大学线性代数典型例题解析

1、 大学线性代数典型例题解析一行列式计算的典型例题分析:1.利用降阶法。05 # #餌轉第三列乘和7分别加到第一列r第二列，然后按第一行展幵，得0I4124&I-10=(-|严_11ig5-13201 # #再将第三列乘以6加到第一列：按第三行展幵，得20-195D=I-13200I由弐上演算过翟可知，对二任意n阶行列式久皆可用行列式性质变衙等堕的n-l阶行列式2利用化三角形法计算。3利用升阶法。 应a1000011111-|A旳码Ac|000a2旳4a20A0Q_函a00Aa3Q_冈QAk0004一q第5乳一借加到界一列上第2列倍、第3孔.心倍、第4列一倍、Z6Z|AZ2-JA-*应g4.利用

2、范德蒙公式。 TOC o 1-5 h z例io離方程i=0I-39-27I525125铤将行列式转賢便知它是一亍4阶范德泰行列式=即1XJt2J?1111124Kjc2351J9-27/49251525125F8-71125=(2-r)(-3-x)(5-x)(-3-2)S-2)(5+3)=0方程的x=2,x=-3jX=5)b.矩阵 廣法初等彳丁变按注1111；1Q00_ioooi-1oo-0111:0100厂1一住0100:0100011:0010口0010:0&110001-(JOO1*卫001:0001 V01塚0例了：求工便SA=B,这里A=13-2，B=-530T21?015:700-

3、8:1312.-.A=-1Qg10010100018II84813515T7/分析：根抿矩阵乘法规则用应为3阶方阵若A可逆，则XA=B两侧同乘yT二却可得K=BA鏈法一：先求一p01:10(St1J_2；010*521=00b(1-3!01J-P-3_2!0122:101芒賊、015；-58(0-13-9:05b22:10b10/123、仃23则X=BA=-853091011=45626-13-10-15,10-41220013lo013f3x=-4I、3乙 =A-L.A=-AI町说明：这里儿亍等试证明中屈到了以下拮论：世网=片网(k-B)-=k-(3)|-|=|B|_C也可有如下鏈法：AA=

4、j-I造护=Bt9ABB=BlEAA*=Al,有丿卜|丿*1|/卜/|=|冲，可逆.卜|工0,-A=|丿；即网=壬。即BB二人二H呻=|矿而A“八命人:”宀丿)/.JT*即(护尸=卜厂肛三.向量和线性方程组 雋十3杓十2九=0*2血|一爲十3扎=03也十2爲十皿3=系款行列式I32D=2-I332化,是否维性相关，等价于齐抚线性輝组是时非零解.若方程齟有非零臥则：住节：,每线性相提，若方程幻只育零脾.则绚,並应聞绕性无关因此硏究向量间是否谿性相去问題实.两上就是硏究齐抉粽性方程组(3)有没有零锲问题，解法一设存在纽鳖人出局.使九+柑勺+m5=-即吐站3)仏亦即也+3&+兀2&十2&+地3十爲+

5、)=(0Q0).+迟+=0V岛十2罔十3罔=03Ar,+Ap2+Ar3=0131謎艳阵22S=A,可M通过初等肯蛮换求得rW=3,则此齐啟线性方程组3II只有零酩故禺為，為戟性无关. 例6已Bk乂1也訂1晌訂1广1丄1也电严仲j）试强儻示为局,偽和勺的找牲齢M：硏究某一向量岁能否用向量角严应繼性表示寿剽I否有个教切”比使和詁中也朴也a.。曲+的血朴叶每出也h+仏&朴h二人因此；向盘腿总否谢向虽纽力|）冷口否有辨若方翱M）有唯-解刚離用朋解雒用”鵜用住I必兔线性表朮魏表示等肝非齐次難方翻是住止叫唯-的线唯表朮君方程坦有无哲角心第隹表示，但表示法不唯二若方程蛆无#Ji|.7151=一住、+住】-a

6、.-a.z44-44四.特征值与特征向量 帆1.求矩阵的特征堕乳持征向量餌（一）：aj-a=|0I/的特征值为儿二几Xr=_2)(兄一1)|=仏_2)久_1)-II?2=4_1-XJ血二1对于；I殆二2,方程组IA）FD,即为IIQ0QkooQA心丿-2-1对于岛=1,方程组（I-A）X=为-21-1二0、工3丿4暑解为1,A,1（上产0）足屈丁2的特征向虽=100八工丿0=0;Cr12=00丿1工3丿0；0-0卩1“21仏=0是属于2=1的特征向量 ao-n丄21T01-l解向莹鸟=1000丄.砸特征值为7-口II3-4II3-4n-nfjyr“Z35XZ5（二）困-甸二-4A+7-82A-

7、i-z2z-1-*x+7Jl-77几7-67A-7A的属于1的特征向盘为右1（k.0）II丿之3）1-11a-11/L十212A-l-A=U-3)乂十22+7-1=a-3)1A7Z-717k,=仏-3）仏十l）UR的特征值为石=T儿二3討于缶=45=7铤方程组（一丨一A）QD,有：（-A）=2-4)0弋丿Q-I00I-200；-2，髀向昼&广23-43十对于右=3,方程组(3Z-A)X=Q,3I-A=23-4T016-16五.二次型 例I.:蒋二次型丁=(工|巴宀，兀)=工；+远+2工：+4工円+2工|兀十4兀兀+2兀工3+2工三壬+2工3-J表示成矩阵履式，并求该二次型的秩斜：将二次型表示成矩阵形式