动物世界-最美的科普书全彩版

1、目录导数专题1一、导数的基本概念1二、导数的应用7导数专题一、导数的基本概念1平均变化率和瞬时变化率（1）平均变化率：函数 y = f (x)，如果自变量 x 在 x 0 处有增量x ，那么函数 y 相应地有增量y =f（x 0 + x ）yyf（x ），比值叫做函数 y = f（x）在 x 到 x + x 之间的平均变化率，即=f (x0 x) f (x0 )000 xxxy（2）瞬时变化率：当x 0 时，此时的 x 就叫做瞬时变化率2导数的定义y如果当x 0 时， x 有极限，的导数，记作 f(x 0 )或 y| x x 。0就说函数 y=f(x)在点 x 0 处可导，并把这个极限叫做 f

2、（x）在点 x 0 处即 f（x ）= lim y = limf (x0 x) f (x0 ) 。0 xxx0 x0说明：yy（1）函数 f（x）在点 x 0 处可导，是指x 0 时， x 有极限。如果 x 不存在极限，就说函数在点 x 0 处不可导，或说无导数。（2） x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量， x 0 时，而y 是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x 0 处的导数的步骤： 求函数的增量y =f（x 0 + x ）f（x 0 ）y 求平均变化率=f (x0 x) f (x0 )xxy 取极限，得导数 f(x )= lim0 x0 xx2x

3、1x 1例 1 y f (x) 在 x 1处可导，则a 2 b 1ax b第 1 页 共 30 页例 2已知 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)=b，求下列极限：f (a h2 ) f (a)f (a 3h) f (a h)（1） lim（2） lim；h2hh0h0例 3设 f (x) = x|x|, 则 f (0)=习题精炼：1 y 2x 1 在(1, 2) 内的平均变化率为（）A3B2C1D02设函数 y f (x) ，当自变量 x 由 x0 改变到 x0 x 时，函数的改变量y 为（）A f (x0 x)B f (x0 ) xC f (x0 )xD f (x0 x) f (x0

4、)3质点运动动规律 s t2 3，则在时间(3,3 t) 中，相应的平均速度为（）9tA 6 tB 6 t C 3 tD 9 t4 y x2 2x 3 在 x 2 附近的平均变化率是.5一直线运动的物体，从时间t 到t t 时，物体的位移为s ，那么lim s 为（）t 0 t从时间t 到t t 时，物体的平均速度在t 时刻时该物体的瞬时速度当时间为t 时物体的速度从时间t 到t t 时物体的平均速度第 2 页 共 30 页6 y x2 在 x =1 处的导数为（）C 2 xA2 xB2D17函数 f (x) 的图像是折线段ABC,其中 A.B.C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4

5、) ,则 f ( f (0) ，f (1 x) f (1)lim.xx08在高台跳水运动中,t 秒时运动员相对于水面的高度为h(t) 4.9t 2 6.5t 10 ,则运动员在 1 秒时的瞬时速度为,此时运动状态是3导数的几何意义函数 y=f（x）在点x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点p（x 0 ，f（x 0 ）处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x 0 ，f（x 0 ）处的切线的斜率是 f（x 0 ）。/相应地，切线方程为 yy 0 =f （x 0 ）（xx 0 ）。例 1：在函数 y x 8x 的图象上，其切线的倾斜角小于 的点中，坐标为整数的点的个数是（

6、43）A3B2C1D0例 2：求函数 y x3 过点（1,1）的切线例 3：已知直线 y kx 与 y ln x 相切，求 K 的值第 3 页 共 30 页例 4：求 y 2x2 3 在点 P(1,5) 和Q(2,9) 处的切线方程。4导数的运算1基本函数的导数公式: xn nxn1; (cos x) sin x ; C 0; （C 为常数） (sin x) cos x ; (ex ) ex ; (ax ) ax ln a ; ln x 1 ; l o g x 1 loge 1xaaxx例 1：下列求导运算正确的是（B）A(x+ 1 ) 1 xC(3x)=3xlog3e1x 21B(log x

7、)=2x ln 2D(x2cosx)=-2xsinx例 2：设 f0(x) sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x) fn(x)，nN，则 f2005(x)（D cos xC）A sin xB sin xC cos x2基本函数的导数公式:导数的运算法则若u(x), v(x) 的导数都存在，则： (ku) ku (k 为常数）； u v) u v.uuv uv( ) (uv) u v uv .vv 2第 4 页 共 30 页例 1：求下列函数的导数f (2） (x 1)(x )6（1）f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x0 时, f (x)g

