二次函数中地面积计算问题包含铅垂高

1、二次函数中地面积计算问题包括铅垂高二次函数中地面积计算问题包括铅垂高二次函数中地面积计算问题包括铅垂高适用文档二次函数中的面积计算问题典型例题例.如图，二次函数yx2bxc图象与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，极点为M，MAB为直角三角形,图象的对称轴为直线x2，点P是抛物线上位于A,C两点之间的一个动点，则PAC的面积的最大值为（C）y271127CCABD3428二次函数中面积问题常有种类：一、选择填空中简单应用ABOx二、不规则三角形面积运用S=M三、运用四、运用相像三角形第10题五、运用切割方法将不规则图形转变为规则图形例1.如图1，已知：正方形ABCD边长为1，E

2、、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s对于x的函数图象大概是B）(D)图1例2.解答以下问题：如图1，抛物线极点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.1）求抛物线和直线AB的分析式；2）求CAB的铅垂高CD及SCAB；（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，能否存在一点P，使SPAB9SCAB，若存在，8求出P点的坐标；若不存在，请说明原因.yCA铅垂高BhCDB1水平宽aO1Ax图2思路分析图1本题是二次函数中常有的面积问题，方法不独一，能够用割补法，但有些繁琐，如图2我们可得出一文案大全适用文档种

3、计算三角形面积的新方法：SABC1ah即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式2后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少很多，答案（）由已知，可设抛物线的分析式为y2把A(3，0)代入分析式求得a1，:11a(x1)4(a0)抛物线的分析式为y1(x1)24，即y1x22x3设直线AB的分析式为y2kxb，由yx22x3求得B点的坐标为(0，3)把A(3，0)，B(0，3)代入ykxb，解得12k1，b3直线AB的分析式为y2x3（2）C(1，4)，当x1时，y14，y22CAB的铅垂高CD4221323(平方单位)SCAB2（3）解：存在设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h

4、y则hy1y2(x22x3)(x3)x23xCP由SPAB9SCAB得：13(x23x)93828B整理得4x212x90，解得x3D21把x3代入y1x22x3，得y11524O1AxP点的坐标为(3，15)图224例3.（贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，RtAOB的极点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把AOB绕点O逆时针方向旋转90获得COD（点A转到点C的地点），抛物线yax2bxc(a0)经过C、D、B三点（1）求抛物线的分析式；（2）若抛物线的极点为P，求PAB的面积；（3）抛物线上能否存在点M，使MBC的面积等于PAB的面积？若存在，恳求出点M的坐标；若

5、不存在，请说明原因y543A21B-3-2-1O12345x-1文案大全适用文档思路分析:依据题目所给信息，函数关系式和PAB的面积很简单求出。第（3）问是二次函数中常有的动点问题，因为点M是抛物线上的一个不确立点，点M能够处于不一样样的地点，是因为点的不确立性而致使图形的形状发生特点上的变化，故而用分类讨论的思想解决问题。答案:（1）由题意知C（2，0），D（0，4）抛物线经过B（4，0），C（2，0）可设抛物线的分析式为ya(x2)(x4)将D（0，4）代入上式，解得a12y该抛物线的分析式为y1(x2)(x4)5P2E124即y32xx42A（2）y1x2x41(x1)291222B1，

6、9抛物线的极点P的坐标为（）-3-2-1O12345x2-1过点P作PEy轴于点E，如图则SPABS四边形PEOBSAOBSPEA1(14)91421(92)1622222（3）假定存在这样的点M，其坐标为M（x，y）则SMBC1|y|6SPAB62即1|y|66，y22当y2时，1(x1)292，解得x15；22当y2时，1(x1)292，解得x11322存在点M，使MBC的面积等于PAB的面积，其坐标为：M1（15，2），M2（15，2），M3（113，2），M4（113，2）例4如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x2，与y轴交于点C（0，4），其2的两个根中

