 把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解 把使不等式成立的未知数的心 取值范围 叫做不等式的解的集合，

43、简称解集 2 不等式的基本性质不等式的基本性质 1：不等式两边加( 或减) 同一个数( 或式子)，不等号的方向 不变 不等式的基本性质 2：不等式两边乘( 或除以) 同一个 正数，不等号的方向不变 不等式的基本性质 3：不等式两边乘( 或除以) 同一个 负数，不等号的方向改变 3 元次不等式(1) 定义：含有一个未知数，未知数的次数是 1 的 不等式 ， 对应学生用书起始页码 30 页 考点三 一元一次不等式（ 组） 的应用列元次不等式（ 组） 解应用题的般步骤审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中 的不等关系，要抓住题中的关键词语， 如“ 大于”“ 小于”“ 不大于”“ 至少”“

44、 不超过”“ 超过” 等；设：设出适当的未知数；列：根据题中的不等关系列出不等式( 组)； 解：求出所列不等式( 组) 的解集，并在解集中找出满足题意的解；答：完整写出答语 对于含有参数的不等式( 组)，常常会给出它的解集情况( 如有解、尤解等)，求参数的取值范围；或者具体给出解集，求参数 的值 解答过程主要有以下几步：1 解不等式( 组)；2 由解的情况判断参数的取值范围( 或值)，常常借助数轴和口诀来判断；3 验证第 2 步中的端点值是否符合题意；4 写出正确的答案 2 -+x a2b 1叫做一元一次不等式 (2) 解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式例 1 已知关于 x 的不

45、等式组x-a;:=b，的解集是 3冬x的两边乘( 或除以) 同一个负数时，不等号的方向改变 考点二 一元一次不等式组 5，则 b 的值是()a2A.-2B.- 1C.-4D.- 11 定义：类似于方程组，把几个含有相同未知数的 一元一次不等式 合起来，就组成了一个一元一次不等式组 2 解集：一般地，几个不等式的解集的(J) 公共部分 ，叫做由解析 解关于 x 的不等式组,得x;:=a+b,4xa+2b+1 这几个不等式所组成的不等式组的解集 3 解法：先求出各个不等式的解集，然后求出解集的公共部 原不等式组的解集是 3冬x5,2a+b = 3, 分，可借助于数轴确定它们的公共部分 . a+2b

46、+1解得a =-3,. b = 6 =-2 大大小小尤处找空集x;:=bx冬a大小小大中间找 a冬x冬bx冬bx;:=a小小取小x冬ax冬bx冬a大大取大x;:=bx;:=bx;:=a口诀解集图示不等式组（ 设 a0， 1 x- a +1的解集中的任意 x 都能使不等式 x-5 0成立，则 a24的取值范围是 x- a , 2解析 由不等式组可得饲x解不等式 x-50 得 x5,22- a +. x- a +2 2,2由题意可知- a +2;:=5,解得 a冬-6 答案 a冬-65 年中考 3 年模拟 中考数学一、解一元一次不等式组的方法先求出每个不等式的解集，找到各个不等式解集的公共部分，写

47、出不等式组的解集 也可借助数轴来确定 4+x冬1 3x 例 1 ( 2018 天津，19，8 分） 解不等式组x+3;:=1，心请结合题意填空，完成本题的解答 解不等式心，得 ；解不等式，得 ；把不等式心和的解集在数轴上表示出来：原不等式组的解集为 对应学生用书起始页码 31 页 设货运公司安排大货车 m 辆,则需要安排小货车( 10 -m) 辆,根据题意可得 4m+1 5(10-m) ;:=33,解得 m;:=7 2 m 为正整数,且 m冬10,. m 可以取 8,9,10 当 m = 8 时,该货运公司需花费 130X8+2X100 = 1 240 元; 当 m = 9 时,该货运公司需花

48、费 130X9+100 = 1 270 元; 当 m = 10 时,该货运公司需花费 130X10 = 1 300 元 1 2401 2701 300,. 当该货运公司安排大货车 8 辆,小货车 2 辆时花费最少 设 1 辆大货车与 1 辆小货车一次分别可解 析 (1)x;:=-2 x冬1 以运货 x 吨、y 吨 根据条件建立方程组求出其解即可 (2) 设货运公司安排大货车 m 辆,则需要安排小货车( 10 -(3)(4) -2冬x冬1 十对| 东 1( 2019 四川成都， 15 ( 2 ）， 6 分） 解不等式3( x-2) 冬4x-5，心m) 辆,根据(1) 的结论可得出不等式 4m+