8、(x) f (x)g(x) 0.且 g(3)=0.则不等例 2：设式 f(x)g(x)0 的解集是（）A(3，0)(3，+)C(， 3)(3，+)B(3，0)(0，3)D(， 3)(0，3)：当 x0 时, f (x)g(x) f (x)g(x) 0 ，即 f (x)g(x)/ 0当 x0 时，f(x)g(x)为增函数，又 g(x)是偶函数且 g(3)=0，g(-3)=0，f(-3)g(-3)=0故当 x 3 时，f(x)g(x)0，又 f(x)g(x)是奇函数，当 x0 时，f(x)g(x)为减函数，且 f(3)g(3)=0故当0 x 3时，f(x)g(x)0故选D习题精炼：1已知曲线 f

9、(x) x3 求（1）曲线在 P(1,1)处的切线方程.曲线过点Q(1,0)的切线方程.满足斜率为 1 的切线的方程.3第 5 页 共 30 页x22求 y在点 P(1,和Q2(,9) 处的切线方程。陕西理 7】设函数 f (x) xex ，则（3【2012 高考）A x 1 为 f (x) 的极大值点B x 1 为 f (x) 的极小值点C x 1 为 f (x) 的极大值点D x 1 为 f (x) 的极小值点学辽宁理 12】若 x 0, ) ，则下列不等式恒成立的是（4【2012 高考）1 1 1 x 1 x224(A)(B)1 x2(C) cos(D) ln(1卷理 10】已知函数 y

10、x3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c（5【2012 高考）（A）2 或 2（B）9 或 3（C）1 或 1（D）3 或 16（福建理 10）已知函数 f (x) ex x ，对于曲线 y f (x) 上横坐标成等差数列的三个点 A，B，C，给出以下判断：ABC 一定是钝角三角形ABC 可能是直角三角形ABC 可能是等腰三角形ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（）ABCD7（湖南文 8）已知函数 f (x) ex ， g 3 若有 f (a) g(b) 则b 的取值范围为（）A2 2, 2 B (2 2, 2 2)2C1, 3D (1,3)第 6 页 共 30 页8.（文

11、4）曲线 y x2 2x 1在点（1,0）处的切线方程为（）（A） y x 1（B） y x 1（C） y 2x 2（D） y 2x 2二、导数的应用（1）设函数 y f (x) 在某个区间（a，b）可导，如果 f (x) 0 ，则 f (x) 在此区间上为增函数；如果 f (x) 0 ，则 f (x) 在此区间上为减函数。f (x) 0 ，则 f (x) 为常数。（2）如果在某区间1函数单调性（1）简单函数单调性f (x) 是函数 f (x) 的导函数），下面四个图象中 y 例 1.已知函数 y xf (x) 的图象f (x) 的图（其中象大致是（）：由函数 y xf (x) 的图象可知：当

12、 x 1时， xf (x) 0，此时 f (x) 增当1 x 0 时， xf (x) 0， f (x) 0，此时 f (x) 减当0 x 1时， xf (x) 0， f (x) 0， f (x) 0，此时 f (x) 增故选C第 7 页 共 30 页例 2.设 f (x) ax3 x 恰有三个单调区间，试确定 a 的取值范围，并求其单调区间。解： f (x) 3ax2 1若 a 0 ， f (x) 0 对 x (,) 恒成立，此时 f (x) 只有一个单调区间，若 a 0 ， f (x) 1 0 x (,) ， f (x) 也只有一个单调区间，11 f (x) 3a(x 若 a 0) (x )

13、，此时 f (x) 恰有三个单调区间3| a |3| a |1111 a 0 且单调减区间为(,) ，单调增区间为() 和(,)3 | a |3 | a |3 | a |3 | a |f (x) x3 bx2 ax d 的图象过点P（0,2）,且在点 M (1,f (1) 处的切线方程为例 3.已知函数6x y 7 0 .（）求函数 y f (x) 的式；（）求函数 y f (x) 的单调区间.解：（）由 f (x) 的图象经过 P（0，2），知 d=2，所以 f (x) x3 bx2 cx 2,f (x) 3x2 2bx c.由在 M (1, f (1) 处的切线方程是6x y 7 0 ，知