7、x1，x2是方程x2x80（1）求这条抛物线的分析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PEAC，交BC于点E，连结CP，当CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）研究：若点Q是抛物线对称轴上的点，能否存在这样的点Q，使QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出全部符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明原因yCE文案大全BOPAx适用文档解：（1）解方程x22x80，得x12，x24A（4，0），B（2，0）抛物线与x轴交于A，B两点，可设抛物线的分析式为ya(x2)(x4)（a0）1又抛物线与y轴交于点C（0，4），a2(4)4，a抛物线的分析式为y1(x2)(x4)，即y12x422x（

8、2）设点P的坐标为（m，0），过点E作EGx轴于点G，如图yA（4，0），B（2，0），AB6，BPm2CPEAC，BPEBACEGBP，EGm2，EG2m4ECOAB463SCPESCBPSBPE11BGOPAxBPCOBPEG221(m2)(42m4)231(m1)233又2m4，当m1时，SCPE有最大值3此时点P的坐标为（1，0）（3）存在这样的点Q，使QBC成为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1(1，1)，Q2(1，11)，Q3(1，11)，Q4(1，419)，Q5(1，419)设点Q的坐标为（1，n）yQ4B（2，0），C（0，4），BC2(2)24220当QBQC时，则QB2QC22

9、222即(21)y(1)(4y)，y1Q1(1，1)CQ2当BCBQ时，则BQ2BC2即(21)2y220，y11Q1Q2(1，11)，Q3(1，11)BOQ5Ax22当QCBC时，则QCBC22419即1(4y)20，yQ3Q4(1，419)，Q5(1，419)例5如图1，抛物线2为解yx2xk与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）（图2、图3答备用图）（1）k_，点A的坐标为_，点B的坐标为_；2（2）设抛物线yx2xk的极点为M，求四边形ABMC的面积；文案大全适用文档（3）在x轴下方的抛物线上能否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，恳求出点D的坐标；若不存在，请说明

10、原因；2（4）在抛物线yx2xk上求点Q，使BCQ是以BC为直角边的直角三角形yyyAOBxAOBxAOBxCCC图1解：（1）3，（1，0），（3，0）；（2）连结OM，如图12yx2xk(x1)图2图324y抛物线的极点M的坐标为（1，4）S四边形ABMCSAOCSCOMSMOBAOBx113131134C222M9图1说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转变为求一个梯形与两个直角三角形面积的和y2（3）设D（m，m2m3），连结OD，如图2则0m3，m22m30S四边形ABDCSAOCSCODSDOBAOBx(m2m3)3m9m6C11313m132223327522

11、2D(m222)8图2当m3时，四边形ABDC的面积最大Q1y23315E223此时m2m3(2)224存在点D（3，15），使四边形ABDC的面积最大AOBx24（4）有两种状况：C如图3，过点B作BQ1BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连结Q1C图3在RtCOB中，OBOC3，CBO45，EBO45，OBOE3点E的坐标为（0，3）直线BE的分析式为yx322x3，解得x12x23令x3x，y20y15文案大全适用文档点Q1的坐标为（2，5）y如图4，过点C作CFCB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连结BQ2CBO45，CFB45，OFOC3点F的坐标为（3，0）FAOBx直线CF的

12、分析式为yx3C令x3x22x3，解得x11，x20Q2y14y23图4点Q2的坐标为（1，4）2综上所述，在抛物线yx2x3上，使BCQ是以BC为直角边的直角三角形的点Q有两个，分别是：Q1（2，5）和Q2（1，4）优选练习1.如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP于PB为直径做半圆，则图中暗影部分的面积S与时间t之间的函数图像大概为（）2如图，已知A、B是反比率函数yk（k0，x0）图象上xx轴，交y轴于点C。动点P从坐标原点O出发，沿OA中“”所示路线）匀速运动，终点为C。过P作PMx轴，足分别为M、N。设四边形OMP

13、N的面积为S，P点运动时间于t的函数图象大概为SSSSy的两点，BCCBBC（图APNy轴，垂N为t，则S关POMx（第2题图）OtOtOtOtABCD3.如图，四边形ABCD中，BAD=ACB=90，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是BADC(第3题)文案大全适用文档4.如图，两条抛物线y1=-12+1、y2=12-1与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行22线围成的暗影部分的面积为5如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，获得线段OB1）求点B的坐标；2）求经