49、1 5( 10-m) ;:=33,进而得出所有的情况,然后计算出每种情况的花费,从而得出结论 优化方案问题首先要列举出所有可能的方案,再按题目要求分别求出每种方案的具体结果,进行比较,从中选择最优 组： 5x-21+ 1 x 十对|东 2 ( 2018 贵州贵阳，19，10 分） 某青春党支部在42-精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让解析 解不等式心得 x;:= 1,解不等式得 x2 其栽种 已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵 10 元，用 480 元购买. 原不等式组的解集为-1冬x0) 个单位，得到对应点 P( x+a，y)( 或( x-a，y)； 将点 P( x，y)

50、向上( 或向下) 平移 b( b0) 个单位，得到对应点 P( x，y+b)( 或( x，y-b) 考点二 函数的概念及三种表示方法1 函数的定义2 函数值的定义一般地，在一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 在某一范围内的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量 3 特殊点的坐标特征坐标轴上点的坐标特征x 轴上的点纵坐标为 0；y 轴上的点横坐标为 0；原点的坐标为(0，0) 象限角平分线上的点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标 互为相反数 平行于 x 轴( 或垂直于 y 轴)

51、的直线上的点的纵坐标相等，平行于 y 轴( 或垂直于 x 轴) 的直线上的点的横坐标相等 4 直角坐标系内点的对称和平移(1) 点 P ( x， y ) 关于 x 轴对称的点的坐标为( x， - y )； 点P( x，y) 关于 y 轴对称的点的坐标为 ( -x，y） ；点 P( x，y) 关于对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当 x = a 时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值叫做 x = a 时的函数值 3 函数的表示方法解析法，列表法和 图象法 4 函数图象的画法列表、 描点 、连线 考点三 与函数有关的应用型问题根据题意直接写出函数解析式，或根据函数图象分析现实 情境是常考题型

52、，在实际问题中自变量常受限制，所以一般要在函数解析式后注明自变量的取值范围 5 年中考 3 年模拟 中考数学一、在平面直角坐标系内求点的坐标 二、函数图象的判断及其应用 对应学生用书起始页码 37 页1 利用对称、平移的性质求点的坐标 例 1 ( 2019 湖北黄冈，5，3 分） 已知点 A 的坐标为(2，1)，将点 A 向下平移 4 个单位长度，得到的点 A的坐标是() A.(6，1)B.(-2，1)C.(2，5)D.(2，-3)解析 将点 A 向下平移 4 个单位长度可得 A( 2,- 3),故选 D 答 案 D十对|东 1 ( 2018 四川成都，4，3 分） 在平面直角坐标系中，点 P

53、(-3，-5) 关于原点对称的点的坐标是( )A.(3，-5)B.(-3，5)C.(3，5)D.(-3，-5)答 案 C解析 平面直角坐标系中任意一点( x,y) 关于原点对称的点的坐标是( -x,-y),所以点 P( -3,-5) 关于原点对称的点的坐标是(3,5) 故选 C 2 从一点向 x 轴( 或 y 轴) 作垂线，结合图形的特征，利用全等、相似、勾股定理等求出该点的坐标 对于函数图象，( 1) 要弄清函数图象上一些特殊点的意义， 如起点、终点、临界点、交点等；(2) 要认识图象的变化趋势，上升或下降，直线或曲线；( 3) 有关实际问题的函数图象，要清楚横、纵坐标表示的意义和单位 例

54、3 ( 2019 重庆 A 卷，17，4 分） 某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，尤法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲 乙刚出发 2 分钟时， 甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2 分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件 甲、乙两人相距的路程 y( 米) 与甲出发的时间 x( 分钟) 之间的关系如图所示( 乙给甲手机的时间忽略不计) 则乙回到公司时，甲距公司的路程是 米 例 2 ( 2017 河南，9，3 分） 我们知道：四边形具有不稳定性 如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形