14、 6 (1) 6.3 2b c 6,2b c 3,解得b c 3.即1 b c 2 1. b c 0,2 3x 2.式是 f (故所求的（） f ( 3.2 2x 1 0.令3解得 x1 12, x2 12.) 0;当当12 x 12时, f (x) 0.2 3x 2在(,1 2) 内是增函数，故 f (在(12,12) 内是减函数，在(12,) 内是增函数.第 8 页 共 30 页（2）含有参数的函数单调性例 1：已知函数 f (x) ax x ln a ，其中a (1, ef (x) 的单调性；()()求证：对x1, x2 1,1 ，都有| f (x1) f (x2 ) | e 2 。（3

15、）定区间上函数单调性92 - 3ax - )例 1：已知 f (aR ，若函数 f (x) 在（-1,1）内是减函数，求a 的范围。2第 9 页 共 30 页例 2：已知函数 f（x）= x3 3ax2 + 3x + 1。（）设 a = 2，求 f（x）的单调期间；（）设 f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围。例 3：已知函数 f (x) = x3 - 3ax +3x +1设 f (x) 在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的范围。第 10 页 共 30 页1 a1例 4 已知函数 f (x) x 33x ax a ，xR 其中 a 0.22（I）求函数 f (

16、x) 的单调区间；（II）若函数 f (x) 在区间（-2，0）有两个零点，求a 的取值范围；（III）当 a = 1 时，设函数 f (x) 在区间t,t 3 上的最大值为M（t），最小值为 m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间3,1上的最小值。【】第 11 页 共 30 页2极值与最值在区间a，b上连续的函数 f (x) 在a，b上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数 f（x）不(1,1) 。一定有最大值，例如 f (（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。

17、（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。第 12 页 共 30 页（1）简单的求极值最值例 1：函数 f (x在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是33=0，得 x ：由 f (2)1，1时， fx 0，当时， fx 0，/当 xx的极小值、极大值分别为 (1) 3、故)(1，f )17、f (0 而故函数 f (x在-3，0上的最大值、最小值分别是 3、-

18、17。例 2：设0 a 1，集合 A x R | x 0， B x R | 2x2 3(1 a)x 6a 0 ， D AB .（1）求集合 D （用区间表示）（2）求函数 f (x) 2x3 3(1 a)x2 6ax 在 D 内的极值点.【】（1）令 g(x) 2x2 3(1 a)x 6a ， 9(1 a)2 48a 9a2 30a 9 3(3a 1)(a 3) 。 当0 a 1 时， 0 ，33a 3 9a2 30a 93a 3 9a2 30a 9方程 g(x) 0 的两个根分别为 x1 ， x2 ，44(, 3a 3 9a 30a 93a 3 9a 30a 922)(, )所以 g(x)

19、0 的解集为。44B (0, 3a 3 9a 30a 93a 3 9a 30a 922)(, ) 。因为 x , x 0 ，所以 D A12441 当 a 1 时， 0 ，则 g(x) 0 恒成立，所以 D AB (0, ) ，3综上所述，当0 a 1 时，D (0, 3a 3 9a 30a 93a 3 9a 30a 922)(, )；4431当 a 1 时， D (0, ) 。3第 13 页 共 30 页（2） f (x) 6x2 6(1 a)x 6a 6(x a)(x 1) ，令 f (x) 0 ，得 x a 或 x 1。1 当0 a 时，由（1）知 D (0, x )(x , ) ，31

20、2因为 g(a) 2a2 3(1 a)a 6a a(3 a) 0 ， g(1) 2 3(1 a) 6a 3a 1 0 ，所以0 a x1 1 x2 ，所以 f (x), f (x) 随 x 的变化情况如下表：所以 f (x) 的极大值点为 x a ，没有极小值点。1 当 a 1 时，由（1）知 D (0, ) ，3所以 f (x), f (x) 随 x 的变化情况如下表：所以 f (x) 的极大值点为 x a ，极小值点为 x 1。综上所述，当0 a 1 时， f (x) 有一个极大值点 x a ，没有极小值点；31当 a 1 时， f (x) 有一个极大值点 x a ，一个极小值点 x 1。