14、过A、O、B三点的抛物线的分析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上能否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明原因（4）假如点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB能否有最大面积？如有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明原因yBAOx26.如图，抛物线yxbxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点（1）求该抛物线的分析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上能否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明原因；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内能否存在一点P，使PBC的面

15、积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值；若不存在，请说明原因yCBAOx文案大全适用文档7如图，已知抛物线yax2bx4与直线yx交于点A、B两点，A、B的横坐标分别为1和41）求此抛物线的分析式2）若平行于y轴的直线xm（0m51）与抛物线交于点点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）3）在（2）的条件下，连结OM、BM，能否存在m的值，使得的值，若不存在，请说明原因M，与直线yx交于点N，交x轴于BOM的面积S最大？若存在，恳求出yxmyxBNOPAxM8已知二次函数yx2axa2（1）求证：无论a为什么实数，此函数图象与x轴总有两个交点；（2）设a0，当此函数图象与x轴的

16、两个交点的距离为13时，求出此二次函数的分析式；（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上能否存在点P，使得PAB的面积为313？2若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明原因9已知：t1，t2是方程t22t240，的两个实数根，且t1t2，抛物线y2x2bxc的图象经过点A3t1，0），B（0，t2）1）求这个抛物线的分析式；2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求OPAQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，当OPAQ的面积为24时，能否存在这样的点P，使OPAQ为正方形？若存

17、在，求出P点的坐标；若不存在，说明原因yQB文案大全AOxP适用文档10如图，已知抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C此中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段2的两个根，且抛物线的OA、OC的长（OAOC）是方程x5x40对称轴是直线x11）求A、B、C三点的坐标；2）求此抛物线的分析式；3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DEBC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围S能否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明原因yAODBxEC11如图，在梯

18、形ABCD中，DCAB，A90，AD6厘米，DC4厘米，BC的坡度i3:4动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动，两个动点同时出发，当此中一个动点抵达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为t秒1）求边BC的长；2）当t为什么值时，PC与BQ互相均分；3）连结PQ，设PBQ的面积为y，研究y与t的函数关系式，求t为什么值时，y有最大值？最大值是多少？DCQABP12如图，已知抛物线yax2bx3（a0）与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C（1）求抛物线的分析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M

19、，问在对称轴上能否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出全部符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明原因；（3）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连结BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标yyCCBMABA文案大全OxOx（图）（图）适用文档233(a0经过点A(2，0，抛物线的极点为D，过O作射线OM13如图，已知抛物线ya(x1)AD过极点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC（1）求该抛物线的分析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为（ts）问：当t为什么值时，四边形DAOP分别

20、为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当此中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为t（s），连结PQ，当t为什么值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长yMDPCAxOQB14如图，OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y3xm与x轴交于点E31）求点E的坐标；2）求过A、O、E三点的抛物线分析式；（3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值yAOBEx15已知二次函数的图象经

21、过A（2，0）、C(0，12)两点，且对称轴为直线x=4.设极点为点P，与x轴的另一交点为点B.（1）求二次函数的分析式及极点P的坐标；（2）如图1，在直线y=2x上能否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明原因；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MNx轴，交PB于点N.将PMN沿直线MN对折，获得P1MN.在动点M的运动过程中，设P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒.求S对于t的函数关系式.文案大全适用文档yyCCABOABxOxMNPP图1图2二次函

22、数中的面积计算问题参照答案1.D2.A3.y2x24.855.解：（1）如图1，过点B作BMx轴于M由旋转性质知OBOA2AOB120，BOM60OMOBcos60211，BMOBsin6023322点B的坐标为(1，3)（2）设经过A、O、B三点的抛物线的分析式为yax2bxc抛物线过原点，c04a2b0a33Ab3解得3ab23图1所求抛物线的分析式为y3x223x33（3）存在yBOMx如图2，连结AB，交抛物线的对称轴于点C，连结OCOB的长为定值，要使BOC的周长最小，必然BCOC的长最小点A与点O对于抛物线的对称轴对称，OCACBCOCBCACAB由“两点之间，线段最短”的原理可知