55、 ABCD 的边 AB解析 由题意可得 V甲4 000+500X2-500X2= 4 000-;(12- 2- 2)= 500米 分,V乙 =在 x 轴上，AB 的中点是坐标原点 O 固定点 A，B，把正方形沿箭头方向推，使点 D 落在 y 轴正半轴上点 D处，则点 C 的对应点C的坐标为()A.( 3 ，1)B.(2，1)C.(1， 3 )D.(2， 3 )解析 由题意可知 AD = AD = CD = CD = 2,AO = BO = 1,在Rt!:AOD中,由勾股定理得 OD = 3 ,由 CDIAB 可得点 C的坐标为(2, 3 ),选 D 答 案 D十对|东 2 ( 2019 福建，

56、14，4 分） 在平面直角坐标系 xOy中，口OABC 的三个顶点分别为 O(0，0)，A(3，0)，B(4，2)，则其第四个顶点 C 的坐标是 4= 1 000 米 分 由于甲、乙相遇时,乙走了 4 分钟,所以当乙回到公司时,也用了 4 分钟,此时甲离公司的路程为 500X(12-2) -500X 2+ 500X 4 = 6 000 米 答 案 6 000十对|东 3 ( 2019 湖北黄冈，8，3 分） 已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家 跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后 再走回家 图中 x 表示时间，y 表示林茂离家的距离

57、依据图中的信息，下列说法错误的是( )答 案 (1,2) 03 0 .= 3解 析 O(0, ),A( , ), OA体育场离林茂家 2 5 km 四边形 OABC 是平行四边形,. BC4OA B(4,2),. C(1,2) 体育场离文具店 1 km林茂从体育场出发到文具店的平均速度是 50 m l min D.林茂从文具店回家的平均速度是 60 m l min答 案 C解析 由题图可知 15 min 时林茂到达体育场,故体育场离林茂家 2 5 km,故 A 正确;30 min 时林茂离开体育场,45 min 时到达文具店,路程为2 5- 1 5 = 1 km,故 B 正确;林茂从体育场出发

58、到文具店的平均速度是(2 5-1 5) X1 000 = 200 ml min, 故 CX1 00045-30错;林茂从文具店回家的平均速度是1 53= 60 m l min,故 D16正确 90-65 3 2一次函数第三章 变量与函数17 对应学生用书起始页码 44 页考点一 一次函数的图象与性质1 次函数的定义一般地，如果 y = kx+b( k-c0，k，b 是常数)，那么 y 叫做 x 的一次函数 当b = 0 时，一次函数 y = kx 也叫做正比例函数 2 次函数的图象与性质5 次函数图象的平移 一次函数 y = kx+b( k-c0) 的图象可以看作由直线 y = kx( k-c

59、向上( 下) 平移l b l 个单位长度得到 当 b0 时，将直线 y = kx( k-c0) 向上平移l b l 个单位长度；当 b0 时，将直线 y = kx( k-c0) 向下平移l b l 个单位长度 当 k1 = k2 ，b1 -cb2 时，直线 y = k1 x+b1 和直线 y = k2 x+b2 平行 考点二 一次函数与方程、不等式之间的联系如图所示，我们可以得到如下两种关系：y 随 x 的增大而 减小 y 随 x 的增大而增大性质图象 经 过第二、三、四象限图 象 经 过第一、 二、 四象限图象经过第心 一、三、四象限图 象 经 过第一、 二、 三象限b0b0次函数 y =k

60、x+b（ k-c0）正比例函数 y= kx（ k-c0）k0图象1 次函数与方程之间的关系一次函数解析式可看作一个二元一次方程 直线 y = kx+b( k-c0) 与 x 轴的交点 B 的横坐标是方程 kx 注意 k,b 符号的确定方法+b = 0 的解 y = kx+b，(1) 一次函数图象从左向右看呈上升趋势，k 0；呈下降趋(3) 两直线的交点 C 的坐标是方程组y = k x+b 的解 势，k0；在y 轴的负半轴上，b0 时，自变量 x 的取值范围就是不等式 kx+b0 的解集；当函数 y = kx+b 的函数值 y0 时，自k直线 y = kx+b( k-c0) 与 x 轴的交点为