21、3第 14 页 共 30 页x(0, a)a(a,1)1(1, )f (x)00f (x)极大值极小值x(0, a)a(a, x1 )(x2, )f (x)0f (x)极大值例 3：已知函数 f (x) (x2 ax 2a2 3a)ex (x R), 其中a R（1）当a 0 时，求曲线 y f (x)在点(1, f (1) 处的切线的斜率；（2）当a 2 时，求函数 f (x) 的单调区间与极值。3解：（I）当a 0时，f (x) x2ex ，f ()ex，故f (1) 3e.所以曲线y f (x)在点(1, f (1)处的切线的斜率为3e.（II） f (x) x2 (a 2)x 2a2

22、4aex .令f (x) 0，解得x 2a，或x a 2.由a 2 知， 2a a 2.3以下分两种情况。（1） 若a 2 ，则 2a a 2 .当 x 变化时， f (x)，f (x) 的变化情况如下表：3所以f (x)在(， 2a)，(a 2， )内是增函数，在(2a，a 2)内是减函数.函数f (x)在x 2a处取得极大值f (2a)，且f (2a) 3ae2a .函数f (x)在x a 2处取得极小值f (a 2)，且f (a 2) (4 3a)ea2.（2） 若a 2 ，则 2a a 2 ，当 x 变化时， f (x)，f (x) 的变化情况如下表：3所以f (x)在(，a 2)，(

23、2a， )内是增函数，在(a 2， 2a)内是减函数。函数f (x)在x a 2处取得极大值f (a 2)，且f (a 2) (4 3a)ea2.第 15 页 共 30 页x ，a 2a 2a 2， 2a2a 2a， +00+极大值极小值x ， 2a2a 2a，a 2a 2a 2， +00+极大值极小值（2）恒成立与能成立问题例 1：已知函数 f(x)=ex-ax，其中 a0.若对一切xR，f(x) 1 恒成立，求 a 的取值集合；在函数 f(x)的图像上去定点 A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2)(x1x2)，记直线 AB 的斜率为 k，证明：存在 x0（x1,x2）,使 f (

24、x0 ) k 恒成立.】解： f (x) ex a, 令 f (x) 0得x ln a .【当 x ln a 时 f (x) 0, f (x) 单调递减；当 x ln a 时 f (x) 0, f (x) 单调递增，故当 x ln a 时，f (x)取最小值 f (ln a) a a ln a.于是对一切 x R, f (x) 1恒成立，当且仅当a a ln a 1.令 g(t) t t ln t, 则 g(t) ln t.当0 t 1时， g(t) 0, g(t) 单调递增；当t 1时， g(t) 0, g(t) 单调递减.故当t 1时， g(t) 取最大值 g(1) 1.因此，当且仅当a

25、1时，式成立.综上所述， a 的取值集合为1 .f (x ) f (x )ex2ex1（）由题意知， k 21 a.2 x1ex2ex1令(x) f (x) k e x, 则x x21x1(x1) 1) 1 ,x2(x2 ) 2 ) 1.令 F(t) et t 1，则 F(t) et 1.当t 0 时， F(t) 0, F(t) 单调递减；当t 0 时， F(t) 0, F(t) 单调递增.故当t 0 ， F(t) F(0) 0, 即et t 1 0.第 16 页 共 30 页ex1ex2从而ex2 x1 (x x ) 1 0 ， ex1 x2 (x x ) 1 0, 又0,0,2112x x

26、x x2121所以(x1 ) 0, (x2 ) 0.因为函数 y (x) 在区间x1, x2 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在2 ) 使(x0 ) 0, 即 f (x0 ) k 成立.例 2：设函数 f (x) 2x3 3ax2 3bx 8c 在 x 1 及 x 2 时取得极值（）求 a、b 的值；（）若对于任意的 x 0，3，都有 f (x) c2 成立，求 c 的取值范围第 17 页 共 30 页例 3：已知函数 f (x) ln x ax 1 a 1 (a R) .xf (x) 的单调性；（）当a 1 时，2（）设 g(x) x2 2bx 4. 当a 1 时，若对任意 x (0,