23、：此时BCOC最小，点C的地点即为所求设直线AB的分析式为ykxm，将A(2，0)，B(1，3)代入，得文案大全适用文档y2km0k33解得km3m233B直线AB的分析式为y3x23C33x23AO抛物线的对称轴为直线x31，即x13图223将x1代入直线AB的分析式，得y3(1)2333点C的坐标为(1，3)33（4）PAB有最大面积如图3，过点P作y轴的平行线交SPABSPADSPBD1(yDyP)(xBxA)21(323x3)(2332332x2x3(x12932)82AB于点D3x223x(12)33)yBDAOxP图3当x1时，PAB的面积有最大值，最大值为93此时yP223(1)

24、383(1)232324此时P点的坐标为(1，3)246.解：（1）将A(1，0)，B(3，0)代入yx2bxc得021bc解得b0393bcc该抛物线的分析式为yx22x3（2）存在该抛物线的对称轴为x212(1)抛物线交x轴于A、B两点，A、B两点对于抛物线的对称轴x1对称由轴对称的性质可知，直线BC与x1的交点即为所求的Q点，此时QAC的周长最小，文案大全适用文档x1y如图12C将x0代入yx2x3，得y3点C的坐标为(0，3Q)设直线BC的分析式为ykxb1，将B(3，0，C0，3代入，得BA)()O3kb10k1解得b13b13直线BC的分析式为yx3图1联立x1解得x1yx3y2点

25、Q的坐标为(1，2)3）存在设P点的坐标为（x，x22x3）（3x0），如图2SPBCS四边形PBOCSBOCS四边形PBOC133S四边形PBOC922当S四边形PBOC有最大值时，SPBC就最大S四边形PBOCSRtPBES直角梯形PEOC1BEPE1(PEOC)OEy221(x3)(x22x3)1(x22x33)(x)P22C3(x3)29272228Q当x3时，S四边形PBOC最大值为927228BASPBC最大值927927EO当x28283)2(3)3153时，x2x3(222224图2点P的坐标为(3，15)247.解：（1）由题意知A（1，1），B（4，4），代入yax2bx4

26、，得ab41a1yxm解得16a4b44b2所求抛物线的分析式为yx22x43分CB由xm和yx，得交点N（m，m）N24），P（m，0）同理可得M（m，m2mOP2PN|m|，MP|m4|A2m0m51xxyxx文案大全M1MNOP2适用文档MNMPPNmm22m4m23m43）过B作BCMN于C则BC4m，OPmSSMONSBMN2(m23m4)2(m3)2252220当m3时，S有最大值2MNBC1MN(OPBC)28.解：（1）a24(a2)(a2)240无论a为什么实数，此函数图象与x轴总有两个交点（2）设x1、x2是yx2axa20的两个根则x1x2a，x1x2a2此函数图象与x轴

27、的两个交点的距离为13，(x1x2)213224(a2)13，整理得(a1)(a5)0，解得a1即(x1x2)4x1x213(a)或a5a0，a1此二次函数的分析式为2yxx3（3）设点P的坐标为（xp，yp）函数图象与x轴的两个交点的距离为13，AB13SPAB1p|313，即13|313|yyp|AB2222|yp|3，yp32当yp3时，xpxp33，解得xp2或xp3；2当yp3时，xpxp33，解得xp0或xp1综上所述，在函数图象上存在点P，使得PAB的面积为313，P点坐标为：2P1（2，3），P2（3，3），P3（0，3）或P4（1，3）9.解：（1）由t22t240，解得t1

28、6，t24t1t2，A（6，0），B（0，4）抛物线y2x2bxc的图象经过点A，B两点3246b解得b14c03c4c4这个抛物线的分析式为y22143xx43文案大全适用文档（2）点P（x，y）在抛物线上，且位于第三象限，y0，即y0又S2S1|OA|y|OA|y|6|y|APO22S6y分6221427x6)4x7)225(xx4)4(x(233令y0，则2x214x40，解得x16，x2133抛物线与x轴的交点坐标为（6，0）、（1，0）x的取值范围为6x13）当S24时，得4(x7)22524，解得：x14，x232代入抛物线的分析式得：y1y24点P的坐标为（3，4）、（4，4）当

