巧妙应用空间平行关系的传递性解题

1、巧妙应用空间平行关系的传递性解题平行于同一条直线的两条直线互相平行是判断两条直线平行的重要方法，在空间中证明 两直线a,b平行，由于受空间几何体的阻隔，很难看出它们是否平行，但如牧/c,b/c容 易看出，这样运用公理4便可证得a/b。因此，公理4是立体几何中平性关系过渡的重要 原理，即寻找第三条直线分别与前两条平行，并且这种平行关系的传递不受直线条数的限制。 下面我们作简单的探究，以供同学们参考。例1：在平面几何中，经过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行，那么，这个 结论在空间中是否成立。分析：本题从正面证明比较困难，可采用反证法进行证明。解：在空间中这个结论也成立。下面用反证法证明：假

2、设结论在空间中不成立，那么，过直线a外一点P，有两条直线b,c与a平行，即有ab,a/c，由公理4知，b/c，这与b,c共点P矛盾。故假设不成立。所以，该结论在空间中仍然成立。评注：一般情况下，要把平面图形中的结论推广到立体图形，需要经过证明才能使用，千万 不要盲目套用。例2：已知四边形ABCD是空间四边形，E,H分别是边的中点，F,G分别是CF CG 2旦一是一个梯形。CB,CD上的点，且；号，求证：四边形EFGHCB CD 3分析：本题证明四边形EFGH是梯形，需证明一组对边平行，另一组对边不相等。首先利 用平面几何的有关知识，得到EH /BD和FG/BD，以及EH = 1BD，FG =

3、2 BD，再利用平行线的传递性得到EH/FG，最终得到结论。证明：如图，连结BD，因为EH是口 ABD的中位线，所以 EH/BD，EH 2BD。又在中，竺竺2,CB CD 3所以 FG/BD,FG = -BD。3根据平行线的传递性，EH/FG。又 FG EH，所以四边形EFGH是一个梯形。评注：要证明四边形EFGH是一个梯形，需证明一组对边平行且不相等，这既是梯形的定 义，也暗含着EFGH是平面图形。在证明线线平行时常用到公理4的转化。例3：如图，A是平面BCD外的一点，G,H分别是AABC, AACD的重心，求证：GH / BD .分析：本题首先作出辅助面，通过辅助面找出线线平行，即可证得。

4、证明：连结AG, AH分别交BC, CD于M, N，连结MN，BC. G, H分别是AABC, AACD的重心，.M, N分别是BC, CD的中点，AH _ 2AN 3AG:.MN / BD，又.AM. GH / MN，由平行线的传递性知GH / BD .评注：辅助线面是解决有关线面问题的关键，要充分发挥辅助线、面在化空间问题为平面问 题中的转化作用。转化思想在立体几何中具有举足轻重的作用，其主要途径是把立体几何问 题转化为平面问题来解决。例4：如图所示，在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边形边上的点，且AM CN AQ CP , 满足 =k。MB NB QD PD求证：M、N、P

5、、Q四点共面且M N PQ为平行四边形。分析：要证明M、N、P、Q四点共面，只需证明直线MQ与直线NP平行即可，这也 是四边形M N PQ为平行四边形的前提条件，所以问题就转化为利用直线的传递性，寻找第三条直线分别与所求两条直线平行。证明：= AQ = k MB QDMQ / BD 且AMAM + MBkk+1 TOC o 1-5 h z 即 MQ = LbD。又竺=CP = k , :. PN / BD 且一=,k +1NB PDCN + NB k +1NP CN kk:.=，即NP =BD。.MQ / NP且MQ = NP。BD CB k +1 1k +1:.M、N、P、Q四点共面且M N PQ为平行四边形。评注：立体几何问题的解决要充分利用化归的思想将空间问题转化为平面问题，将未知转化 为已知，转化的思想是解决立体几何的最重要方法