27、2) ，存在 x1, 2，使f (x ) g(x ) ，求实数b 取12124值范围.例 4：设函数 f (x) x3 ax2 a2 x m (a 0)（1）求函数 f (x) 的单调区间；（2）若函数 f (x) 在 x 1,1 内没有极值点，求a 的取值范围；（3）若对任意的a 3, 6，不等式 f (x) 1在 x 2, 2 上恒成立，求m 的取值范围。第 18 页 共 30 页（3）交点个数f x a ln 1例 1：已知 x 3 是函数的一个极值点。（）求a ；f x 的单调区间；（）求函数（）若直线 y b 与函数 y f x 的图象有 3 个交点，求b 的取值范围。例 2：已知函

28、数 f (x) = x3 - 2ax -1, a 0（1）求 f (x) 的单调区间（2） f (x) 在 x = -1处取得极值，直线 y = m 与 y = f (x) 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。第 19 页 共 30 页习题精炼：1【2012 高考理 21】（本小题满分 14 分）设 a1，集合 A x R | x 0， B x R | 2x2 3(1 a)x 6a， D A B 。（1）求集合D（用区间表示）；（2）求函数 f (x) 2x3 3(1 a)x2 6ax 在 D 内的极值点第 20 页 共 30 页2【2012 高考理 19】（本小题满分 13 分）1设

29、f (x) aex b(a 0) 。aex（I）求 f (x) 在0, ) 上的最小值；（II）设曲线 y f (x) 在点(2, f (2) 的切线方程为 y 3 x ；求a, b 的值。21a2t2 11a【】（I）设t e (t 1) ；则 y at x，2at 21当a 1 时， y 0 y at b 在t 1上是增函数，at得：当t 1(x 0) 时， f (x) 的最小值为a 1 b 。a1当0 a 1时， y at b 2 b ，at当且仅当at 1(t ex 1 , x ln a) 时， f (x) 的最小值为b 2 。a1aex1 b f (x) aex ，（II） f (x

30、) aex aexae2 b 3a 12e212f (2) 3 ae213由题意得： f (2) 3。 b ae2 2ae223【2012 高考重庆文 17】（本小题满分 13 分）已知函数 f (x) ax3 bx c 在 x 2 处取得极值为c 16（1）求 a、b 的值；（2）若 f (x) 有极大值 28，求 f (x) 在3,3上的最大值【】（）因 f (x) ax3 bx c 故 f (x) 3ax2 b由于 f (x) 在点 x 2 处取得极值f (2) 012a b 012a b 0a 1故有即，化简得解得f (2) c 168a 2b c c 164a b 8b 12 ， f

31、 (x) 3x2 12（）由（）知f (令 f (x) 0 ，得 x1 2, x2 2 当 x (, 2) 时， f (x) 0 故 f (x) 在(, 2) 上为增函数；当 x (2, 2) 时， f (x) 0 故 f (x) 在(2, 2) 上为减函数当 x (2, ) 时 f (x) 0 ，故 f (x) 在(2, ) 上为增函数。第 21 页 共 30 页由此可知 f (x) 在 x1 2 处取得极大值 f (2) 16 c ， f (x) 在 x2 2 处取得极小值 f (2) c 16 由题设条件知16 c 28 得c 12 此时 f (3) 9 c 21, f (3) 9 c

32、3， f (2) c 16 4 因此 f (x) 上3,3的最小值为 f (2) 44【2012 高考文 22】（本小题满分 14 分）设函数 f (x) axn (1 x) b(x 0)，n 为正整数，a，b 为常数，曲线 y = f (x)在（1，f (1)）处的切线方程为x + y = 1.（1）求 a,b 的值；（2）求函数 f(x)的最大值1ne（3）证明：f(x).【】第 22 页 共 30 页122 2ax .5（江西理 19）设 f2（1）若 f (x) 在( , ) 上存在单调递增区间，求a 的取值范围；216（2）当0 a 2 时， f (x) 在1, 4 上的最小值为，求 f (x) 在该区间上的最大值.36【2012 高考文 17】（本小题满分 12 分）1设定义在（0，+ ）上的函数 f (x) ax b(a 0)ax（）求 f (x) 的最小值；（）若曲线 y f (x) 在点(1, f (1) 处的切线方程为 y 3 x ，求a, b 的值。211【】（I）（方法一） f (x) ax b 2 ax b b 2 ，axax当且仅当ax 1(x 1 ) 时， f (x) 的最小值为b 2 。a第 23 页 共 30 页313（II）由题意得： f (1) a b ，2a2f (x) a f (1) a 1 3 ，1ax