29、点P为（3，4）时，知足POPA，此时，OPAQ是菱形当点P为（4，4）时，不知足POPA，此时，OPAQ不是菱形要使OPAQ为正方形，那么，必然有OAPQ，OAPQ，此时，点的坐标为（3，3），而（3，3）不在抛物线y2x214x4上，故不存在这样的点P，使OPAQ为正方形3310解：（1）OA、OC的长是方程x25x40的两个根，OAOCOA1，OC4点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴A（1，0），C（0，4）抛物线yax2bxc的对称轴为x1由对称性可得B点坐标为（3，0）A、B、C三点的坐标分别是：A（1，0），B（3，0），C（0，4）2）点C（0，4）在抛物线yax2bxc图象

30、上，c4将A（1，0），B（3，0）代入yax2bx4得ab40a4解得39a3b04b83此抛物线的分析式为y4283xx433）BDm，AD4m在RtBOC中，BC2OB2OC2324225，BC5DEBC，ADEABCDEAD，即DE4mBCAB54DE205m4yAFODBxEC文案大全适用文档过点E作EFAB于点F，则sinEDFsinCBAOC4BC5EF4，EF4DE4205m4mDE5554SSCDESADCSADE1(4m)41(4m)(4m)221m22m212(m2)2（0m4）10当m2时，S有最大值2此时ODOBBD321此时D点坐标为（1，0）11.解：（1）如图1

31、，过C作CEAB于点E，则四边形AECD为矩形AECD4，CEDA6DC又i3:4，CE3EB4QEB8，AB12在RtCEB中，由勾股定理得：BCCE2EB210ABPEF（2）假定PC与BQ互相均分图1DCAB，四边形PBCQ是平行四边形（此时Q在CD），如图2CQBP，即3t10122t解得t22，即t22秒时，PC与BQ互相均分553）当Q在BC上，即0t10时3如图1，过Q作QFAB于点F，则CEQFQFBQ，即QF3t，QF9tCEBC6105SPBQ1PBQF1(122t)9t2259t254t5即y9t254ty9t254t9(t3)255555DQCABP图2815当t3秒时

32、，y有最大值为81厘米25文案大全适用文档当Q在CD上，即10t14时33SPBQ1PBCE1(122t)622366t即y366t此时y随t的增大而减小故当t10秒时，y有最大值为3661016厘米233综合，得9t25y6ty与t的函数关系式以下：54t（0t10）5336（10t14）338116，当t3秒时，y有最大值为81厘米25512解：（1）由题意得ab30ab9033ayx22x3；解得1所求抛物线的分析式为b2（2）存在符合条件的点P，其坐标为P(1，10)或P(1，10)或P(1，6)或P(1，5)；y3（3）解法一：C2E过点E作EFx轴于点F，设2m3)（3a0）E(m

33、，m则EFm22m3，BFm3，OFmS四边形BOCESBEFS梯形FOCE1BFEF1(EFOC)OF221(m3)(m22m3)1(m22m6)(22329m93(m32632m2222)8当m3时，S四边形BOCE最大，且最大值为6328此时y(3)22(3)315224BAFOxm)9分此时E点的坐标为(3，15)24解法二：过点E作EFx轴于点F，设E(x，y)（3x0）则S四边形BOCESBEFS梯形FOCE文案大全适用文档1BFEF1(EFOC)OF221(3x)y1(3y)(x)223(yx)3(x23x3)223(x3)263228当x3时，S四边形BOCE最大，且最大值为6

34、328此时y(323)3152)2(24此时E点的坐标为(3，15)242323313解：（1）把A(2，0)代入yax13，得0a(21)()a3该抛物线的分析式为y3x12333()3即y3x223x83333（2）设点D的坐标为(xD，yD，因为D为抛物线的极点)xD231，yD3123183333322(3)333点D的坐标为(1，33)如图，过点D作DNx轴于N，则DN33，AN3，AD32(33)26DAO60OMAD当ADOP时，四边形DAOP为平行四边形yMOP6DCt6（s）当DPOM时，四边形DAOP为直角梯形过点O作OEAD轴于EEP在RtAOE中，AO2，EAO60，AE1xA（注：也可经过RtA