文稿天体力学林lect

1、2.5 椭圆展开与平均值椭圆展开是指椭圆运动中的一些量表示成平近点角的三角函数的级数形式。椭圆展开的意义：E, f , M 之间需要相互转化，特别是转化为 MM 的变化是均匀的，易于处理平均化及其意义：对 E, f , M 等“快变量”取平均值的过程，称为平均化平均化广泛应用于研究天体的长期动力学演化（分析方法和数值方法）一般情况下，研究天体运动时的“小量”有偏心率和轨道倾角，因此经常将某个量展开成 e 或 i 的级数。E 表示成 M 的级数一个直观而简单的方法：E e sin E MKepler方程E1 M e sin ME M e sin M e sin M M e sin M 1 e2

2、sin 2M2212E M e sinM e sin M 2esin 2M33 1123M e esin M sin 2M e sin 3M23e88E 表示成 M 的级数E M e sin E 是奇的周期函数，因此可以将之展开为Fourier级数：e sin E bs esin sMs1其中的系数由下式给出：e 2e sin E sin sMdMbs0 2 2 0cos sMd e sin E s e sin E cos sM 2 ss0cos sMdE M0 2 2 scos sMdM cos sMdEs00 2 scos sE se sin E dE0Kepler方程Kepler方程分部

3、积分此处 E 是 M 的函数e 2 cossE se sin E dE 可以由第一类Beb函数表达：ss0b e 2 J sesss其中 J se 1 cossE se sin E dE 是Be函数.对于正的 s, 有：s0 x221 x s1 x s! 2 Js !s 1s 2s . 0 O x7 1 x5x3J16384 O x6 196x4J2 O x7 1x58J3J x 1 x4 O x6 4384J x 1 x5 O x7 53840对所有 x 收敛E 表示成 M 的级数最后，可以写出Kepler方程为：E M 21 Jsesin sMsss12 3 131 M e sin Mes

4、in 2M esin 3M sin M 2 8854 11esin 4M sin 2MO e 36sin E 1 E M ,可以由上式求出ee 0.6627434 时发散r a表示成 M 的级数考虑到 r 1 e cos E 应用类似的方法，可以将 r展开为aa 1 1 e2 2er a1 d Jsecos sMs2des2s1 1 e cos M e2 1 cos 2M 3e3 cos M cos 3M 28e4cos 2M cos 4M O e5 3cos E 表示成 M 的级数考虑到 e cos E 1 r a , 利用 r 展开式,得到cos Eeacos E 1 e 21 d Jse

5、cos sM2dess2s12 cos M e cos 2M 1 3ecos 3M cos M 2cos 4M83 413ecos 2M 34 5 25 128125384ecos M cos 5M O e5cos 3M 192sin f表示成 M 的级数1 e2 1 Jsesin sM 2sin fsss12 97 sin M e sin 2M esin Msin 3M 883 476esin 4Msin 2M 3 17 207128625384esin M sin 5M45sin 3MO e 192cos f表示成 M 的级数 e2 Jssecos sM cos fes12 cos M e

6、 cos 2M 1 9e cos 3M cos M 8 4e3cos 4M cos 2M 34 25225 cos 3M625cos 5M O e5cosa 表示成 M 的级数ra 1 e2 1 e cos f 1 e2a rr 1 e cos f,3 a r91 1 e cos Mecos 2M ecos 3M cos M2 8841ecos 4M cos 2M45O e 33f 表示成 M 的级数 p a 1 e2 n2a3a 1 e2 na2f h 1 e2r 2f a2 1 e cos E 2 df a2 1 e cos E 2ndf dMr 2dtdM dE 21 e21 e cos

7、 E 2df 1 e2dM dM 积分上式,：543 131f M 2e sin Me sin 2M esin M2sin 3M 1244 1031124esin 4M sin 2M5O e 96Lagrange方法若 可以写成 的函数形式: e e 1那么 也可以写成 的函数形式: j 1e jdj .j! dj 1j 1a 1 e2 积分 h r f na1 e并且代入 r 1 e cos f222得M 1 e2 3 2 df1 e cos f 2f0于是展开并积分得: M f 2e sin f 3 e2 sin 2 f O e3 即4f M 2e sin f 3 e2 sin 2 f O

8、 e3 4因此可以应用Lagrange方法2.5.2 f,g函数在时刻 t0 的相对位置 r0 和速度 v0 , 求时刻 t t0 的位置和速度 r, v :设 r, v 可以表示为：r f t, t0 r0 g t, t0 v0v f t, t r g t, t v0000有两种方式可以得到 f , g :1. Taylor展开2r = r v 1 dv 1 3!d v 2 32 dt 00 02dt023 dv 12d 1 3!d vv 2 3v = v dt 0023dtdt00f, g 表示对时间求导2.5.2 f,g函数r r而由运动方程可知：r3 r2 dv d r dt 002r

9、3dt00 v0v0 r0r0 d 2v 3r03d r233r 4dtdtr00 00 215 v r 23v r6v r d 3v d 4r 00 00 r 00 v r60034r5r7r5dtdt000000,2.5.2 f,g函数:比较系数， 3 r v 2 O 4 f 102r32r500 O 4 g 36r30 3 r v 15r v42 23v21 O f 0040 6 r32r 2r3r 2r 400000 3 r v3 2v O g 1040 2r3r500为保证收敛，这里的 不能太大.2.5.2 f,g函数2. 展开为近点角的函数对 r f t, t0 r0 g t, t

10、0 v0 x f t, t0 x0 g t, t0 x0 ,分离变量：y f t, t y g t, t y0000由此可以解出：yx0yx0 xy0 xy0f t, t ,g t, t .y xy xyy00 xx00000000 x r cos f ,x r cos fy r sin f ,而 na2fsin Er1 e1 e2 r2y r sin f rf cos f na e cos f nacos E1 e2r0 x0 , y0 , v0 x0 , y0 2.5.2 f,g函数求解得到： a rcos E E0 1 1ft, t00 1 sin E Eg t, t t t E En

11、0000对 v f t, t0 r0 g t, t0 v0则有：2f t, t an sin E E ,0rr00g t, t a cos E E 1 1.r 00 x a cos E e, y a 1 e2 sin E2.5.3 椭圆运动中的平均值平均化及其意义：对 E, f , M 等“快变量”取平均值的过程，称为平均化平均化广泛应用于研究天体的长期动力学演化（分析方法和数值方法）一个表达式 F 在椭圆周期T 内的平均定义为：1T 1 22TFFdt FdM .002.5.3 椭圆运动中的平均值 r m r m r ma1. 若 F 中含 a , a sin E,cos E, r , co

12、s f , sin f 等 a cos E e , sin f1 e2 sin E 化成先利用r a 1 e cos E , cos f1 e cos E1 e cos EE 的函数, 再利用Kepler公式将对 M 的平均化成对 E 的平均 1 2 1 222F 1 e cos E dEFFdM00mmmf , m 1 等2.a 1 e2 先利用r 1 e cos ff 的函数, 再利用角动量积分 r f h 公式2化成将对 M 的平均化成对 f 的平均3 2 1 e cos f2.5.3 椭圆运动中的平均值若 F 是 f , E 的复杂的混合表达式时直接将该表达式用对 M 的椭圆展开代入,得到关于 M 的级数, 然后截断到e